Agrégation de mathématiques

Vous trouverez sur cette page les différents plans et développements que j'ai rédigés lors de ma préparation à l'agrégation de mathématiques. Les intitulés des leçons sont ceux de la session 2016.

Leçons d'algèbre et de géométrie

Intitulé de la leçon et planDéveloppements
101. Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.Décomposition de Bruhat
Loi de réciprocité quadratique
102. Groupe des nombres complexes de module 1, sous-groupes des racines de l'unité. Applications.Polynômes cyclotomiques
Théorème de Gauss-Wantzel
Structure des groupes abéliens finis
103. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.Théorème de Frobenius-Zolotarev
Tables de caractères et sous-groupes distingués
Simplicité de \(SO_3(\mathbb{R})\)
104. Groupes finis. Exemples et applications.Table de caractères de \(\mathcal{S}_4\)
Structure des groupes abéliens finis
Théorème de Burnside
105. Groupe des permutations d'un ensemble fini. Applications.Théorème de Frobenius-Zolotarev
Décomposition de Bruhat
Table de caractères de \(\mathcal{S}_4\)
106. Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie \(E\), sous-groupes de \(GL(E)\). Applications.Décomposition de Bruhat
Sous-groupes compacts de \(GL_n(\mathbb{R})\)
Théorème de Burnside
107. Représentations et caractères d'un groupe fini sur un \(\mathbb{C}\)-espace vectoriel.Table de caractères de \(\mathcal{S}_4\)
Tables de caractères et sous-groupes distingués
108. Exemples de parties génératrices d'un groupe. Applications.Théorème de Frobenius-Zolotarev
Simplicité de \(SO_3(\mathbb{R})\)
Générateurs du groupe linéaire
109. Représentations de groupes finis de petit cardinal.Table de caractères de \(\mathcal{S}_4\)
110. Caractères d'un groupe abélien fini et transformée de Fourier discrète. Applications.Structure des groupes abéliens finis
120. Anneaux \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\). Applications.Loi de réciprocité quadratique
Théorème de Frobenius-Zolotarev
Théorème des deux carrés
121. Nombres premiers. Applications.Loi de réciprocité quadratique
Théorème de Gauss-Wantzel
Théorème des deux carrés
122. Anneaux principaux. Applications.Théorème des deux carrés
Anneau principal non euclidien
123. Corps finis. Applications.Algorithme de Berlekamp
Loi de réciprocité quadratique
Théorème de Frobenius-Zolotarev
125. Extensions de corps. Exemples et applications.Théorème de l'élément primitif
Théorème de Gauss-Wantzel
140. Corps des fractions rationnelles à une indéterminée sur un corps commutatif. Applications.Automorphismes de \(K(X)\)
Problème du rendu de monnaie
141. Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.Algorithme de Berlekamp
Polynômes cyclotomiques
144. Racines d'un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.Méthode de Newton pour les polynômes
Théorème de l'élément primitif
150. Exemples d'actions de groupes sur les espaces de matrices.Décomposition de Bruhat
Loi de réciprocité quadratique
Sous-groupes compacts de \(GL_n(\mathbb{R})\)
151. Dimension d'un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.Algorithme de Berlekamp
Théorème des extrema liés
152. Déterminant. Exemples et applications.Ellipsoïde de John-Loewner
Théorème de Frobenius-Zolotarev
153. Polynômes d'endomorphisme en dimension finie. Réduction d'un endomorphisme en dimension finie. Exemples et applications.Décomposition de Dunford
Invariants de similitude
154. Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d'endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie. Applications.Décomposition de Dunford
Invariants de similitude
155. Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.Décomposition de Dunford
Théorème de Burnside
Théorème de l'amitié
157. Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.Décomposition de Dunford
Théorème de Burnside
158. Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.Méthodes itératives de décomposition régulière
Lemme de Morse
Théorème de l'amitié
159. Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.Invariants de similitude
Théorème des extrema liés
160. Endomorphismes remarquables d'un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).Simplicité de \(SO_3(\mathbb{R})\)
161. Isométries d'un espace affine euclidien de dimension finie. Applications en dimensions 2 et 3.Simplicité de \(SO_3(\mathbb{R})\)
Table de caractères de \(\mathcal{S}_4\)
162. Systèmes d'équations linéaires; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.Générateurs de \(GL_n(\mathbb{R})\)
Méthodes itératives de décomposition régulière
170. Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité, isotropie. Applications.Loi de réciprocité quadratique
Lemme de Morse
171. Formes quadratiques réelles. Exemples et applications.Ellipsoïde de John-Loewner
Lemme de Morse
180. Coniques. Applications.Cercle orthoptique d'une ellipse
181. Barycentres dans un espace affine réel de dimension finie, convexité. Applications.Sous-groupes compacts de \(GL_n(\mathbb{R})\)
190. Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.Loi de réciprocité quadratique
Problème du rendu de monnaie

