next up previous contents
suivant: Présentation de la méthode monter: Equations de l'acoustique précédent: Détermination de l'équation de   Table des matières


Formulation faible en Acoustique

On introduit l'espace des pressions p admissibles :


$\displaystyle H_{D}^{1}(\Omega)=\{p\in H^{1}(\Omega)\vert p=\overline{p}$ $\textstyle sur$ $\displaystyle \Gamma _{D}\}$ (3.14)

Ainsi que l'espace des fonctions test :

$\displaystyle H_{D}^{0}(\Omega)=\{w\in H^{1}(\Omega)\vert w=0$ $\textstyle sur$ $\displaystyle \Gamma _{D}\}$ (3.15)

On remarquera que ces deux espaces sont des sous-ensemble de l'espace de Sobolev $H^{1}(\Omega)$.
Déterminons la formulation variationnelle d'un problème d'acoustique. Pour cela, utilisons les notations indicielles. On peut écrire :
$\displaystyle \int _{\Omega}[(\partial _{ii}p+k^{2}p)\tilde{w}]d\Omega =0$ $\textstyle \forall w\in H_{D}^{0}(\Omega)$   (3.16)

Avec $\tilde{.}$ le conjugué de .
ce qui équivaut à :
$\displaystyle \oint_{\Gamma}(\partial _{n}p\:\tilde{w})d\Gamma - \int_{\Omega}(...
...partial _{x_{i}}\tilde{w}) d\Omega + \int_{\Omega}(k^{2}p\:\tilde{w}) d\Omega=0$ $\textstyle \forall w\in H_{D}^{0}(\Omega)$   (3.17)

Puis :


$\displaystyle -\int_{\Gamma_{R}}(j\rho\:c\:k\:A_{n}\:\tilde{w})d\Gamma -\int_{\...
...partial _{x_{i}}\tilde{w}) d\Omega + \int_{\Omega}(k^{2}p\:\tilde{w}) d\Omega=0$     (3.18)


\begin{displaymath}\forall w\in H_{D}^{0}(\Omega)
\end{displaymath}

Enfin, on peut écrire :
$\displaystyle a(p,\tilde{w})=\ell(\tilde{w})$ $\textstyle \forall w\in H_{D}^{0}(\Omega)$   (3.19)

Avec : a(p,q) forme sesquilinéaire.
\begin{displaymath}
a(p,\tilde{q}): H_{D}^{1}\:_{X}\: H_{D}^{1}\rightarrow C\\
\end{displaymath} (3.20)


\begin{displaymath}
a(p,q)= \int _{\Omega}(\partial _{x_{i}}p\: \partial _{x_{i...
... + \int _{\Gamma _{r}}(j\rho\:c\:k\:A_{n}\:\tilde{q})\:d\Gamma
\end{displaymath} (3.21)

Et :
\begin{displaymath}
\ell(q): H_{D}^{1}\rightarrow C
\end{displaymath} (3.22)


\begin{displaymath}
\ell(q)=-\int _{\Gamma_{n}}(j\rho\:c\:k\:\overline{V_{n}}\:q)\:d\Gamma
\end{displaymath} (3.23)

A partir de cette solution faible, on peut donc appliquer une méthode de type Galerkin. En effet, dans la solution faible, on suppose que les fonctions d'essai p mises en oeuvre ont pour seule condition de vérifier les conditions limites.
La méthode Galerkin n'envisage qu'un sous ensemble de dimension finie obtenu par une interpolation par sous domaine (Eléments Finis, par exemple), connectés ensemble par des noeuds.
On peut ensuite introduire l'énergie potentielle totale du domaine :
$\displaystyle W^{Tot}=\frac{1}{2}a(p,\tilde{p})-\ell(\tilde{p})$     (3.24)

Et la résolution du problème s'écrit :

Trouver $p\in H^{1}_{D}(\Omega)$ tel que $W^{Tot}$ soit minimale.
$\Updownarrow $
Trouver $p\in H^{1}_{D}(\Omega)$ tel que $\delta W^{Tot}=0\:
\forall \delta p \in H^{1}_{0}$.

Pour effectuer une résolution EFGM (voir chap 4.2.3), il peut être intéressant, afin de vérifier les conditions limites du problème d'introduire les multiplicateurs de Lagrange, et d'écrire l'énergie potentielle totale augmentée :


$\displaystyle W^{Tot*}=\frac{1}{2}a(p,\tilde{p})-\ell(\tilde{p})-\int _{\Gamma_{D}}\lambda \: (p-\bar{p})\:d\Gamma$     (3.25)

Le problème s'écrit alors :

   
Trouver $p\in H^{1}_{D}(\Omega)$ tel que $W^{Tot*}$ soit minimale.  
$\Updownarrow $  
Trouver $p\in H^{1}_{D}(\Omega)$ tel que $\delta W^{Tot*}=0\; \forall \; \delta p \in H^{1}_{0}, \delta \lambda \in H^{0}$.  
   


next up previous contents
suivant: Présentation de la méthode monter: Equations de l'acoustique précédent: Détermination de l'équation de   Table des matières
greg 2001-08-07