Connaissant maintenant les avantages et les inconvénients de notre indicateur, il nous est donc maintenant possible d'améliorer ses caractéristiques.
Afin de calculer la base EFGM du calcul de niveau 2, il est nécessaire de calculer la phase locale ainsi que ses dérivées spatiales.
Regardons donc où se situent les erreurs lors du calcul EF : On trace pour cela les cartes d'erreur sur le domaine considéré (erreur relative en norme , erreur relative sur
) pour plusieurs fréquences, et on les compare aux erreurs estimées.
Tous ces graphiques sont bien symétriques par rapport à la diagonale du carré, et c'est cohérent, l'angle de propagation ayant été choisi égal à 45°.
Si on étudie en détail les graphes d'erreur sur la pression, on devine que celle-ci augmente par "vagues successives". En réalité, ces "vagues" correspondent aux pics d'erreur visibles sur la carte d'erreur sur la phase.
On peut cependant facilement expliquer ces pics d'erreur : L'angle à introduire dans la base EFGM a été choisi compris dans (alors qu'en réalité, il varie de
: voir fig 5.21 ). Au point (0,0) (source), la pression ayant pour valeur 1
, sa phase est égale à 0 radians. L'onde se déplaçant, cette phase va augmenter jusqu'à
, puis passer à 0, et ainsi de suite.
La qualité de la détermination de cet angle par éléments finis (linéaires) sera très influencée par la taille du maillage et la disposition de ses noeuds, comme le montre la figure (5.22):
C'est pour cela que l'on observe des pics d'erreur là où la phase
passe de à 0. Cela devient très visible si on trace
la phase sur le domaine (Fig.5.23 et Fig.5.24). On voit alors clairement que la phase n'est pas correctement représentée par le calcul EF.
La dérivée de la phase, quant à elle sera encore moins bien représentée. En effet, on a :
d'où :
se calculant à partir de la matrice jacobienne (voir equation (5.3)).
N étant une fonction linéaire, ses dérivées spatiales seront des
constantes, tout comme les dérivées spatiales de la phase réelle.
Cependant, aux passages de 0 à , alors que la phase réelle
restera constante, la phase EF variera de façon insatisfaisante :
Si on trace la dérivée selon x de la phase EF sur le domaine, on
voit (Fig.5.26) qu'au lieu de rester constante
(égale à
) , la dérivée devient fausse
périodiquement à chaque passage de la phase à
:
Cela est confirmé si on étudie la carte d'erreur à 300Hz : l'erreur élémentaire est basse sur tout le domaine à part aux discontinuités de phase où on a des pics d'erreur (5OO%).
Les figures (5.15), (5.16),
(5.17), (5.18), (5.19)
et (5.20) sont donc cohérentes. A 50 Hz, par
exemple, l'erreur est quasi-nulle sur tout le domaine, hormis
lorsque la phase passe de 0 à au
coin supérieur droit du carré.
De plus, à part à 400Hz, les distributions d'erreur élémentaires
sont comparables sur les deux cartes (exacte et estimée), elles ne
sont bien sûr pas identiques, mais sont suffisamment proches pour
que les erreurs globales soient comparables.
A 400 Hz, on a vu que la solution EF commençait à se détériorer
fortement, et donc de ce fait, la solution meshless donne des
résultats aberrants.
Étudions maintenant les indices d'efficacité élémentaires à ces différentes fréquences, pour voir là où l'efficacité globale se détériore :
On voit que globalement, à cette fréquence, la carte de l'indice d'efficacité élémentaire est bonne. En effet, pour tous les éléments, cet indice est comprise entre 0 et 1.2.
Cette fois-ci, l'indice d'efficacité se détériore entre la
première et la deuxième longueur d'onde (indice d'efficacité
supérieur à 1.49), ainsi que sur les passages de phase de à
0, comme on pouvait s'en douter à la vue de la carte d'erreur sur
la phase à cette fréquence (5.18).
A 700Hz, l'indice d'efficacité est surtout mauvais dans la zone
proche de la source. Cependant, à cette fréquence les résultats ne
sont plus très fiables.
