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Amélioration de l'indicateur.

Connaissant maintenant les avantages et les inconvénients de notre indicateur, il nous est donc maintenant possible d'améliorer ses caractéristiques.


Identification des sources d'erreur

Afin de calculer la base EFGM du calcul de niveau 2, il est nécessaire de calculer la phase locale ainsi que ses dérivées spatiales.
Regardons donc où se situent les erreurs lors du calcul EF : On trace pour cela les cartes d'erreur sur le domaine considéré (erreur relative en norme $L^{2}$, erreur relative sur $\theta $ ) pour plusieurs fréquences, et on les compare aux erreurs estimées.

Figure: Erreur relative à la solution exacte(haut) et estimée (bas) en norme $L^{2}$ (50Hz)
\rotatebox{-90}{\scalebox{0.7}{\includegraphics{images/err_p_ex_50.eps}}} \rotatebox{-90}{\scalebox{0.7}{\includegraphics{images/err_p_est_50.eps}}}

Figure: Erreur relative à la solution exacte (haut) et estimée (bas) sur la phase (50Hz)
\rotatebox{-90}{\scalebox{0.70}{\includegraphics{images/err_th_ex_50.eps}}} \rotatebox{-90}{\scalebox{0.70}{\includegraphics{images/err_th_est_50.eps}}}

Figure: Erreur relative à la solution exacte(haut) et estimée (bas) en norme $L^{2}$ (400Hz)
\rotatebox{-90}{\scalebox{0.70}{\includegraphics{images/err_p_ex_400.eps}}} \rotatebox{-90}{\scalebox{0.70}{\includegraphics{images/err_p_est_400.eps}}}

Figure: Erreur relative à la solution exacte (haut) et estimée (bas) sur la phase (400Hz)
\rotatebox{-90}{\scalebox{0.70}{\includegraphics{images/err_th_ex_400.eps}}} \rotatebox{-90}{\scalebox{0.70}{\includegraphics{images/err_th_est_400.eps}}}

Figure: Erreur relative à la solution exacte(haut) et estimée (bas) en norme $L^{2}$ (700Hz)
\rotatebox{-90}{\scalebox{0.70}{\includegraphics{images/err_p_ex_700.eps}}} \rotatebox{-90}{\scalebox{0.70}{\includegraphics{images/err_p_est_700.eps}}}

Figure: Erreur relative à la solution exacte (haut) et estimée (bas) sur la phase (700Hz)
\rotatebox{-90}{\scalebox{0.70}{\includegraphics{images/err_th_ex_700.eps}}} \rotatebox{-90}{\scalebox{0.70}{\includegraphics{images/err_th_est_700.eps}}}

Tous ces graphiques sont bien symétriques par rapport à la diagonale du carré, et c'est cohérent, l'angle de propagation ayant été choisi égal à 45°.
Si on étudie en détail les graphes d'erreur sur la pression, on devine que celle-ci augmente par "vagues successives". En réalité, ces "vagues" correspondent aux pics d'erreur visibles sur la carte d'erreur sur la phase.
On peut cependant facilement expliquer ces pics d'erreur : L'angle à introduire dans la base EFGM a été choisi compris dans $[0,2\pi [$ (alors qu'en réalité, il varie de $-\infty à +\infty$ : voir fig 5.21 ). Au point (0,0) (source), la pression ayant pour valeur 1 $(1+0\cdot I)$, sa phase est égale à 0 radians. L'onde se déplaçant, cette phase va augmenter jusqu'à $2\pi-\epsilon$, puis passer à 0, et ainsi de suite.
La qualité de la détermination de cet angle par éléments finis (linéaires) sera très influencée par la taille du maillage et la disposition de ses noeuds, comme le montre la figure (5.22):

Figure 5.21: Evolution de la phase Analytique
\scalebox{0.60}{\includegraphics{images/ph_ana_cb.eps}}

Figure: Evolution des phases Analytiques (ramenée à $[0,2\pi [$) et EF sur la diagonale
\scalebox{0.60}{\includegraphics{images/cap3_evol_phase.eps}}

C'est pour cela que l'on observe des pics d'erreur là où la phase passe de $2\pi$ à 0. Cela devient très visible si on trace la phase sur le domaine (Fig.5.23 et Fig.5.24). On voit alors clairement que la phase n'est pas correctement représentée par le calcul EF.