Leçons d'analyse et de probabilités

Intitulé de la leçon et planDéveloppements
201. Espaces de fonctions. Exemples et applications.Fonctions continues nulle part dérivables
Polynômes orthogonaux
Echantillonnage de Shannon
202. Exemples de parties denses et applications.Fonctions continues nulle part dérivables
Polynômes orthogonaux
Polynômes de Bernstein
203. Utilisation de la notion de compacité.Sous-groupes compacts de \(GL_n(\mathbb{R})\)
Théorème de Hadamard-Lévy
204. Connexité. Exemples et applications.Simplicité de \(SO_3(\mathbb{R})\)
Théorème de Hadamard-Lévy
205. Espaces complets. Exemples et applications.Fonctions continues nulle part dérivables
Echantillonnage de Shannon
Théorème de Cauchy-Lipschitz global
206. Théorèmes de point fixe. Exemples et applications.Sous-groupes compacts de \(GL_n(\mathbb{R})\)
Théorème de Cauchy-Lipschitz global
207. Prolongements de fonctions. Exemples et applications.Polynômes orthogonaux
Prolongement de la fonction \(\zeta\)
Théorèmes abélien et taubérien
208. Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.Echantillonnage de Shannon
Stabilité de l'interpolation de Lagrange
209. Approximation d'une fonction par des polynômes et des polynômes trigonométriques. Exemples et applications.Equation de la chaleur
Stabilité de l'interpolation de Lagrange
Polynômes de Bernstein
213. Espaces de Hilbert. Bases hilbertiennes. Exemples et applications.Echantillonnage de Shannon
Polynômes orthogonaux
214. Théorème d'inversion locale, théorème des fonctions implicites. Exemples et applications.Lemme de Morse
Théorème des extrema liés
Théorème de Hadamard-Lévy
215. Applications différentiables sur un ouvert de \(\mathbb{R}^n\). Exemples et applications.Lemme de Morse
Théorème des extrema liés
Théorème de Hadamard-Lévy
218. Applications des formules de Taylor.Lemme de Morse
Méthode de Newton pour les polynômes
219. Extrema : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.Ellipsoïde de John-Loewner
Méthode du gradient à pas optimal
Théorème des extrema liés
220. Equations différentielles \(X'=f(t,X)\). Exemples d'étude des solutions en dimensions 1 et 2.Equation de Bessel
Théorème de Cauchy-Lipschitz global
Théorème de Hadamard-Lévy
221. Equations différentielles linéaires. Systèmes d'équations différentielles linéaires. Exemples et applications.Critère de commandabilité de Kalman
Equation de Bessel
222. Exemples d'équations aux dérivées partielles linéaires.Equation de la chaleur
Equation des ondes
223. Suites numériques. Convergence, valeurs d'adhérence. Exemples et applications.Processus de Galton-Watson
Théorèmes abélien et taubérien
226. Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence \(u_{n+1}=f(u_n)\). Exemples et applications.Méthodes itératives de décomposition régulière
Méthode de Newton pour les polynômes
Processus de Galton-Watson
228. Continuité et dérivabilité des fonctions réelles d'une variable réelle. Exemples et contre-exemples.Fonctions continues nulle part dérivables
Méthode de Newton pour les polynômes
Processus de Galton-Watson
229. Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.Méthode du gradient à pas optimal
Processus de Galton-Watson
230. Séries de nombres réels ou complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples.Marche aléatoire en dimensions 1 et 2
Théorèmes abélien et taubérien
232. Méthodes d'approximation des solutions d'une équation \(F(X)=0\). Exemples.Méthodes itératives de décomposition régulière
Méthode de Newton pour les polynômes
233. Analyse numérique matricielle : résolution approchée de systèmes linéaires, recherche de vecteurs propres, exemples.Méthodes itératives de décomposition régulière
Méthode du gradient à pas optimal
Théorème de l'amitié
234. Espaces \(L^p, 1 \leq p \leq \infty\).Echantillonnage de Shannon
Polynômes orthogonaux
235. Problèmes d'interversion de limites et d'intégrales.Equation de la chaleur
Prolongement de la fonction \(\zeta\)
236. Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d'intégrales de fonctions d'une ou plusieurs variables réelles.Formule des compléments
Loi Gamma
239. Fonctions définies par une intégrale dépendant d'un paramètre. Exemples et applications.Polynômes orthogonaux
Prolongement de la fonction \(\zeta\)
Théorème Central Limite
241. Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.Equation de la chaleur
Formule sommatoire de Poisson
Prolongement de la fonction \(\zeta\)
243. Convergence des séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.Problème du rendu de monnaie
Processus de Galton-Watson
Théorèmes abélien et taubérien
244. Fonctions développables en série entière, fonctions analytiques. Exemples.Equation de Bessel
Processus de Galton-Watson
245. Fonctions holomorphes sur un ouvert de \(\mathbb{C}\). Exemples et applications.Formule des compléments
Prolongement de la fonction \(\zeta\)
246. Séries de Fourier. Exemples et applications.Equation de la chaleur
Formule sommatoire de Poisson
247. Exemples de problèmes d'interversion de limites.Equation de la chaleur
Prolongement de la fonction \(\zeta\)
Théorèmes abélien et taubérien
249. Suites de variables de Bernoulli indépendantes.Marche aléatoire en dimensions 1 et 2
Polynômes de Bernstein
253. Utilisation de la notion de convexité en analyse.Ellipsoïde de John-Loewner
Méthode du gradient à pas optimal
Processus de Galton-Watson
260. Espérance, variance et moments d'une variable aléatoire.Polynômes de Bernstein
Théorème Central Limite
261. Fonction caractéristique et transformée de Laplace d'une variable aléatoire. Exemples et applications.Loi Gamma
Théorème Central Limite
263. Variables aléatoires à densité. Exemples et applications.Loi Gamma
Théorème Central Limite
264. Variables aléatoires discrètes. Exemples et applications.Marche aléatoire en dimensions 1 et 2
Processus de Galton-Watson