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Exemple de la cavité carrée

Afin de réaliser un premier test de l'indicateur, on considère le problème purement fictif suivant :

Figure: Cavité carrée
\scalebox{0.60}{\includegraphics{images/cavite.eps}}

Ce problème a pour particularité d'avoir une solution exacte connue. C'est pour cela qu'il nous sera utile afin de caractériser l'indicateur d'erreur.
Solution exacte du problème (pour $\rho\:c=1$):
$\displaystyle p(x,y)=cos(k\cdot(x\cdot cos(\alpha)+y\cdot sin(\alpha))+j\cdot sin(k\cdot(x\cdot cos(\alpha)+y\cdot sin(\alpha))$     (5.6)

Avec $\alpha$, l'angle de propagation de l'onde, et $k=\omega/c$ le nombre d'onde.
Les valeurs numériques des paramètres précédents sont :

On a ensuite réalisé une étude fréquentielle des erreurs relatives (sur p et $\theta $ ), par rapport à la solution exacte et EFGM de niveau 2.
Cette étude est représentée dans la figure suivante :

Figure: Evolution des erreurs exactes et estimées en fonction de la fréquence.
\scalebox{0.60}{\includegraphics{images/evol_erreur.eps}}

On voit donc que, sur toute la bande de fréquence étudiée (50-700 Hz), l'indicateur d'erreur basé sur la solution EFGM de deuxième niveau semble donner satisfaction, puisque, hormis pour une fréquence de 420Hz, la courbe d'erreur globale relative à la solution exacte est très proche de celle de l'erreur relative à la solution EFGM de second niveau.
L'étude de l'indice d'efficacité de l'indicateur amène au même constat :

Figure: Indice d'efficacité de l'indicateur d'erreur.
\scalebox{0.60}{\includegraphics{images/efficacite.eps}}

En effet, pour qu'un indicateur soit considéré comme fiable, son indice d'efficacité doit être compris entre 0,8 et 1,2... Or, ici, on voit que cet indicateur est fiable, sauf pour deux fréquences 420 Hz, comme précédemment, mais aussi 400 Hz.

Concernant la différence à 420Hz environ, cette différence peu paraître inexplicable (250%) d'erreur !

Pour cerner la ou les sources de ce problème, étudions les évolutions des erreurs suivantes :

Figure: Evolution des 3 types d'erreur en fonction de la fréquence.
\scalebox{0.60}{\includegraphics{images/evol_erreur_p.eps}}

On voit, en étudiant la figure (5.8), que la solution EF commet deux pics d'erreur très marqués. Lors du premier, à 320Hz, l'erreur globale commise est de 139%. Cependant, le calcul EFGM de second niveau n'est pas trop affecté par ce pic. L'erreur de ce calcul par rapport à la solution exacte reste faible (2.3%), d'où le fait que les courbes d'erreur EF/Exacte et EF/EFGM restent très proches.
A 420Hz, par contre, il en est autrement : l'erreur commise par la solution EF/Exacte reste proche des 100% (120%), mais cette fois-ci, la solution EFGM de second niveau se dégrade beaucoup (pic d'erreur à 146%), alors qu'à part cette fréquence (sur une bande [0Hz,5OOHz]), l'erreur EFGM/Exacte est inférieure à 6%! Pourquoi?

Etudions maintenant les différentes erreurs sur la phase :

Figure 5.9: Evolution des erreurs globales relatives sur la phase
\scalebox{0.60}{\includegraphics{images/evol_erreur_t.eps}}

Étudions alors les cartes d'erreur sur la pression et la phase à cette fréquence.

En fait, il apparaît, si on regarde de plus près la solution EF que celle-ci est complètement incohérente à cette fréquence. On n'a plus, comme le montre la figure (5.4) de propagation sinusoïdale, mais quelquechose de totalement faux (pression variant entre -3 et 4, etc...).
Nous nous sommes penchés sur ce problème, et après une étude, on a pu établir qu'il était indépendant du raffinement du maillage, du type d'élément, de l'angle de propagation, mais qu'il semblait se produire pour toutes les fréquences dont la longueur d'onde est multiple de 0.2m. Par exemple pour une onde de célérité $c=250
ms^{-1}$, on a le tableau suivant :


Tableau: Evolution des fréquences incohérentes
Longueur d'onde $\lambda $ Fréquence $f=c/\lambda$
0.8m 312Hz
0.6m 416Hz
0.4m 625Hz


On voit que toutes les fréquences où la qualité de la solution EF se détériorait fortement (320 Hz), et où l'estimation semblait mauvaise (400 & 420 Hz, sont à moins de 2% de 416Hz ) étaient bien liées à ce problème.
On peut donc dire que l'indicateur semble fiable, car hormis à ces fréquences, l'estimation est très bonne. Et même à ces fréquence, le calcul de second niveau fait ressortir le caractère aberrant de la solution EF.
Voici l'allure de la solution exacte du problème (pression réelle ici.) :

Figure: Allure de la solution exacte de la pression réelle (300Hz)
\scalebox{0.60}{\includegraphics{images/pre300.eps}}

Les figures suivantes montrent l'évolution de la pression réelle et de la phase pour des fréquences proches de 400 et 420Hz.

Figure: Allure de la solution EF à 400Hz (Pression réelle à gauche et phase à droite)
\scalebox{0.40}{\includegraphics{images/pre400.eps}} \scalebox{0.40}{\includegraphics{images/theta400.eps}}

Figure: Allure de la solution EF à 410Hz (Pression réelle à gauche et phase à droite)
\scalebox{0.40}{\includegraphics{images/pre410.eps}} \scalebox{0.40}{\includegraphics{images/theta410.eps}}

Figure: Allure de la solution EF à 420Hz (Pression réelle à gauche et phase à droite)
\scalebox{0.40}{\includegraphics{images/pre420.eps}} \scalebox{0.40}{\includegraphics{images/theta420.eps}}

On voit donc que la solution se dégrade peu à peu. Cette dégradation est plus visible avec un maillage plus raffiné. En effet, pour celui-ci, le fréquence aberrante est confondue avec celle calculée (tableau 5.1), alors que dans le cas du maillage précédent (400 éléments), la précision de calcul est plus faible.

Figure: Allure de la solution EF à 313.1Hz, modèle raffiné (Pression réelle à gauche et phase à droite)
\scalebox{0.35}{\includegraphics{images/pre_dec.eps}} \scalebox{0.35}{\includegraphics{images/phase_dec.eps}}


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greg 2001-08-07