Figure 5.23: Phases EF et EFGM sur le domaine
\scalebox{0.40}{\includegraphics{images/c300cb.eps}} \scalebox{0.40}{\includegraphics{images/c300ecb.eps}}

Figure 5.24: Phases EF et EFGM sur le domaine
\scalebox{0.40}{\includegraphics{images/c300cb2.eps}} \scalebox{0.40}{\includegraphics{images/c300ecb2.eps}}

La dérivée de la phase, quant à elle sera encore moins bien représentée. En effet, on a :

\begin{eqnarray*}
\theta(x,y)=\sum \theta_{i} \cdot N_{i}
\end{eqnarray*}



d'où :

$\displaystyle \frac{\partial\theta(x,y)}{\partial x}=\sum \theta_{i} \cdot \frac{\partial N_{i}}{\partial x}$     (5.7)

$\frac{\partial N_{i}}{\partial x}$ se calculant à partir de la matrice jacobienne (voir equation (5.3)).
N étant une fonction linéaire, ses dérivées spatiales seront des constantes, tout comme les dérivées spatiales de la phase réelle. Cependant, aux passages de 0 à $2\pi$, alors que la phase réelle restera constante, la phase EF variera de façon insatisfaisante :

Figure: Evolution des dérivées de la phase EF et EX.
\scalebox{0.60}{\includegraphics{images/chap3_deriv_phase.eps}}

Si on trace la dérivée selon x de la phase EF sur le domaine, on voit (Fig.5.26) qu'au lieu de rester constante (égale à $k\cdot cos(\alpha)$) , la dérivée devient fausse périodiquement à chaque passage de la phase à $2\pi$ :

Figure 5.26: $(\theta (x,y))_{,x}$
\scalebox{0.60}{\includegraphics{images/dtdx300cb.eps}}

Cela est confirmé si on étudie la carte d'erreur à 300Hz : l'erreur élémentaire est basse sur tout le domaine à part aux discontinuités de phase où on a des pics d'erreur (5OO%).

Figure: carte d'erreur de $(\theta (x,y))_{,x}$ à 400Hz
\scalebox{0.60}{\rotatebox{-90}{\includegraphics{images/err_dtdx_400.eps}}}

Les figures (5.15), (5.16), (5.17), (5.18), (5.19) et (5.20) sont donc cohérentes. A 50 Hz, par exemple, l'erreur est quasi-nulle sur tout le domaine, hormis lorsque la phase passe de 0 à $2\pi$ au coin supérieur droit du carré.
De plus, à part à 400Hz, les distributions d'erreur élémentaires sont comparables sur les deux cartes (exacte et estimée), elles ne sont bien sûr pas identiques, mais sont suffisamment proches pour que les erreurs globales soient comparables.
A 400 Hz, on a vu que la solution EF commençait à se détériorer fortement, et donc de ce fait, la solution meshless donne des résultats aberrants.

Étudions maintenant les indices d'efficacité élémentaires à ces différentes fréquences, pour voir là où l'efficacité globale se détériore :

Figure: Efficacité élémentaire à 50Hz
\rotatebox{-90}{\scalebox{0.60}{\includegraphics{images/eff_50.eps}}}

On voit que globalement, à cette fréquence, la carte de l'indice d'efficacité élémentaire est bonne. En effet, pour tous les éléments, cet indice est comprise entre 0 et 1.2.

Figure: Efficacité élémentaire à 400Hz
\rotatebox{-90}{\scalebox{0.60}{\includegraphics{images/eff_400.eps}}}

Cette fois-ci, l'indice d'efficacité se détériore entre la première et la deuxième longueur d'onde (indice d'efficacité supérieur à 1.49), ainsi que sur les passages de phase de $2\pi$ à 0, comme on pouvait s'en douter à la vue de la carte d'erreur sur la phase à cette fréquence (5.18).

