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Sous-sections


Détermination de l'équation de Helmholtz


Equation de Helmholtz

Pour cela, on cherche la solution harmonique de l'équation des ondes (3.4). On postule donc que :

$\displaystyle p^{'}(x,y,z,t)=p(x,y,z)e^{j\omega t}$     (3.5)

En remplaçant cette forme de solution dans l'équation des ondes (3.4), on obtient :

$\displaystyle \Delta p +\left(\frac{w}{c}\right)^{2}p=0$     (3.6)

On fait apparaitre le nombre d'onde k :
$\displaystyle k=\frac{\omega}{c}=\frac{2\pi}{\lambda}$     (3.7)

Avec $\lambda $ la longueur d'onde.

On trouve donc l'équation locale régissant l'acoustique (sous les hypothèses définies en 3.1) (Equation de Helmholtz):

$\displaystyle \Delta p+k^{2}p=0$     (3.8)

On remarquera que la démonstration [1] de cette équation permet de déterminer une relation entre la vitesse acoustique et le gradient de pression :

$\displaystyle j\rho ck\underline{V}+\underline{\nabla p}=0$     (3.9)


Conditions Limites en Acoustique

Soit le domaine suivant :

\scalebox{0.70}{\includegraphics{images/domaine.eps}}

On note $\Gamma $ la frontière de $\Omega $. Les parties $\Gamma_{D},\Gamma_{N} $ et $\Gamma_{R} $ forment une partition de $\Gamma $, i.e. :

$ \left\lbrace
\begin{array}{l}
\Gamma_{D}\cup \Gamma_{N} \cup \Gamma_{R}=\Gam...
...Gamma_{R}=\oslash \\
\Gamma_{D} \cap \Gamma_{R}=\oslash
\end{array} \right. $

Avec sur ces différentes frontières, les conditions limites :

Condition limite de Dirichlet :

$\displaystyle p=\overline{p}$ $\textstyle sur$ $\displaystyle \Gamma_{D}$ (3.10)

On note $ \overline{p} $ la valeur imposée de la pression.

Condition limite de Neumann :

$\displaystyle \partial_{n} p=-j\: \rho \: \omega \: \overline{Vn}$ $\textstyle sur$ $\displaystyle \Gamma_{N}$ (3.11)

On note $ \overline{Vn} $ la valeur imposée de la composante normale de la vitesse. Cette condition limite modélise la vibration d'un panneau, ce qui en fait la condition la plus souvent utilisée lorsque l'on a un couplage faible entre la structure et le fluide. On effectue alors une étude vibratoire de la structure, puis grâce à celle-ci une étude acoustique du fluide sans se préoccuper des interactions fluide-structure.

Condition limite de Robin :

$\displaystyle \partial_{n} p=-j\: \rho \: \omega \: A_{n}\: p$ $\textstyle sur$ $\displaystyle \Gamma_{R}$ (3.12)

$A_{n}$ est appelé coefficient d'admittance. Il est relié à l'impédance par la relation suivante :

$\displaystyle A_{n}\cdot Z_{n}=1$     (3.13)

Physiquement, ce coefficient représente l'absorption de l'onde par les matériaux environnants.


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greg 2001-08-07