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Formulation faible en Acoustique
On introduit l'espace des pressions p admissibles :
Ainsi que l'espace des fonctions test :
On remarquera que ces deux espaces sont des sous-ensemble de
l'espace de Sobolev
.
Déterminons la formulation variationnelle d'un problème d'acoustique. Pour cela, utilisons les notations indicielles. On peut écrire :
![$\displaystyle \int _{\Omega}[(\partial _{ii}p+k^{2}p)\tilde{w}]d\Omega =0$](img44.gif) |
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(3.16) |
Avec
le conjugué de .
ce qui équivaut à :
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(3.17) |
Puis :
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(3.18) |
Enfin, on peut écrire :
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(3.19) |
Avec : a(p,q) forme sesquilinéaire.
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(3.20) |
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(3.21) |
Et :
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(3.22) |
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(3.23) |
A partir de cette solution faible, on peut donc appliquer une méthode de type Galerkin.
En effet, dans la solution faible, on suppose que les fonctions d'essai p mises en oeuvre ont pour seule condition de vérifier les conditions limites.
La méthode Galerkin n'envisage qu'un sous ensemble de dimension finie obtenu par une interpolation par sous domaine (Eléments Finis, par exemple), connectés ensemble par des noeuds.
On peut ensuite introduire l'énergie potentielle totale du domaine :
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(3.24) |
Et la résolution du problème s'écrit :
Trouver

tel que

soit minimale.
Trouver

tel que

.
Pour effectuer une résolution EFGM (voir chap
4.2.3), il peut être
intéressant, afin de vérifier les conditions limites du problème
d'introduire les multiplicateurs de Lagrange, et d'écrire
l'énergie potentielle totale augmentée :
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(3.25) |
Le problème s'écrit alors :
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Trouver
tel que soit minimale. |
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Trouver
tel que
. |
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greg
2001-08-07