Figure: Efficacité élémentaire à 700Hz
\rotatebox{-90}{\scalebox{0.60}{\includegraphics{images/eff_700.eps}}}

A 700Hz, l'indice d'efficacité est surtout mauvais dans la zone proche de la source. Cependant, à cette fréquence les résultats ne sont plus très fiables.
En effet, le pas du maillage n'est plus capable de restituer correctement le caractère ondulatoire de la solution : Le phénomène de dispersion devient trop grand. Les figures suivantes représentent, sur la diagonale du carré les pressions réelles et imaginaires à 700Hz, ainsi que leur approximation EF.

Figure: Pression réelle exacte et EF sur la diagonale à 700Hz
\scalebox{0.60}{\includegraphics{images/prediago700nbl.eps}}

Figure: Pression imaginaire exacte et EF sur la diagonale à 700Hz
\scalebox{0.60}{\includegraphics{images/pimdiago700nbl.eps}}

C'est pour les différentes raisons invoquées plus haut(Sec 5.5.1)qu'il a été décidé, non plus de travailler avec la phase, mais directement avec ses cosinus et ses sinus.


Utilisation des cosinus et des sinus à la place de la phase

En effet, la base EFGM $P=\{1,cos(\theta(x,y)),sin(\theta(x,y))\}$ peut se déterminer soit par la donnée de $\theta $ (et $\theta_{,i}$) , soit par la donnée de $cos(\theta),sin(\theta)$ et $(cos(\theta))_{,i},
(sin(\theta))_{,i}$.

Or, on a vu que la source d'erreur la plus probable était l'erreur sur les dérivées de la phase et sur les discontinuités. Afin d'améliorer la précision de l'indicateur, on essaie de s'affranchir des discontinuités de phase qui détériorent la solution. Les cosinus et sinus de la phase sont, eux, continus sur tout le domaine : On peut donc éviter ce problème.

Pour le calcul des dérivées spatiales des cosinus et sinus, on utilise, comme précédemment la relation (5.7), page [*], en remplaçant $\theta_{,i}$ par $(cos(\theta))_{,i}$ et $(sin(\theta))_{,i}$.

Si on trace l'évolution du cosinus (resp. sinus), on doit obtenir la pression réelle (resp. imaginaire) dans notre cas. Cela se vérifie aisément :

Figure: $cos(\theta )$ à 300Hz
\scalebox{0.50}{\includegraphics{images/ct300cb.eps}}

On voit (comme dans les graphes précédents) que l'allure de la pression réelle est bonne. Cependant, quand on passe aux dérivées, les résultats se dégradent (voir fig 5.25).
En effet, toute dérivation entraîne inévitablement des problèmes, car les dérivées des fonctions de forme sont constantes par élément. Si on dérive $cos(\theta )$, on n'obtient pas $-sin(\theta)$, mais une fonction d'escaliers proche de $-sin(\theta)$. (voir Fig.5.25 et 5.26) :

Figure: $(cos(\theta ))_{,x}$ EF à 300Hz
\scalebox{0.50}{\includegraphics{images/dctdxef300cb.eps}} \scalebox{0.50}{\includegraphics{images/dctdxef300cb2.eps}} \scalebox{0.50}{\includegraphics{images/dctdxef300cb3.eps}}

Voici maintenant, en comparaison, la dérivée EFGM de ce problème :

Figure: $(cos(\theta ))_{,x}$ EFGM à 300Hz
\scalebox{0.50}{\includegraphics{images/dctdx300cb1.eps}} \scalebox{0.50}{\includegraphics{images/dctdx300cb2.eps}} \scalebox{0.50}{\includegraphics{images/dctdx300cb3.eps}}

Cette dérivée est de très bonne qualité, car, comme on l'a expliqué au chapitre 4, le degré de continuité de la solution EFGM est bien supérieur à celui de la solution EF.
C'est à ce stade que l'on entrevoit la problématique de cette amélioration de l'indicateur :

C'est ce que nous allons étudier dans la suite.


