Les méthodes meshless ont tout d'abord été développées pour palier
les difficultés des méthodes Elements Finis, Volumes Finis et
Différences Finies à traiter les problèmes contenant des
discontinuités (si celles-ci ne sont pas situées sur les lignes du
maillage).
Ces méthodes nécessitent des remaillages périodiques si les lignes
de discontinuité sont mobiles (fissuration), d'où une certaine
lourdeur, ainsi que des difficultés de gestion de programme.
L'objectif des méthodes meshless est d'éliminer le maillage lors
de ces calculs.
Les méthodes sans maillage sont pourtant apparues il y a 25 ans,
mais les recherches poussées à leur sujet n'ont démarré il y a
très peu de temps (années 90). C'est en 1977 que Lucy [10]
introduit la méthode SPH (Smooth Particle Hydrodynamics) afin de
modéliser les phénomènes astrophysiques. Cependant, cette méthode
posait des problèmes d'instabilités. Ce n'est qu'en 1995 que
Swegle, Hicks et
Attaway proposèrent une méthode de stabilisation.
Parallèlement, en 1994, Belytschko, Lu et Gu [17]
adaptèrent la méthode d'approximation des moindres carrés pondérés
de Nayroles [4] au meshless. Ils la nommèrent EFG
(Element-Free Galerkin). Cette méthode est plus stable que la SPH,
mais aussi
plus couteuse.
Récemment, une avancée a été accomplie dans la compréhension de
ces méthodes. En effet, Babuska et Melenk (1995) [8], puis
Duarte et Oden (1996) [5] reconnurent que ces méthodes
étaient en fait des cas particuliers de la partition de l'unité
(Partition Unity ou PU),
permettant de formidables extensions de ces méthodes.
Le développement de la generalized finite difference method
[11] , ainsi que les particle-in-cell methods (Sulsky et
Schreyer) ont aussi ouvert d'autres
directions de recherche.
La méthode utilisée dans ce travail est dérivée de la méthode EFG
de Belytschko [17].