En effet, le pas du maillage n'est plus capable de restituer
correctement le caractère ondulatoire de la solution : Le
phénomène de dispersion devient trop grand. Les figures suivantes
représentent, sur la diagonale du carré les pressions réelles et
imaginaires à 700Hz, ainsi que leur approximation EF.
C'est pour les différentes raisons invoquées plus haut(Sec 5.5.1)qu'il a été décidé, non plus de travailler avec la phase, mais directement avec ses cosinus et ses sinus.
En effet, la base EFGM
peut se déterminer soit par la donnée de
(et
) , soit par la donnée de
et
.
Or, on a vu que la source d'erreur la plus probable était l'erreur
sur les dérivées de la phase et sur les discontinuités. Afin
d'améliorer la précision de l'indicateur, on essaie de
s'affranchir des discontinuités de phase qui détériorent la
solution. Les cosinus et sinus de la phase sont, eux, continus sur
tout le domaine : On peut donc
éviter ce problème.
Pour le calcul des dérivées spatiales des cosinus et sinus, on
utilise, comme précédemment la relation (5.7), page
, en remplaçant
par
et
.
Si on trace l'évolution du cosinus (resp. sinus), on doit obtenir la pression réelle (resp. imaginaire) dans notre cas. Cela se vérifie aisément :
On voit (comme dans les graphes précédents) que l'allure de la
pression réelle est bonne. Cependant, quand on passe aux dérivées,
les résultats se dégradent (voir fig
5.25).
En effet, toute dérivation entraîne inévitablement des problèmes,
car les dérivées des fonctions de forme sont constantes par
élément. Si on dérive , on n'obtient pas
, mais une fonction d'escaliers proche de
. (voir Fig.5.25 et
5.26) :
Voici maintenant, en comparaison, la dérivée EFGM de ce problème :
Cette dérivée est de très bonne qualité, car, comme on l'a expliqué au chapitre 4, le degré de continuité de la solution EFGM est bien supérieur à celui de la solution EF.
Il nous est donc possible de calculer en tout point de la
structure la valeur de ,
ainsi que
leurs dérivées spatiales. On peut donc calculer en tout point la
base EFGM de niveau 2.
Ensuite,on procède comme précédemment, en effectuant une étude
fréquentielle.
On peut donc tracer les erreurs de la solution EF/ solution
Exacte, ainsi que l'erreur estimée après modification de
l'indicateur :
On voit clairement que la qualité de l'indicateur s'est améliorée.
En effet, la chute de la qualité de l'indicateur à 420Hz à
disparu.
Pour voir comment a changé la carte d'erreur du problème grâce à
l'évolution de l'indicateur, se reporter en annexe
C, page
.
En plus, l'erreur estimée approche l'erreur réelle d'encore plus près. Cela est confirmé si on observe l'indice d'efficacité de l'indicateur d'erreur :
Malheureusement, outre les améliorations citées plus haut, on voit que le pic d'erreur à 400Hz n'a pas disparu. Il ne nous a pas été possible d'identifier sa cause, même si on sait qu'il est dû à une brusque détérioration de la solution EFGM de niveau 2 (voir graphes suivant).
Cependant, cette "fausse note" n'est pas si grave, car à 400Hz, l'indicateur a tendance à surestimer l'erreur, ce qui est moins grave que de la sous-estimer. On peut donc direque l'indicateur a progressé (voir Fig. 5.40), et semble maintenant être fiable.
En effet, son indice d'efficacité est très bon, quelquesoit la fréquence, hormis 400Hz (Il est compris entre 0.96 et 1.053).
Regardons plus en détail la carte d'indice d'efficacité à 420Hz.
Cette fréquence est remarquable : en effet, elle est telle que
, ce qui correspond au critère de bonne
pratique fixé par les concepteurs du logiciel Sysnoise. Selon eux,
si le maillage EF est tel que
(une
longueur d'onde représentée par 6 éléments), alors les résultats
EF seront de bonne qualité.
On voit sur cette carte d'erreur que l'indice d'efficacité est très bon car quelquesoit l'élément du domaine
On arrive au même constat si on trace la distribution de l'indice d'efficacité sur les éléments (Fig. 5.42).