Mise en oeuvre de cette évolution de l'indicateur

Il nous est donc possible de calculer en tout point de la structure la valeur de $cos(\theta )$, $sin(\theta)$ ainsi que leurs dérivées spatiales. On peut donc calculer en tout point la base EFGM de niveau 2.
Ensuite,on procède comme précédemment, en effectuant une étude fréquentielle.
On peut donc tracer les erreurs de la solution EF/ solution Exacte, ainsi que l'erreur estimée après modification de l'indicateur :

Figure: Evolution de l'erreur globale relative en norme $L^{2}$, indicateur modifié
\scalebox{0.60}{\includegraphics{images/evol_err_cs.eps}}

On voit clairement que la qualité de l'indicateur s'est améliorée. En effet, la chute de la qualité de l'indicateur à 420Hz à disparu.

Pour voir comment a changé la carte d'erreur du problème grâce à l'évolution de l'indicateur, se reporter en annexe C, page [*].

En plus, l'erreur estimée approche l'erreur réelle d'encore plus près. Cela est confirmé si on observe l'indice d'efficacité de l'indicateur d'erreur :

Figure: Indice d'efficacité de l'indicateur modifié
\scalebox{0.60}{\includegraphics{images/efficacite_cs.eps}}

Malheureusement, outre les améliorations citées plus haut, on voit que le pic d'erreur à 400Hz n'a pas disparu. Il ne nous a pas été possible d'identifier sa cause, même si on sait qu'il est dû à une brusque détérioration de la solution EFGM de niveau 2 (voir graphes suivant).

Figure: Evolution de l'erreur globale relative en norme $L^{2}$, indicateur modifié
\scalebox{0.60}{\includegraphics{images/erreurs_p_cs.eps}}

Figure: Evolution de l'erreur globale relative sur $\theta $, indicateur modifié
\scalebox{0.60}{\includegraphics{images/erreurs_t_cs.eps}}

Cependant, cette "fausse note" n'est pas si grave, car à 400Hz, l'indicateur a tendance à surestimer l'erreur, ce qui est moins grave que de la sous-estimer. On peut donc direque l'indicateur a progressé (voir Fig. 5.40), et semble maintenant être fiable.

Figure: Amélioration de l'indice d'efficacité de l'indicateur lors de son évolution
\scalebox{0.60}{\includegraphics{images/efficacite_estimateurs.eps}}

En effet, son indice d'efficacité est très bon, quelquesoit la fréquence, hormis 400Hz (Il est compris entre 0.96 et 1.053).

Regardons plus en détail la carte d'indice d'efficacité à 420Hz. Cette fréquence est remarquable : en effet, elle est telle que $h_{maillage}=\lambda/6$, ce qui correspond au critère de bonne pratique fixé par les concepteurs du logiciel Sysnoise. Selon eux, si le maillage EF est tel que $h_{maillage}\leq\lambda/6$ (une longueur d'onde représentée par 6 éléments), alors les résultats EF seront de bonne qualité.

Figure: Carte d'indice d'efficacité à 420Hz
\scalebox{0.60}{\rotatebox{-90}{\includegraphics{images/efficacite_elem_420.eps}}}

On voit sur cette carte d'erreur que l'indice d'efficacité est très bon car quelquesoit l'élément du domaine $\beta \in
[0.96,1.033]$.
La carte d'indice d'efficacité est en outre très équilibrée, ce qui est une qualité pour un indicateur.

On arrive au même constat si on trace la distribution de l'indice d'efficacité sur les éléments (Fig. 5.42).

Figure: Distribution de l'efficacité sur les éléments à 420Hz
\scalebox{0.60}{{\includegraphics{images/distrib_eff_420.eps}}}


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greg 2001-08-07