Pour cela, on cherche la solution harmonique de l'équation des ondes (3.4). On postule donc que :
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(3.5) |
En remplaçant cette forme de solution dans l'équation des ondes (3.4), on obtient :
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(3.6) |
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(3.7) |
Avec la longueur d'onde.
On trouve donc l'équation locale régissant l'acoustique (sous les
hypothèses définies en 3.1) (Equation de
Helmholtz):
On remarquera que la démonstration [1] de cette
équation permet de déterminer une relation entre la vitesse
acoustique et le gradient de pression :
Soit le domaine suivant :
On note la frontière de
. Les parties
et
forment une partition de
, i.e. :
Avec sur ces différentes frontières, les conditions limites :
Condition limite de Dirichlet :
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(3.10) |
On note la valeur imposée de la pression.
Condition limite de Neumann :
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(3.11) |
On note la valeur imposée de la composante
normale de la vitesse. Cette condition limite modélise la
vibration d'un panneau, ce qui en fait la condition la plus
souvent utilisée lorsque l'on a un couplage faible entre la
structure et le fluide. On effectue alors une étude vibratoire de
la structure, puis grâce à celle-ci une étude acoustique du fluide
sans se préoccuper des interactions fluide-structure.
Condition limite de Robin :
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(3.12) |
est appelé coefficient d'admittance. Il est relié à
l'impédance par la relation suivante :
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(3.13) |