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\begin{document}

\section*{Résultats numériques - RMS pour un spectre de Cantor et pour un potentiel de Fibonacci}

\subsection*{Spectre de Cantor}

La figure 1 concerne le RMS, sans moyennage temporel. La courbe bleue est le graphe du RMS,  $\Delta x(t) = \sqrt{\sum_{k\geq 0} k^2 |\psi(k,t)|^2} $,  la verte  est celui de  $\sqrt{2}\Delta x\left(\frac{t}{3}\right) $, et la violette est $t^{\frac{\ln 2}{2\ln 3}}$.

\medskip
La figure 2 concerne le RMS au carré moyenné dans le temps : 
$$\langle \Delta x^2(t)\rangle = \frac{1}{t}\int_0^t \Delta x^2(t') dt' = \sum_{k\geq 0} k^2 \langle |\psi(k,t)|^2\rangle $$
La courbe bleue est le graphe de $\langle \Delta x^2(t)\rangle$, la verte celui de $2\langle \Delta x^2\left(\frac{t}{3}\right) \rangle$, la violette celui de $t^{\frac{\ln 2}{\ln 3}}$.

\medskip

On voit, sur la figure 2, que, asymptotiquement, $\langle \Delta x^2(t)\rangle = 2\langle \Delta x^2\left(\frac{t}{3}\right) \rangle$. Cela sugnifie que $\langle \Delta x^2(t)\rangle$ est une fonction d'échelle, de la forme $\langle \Delta x^2(t)\rangle \sim_{t\to \infty} t^{\frac{\ln 2}{\ln 3}}G_{per}(\ln t)$. L'exposant $\frac{\ln 2}{\ln 3}$ est bien vérifié numériquement.

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[scale=0.4]{rms-rmsd3-t2a.png}
\caption{}
\end{figure}

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[scale=0.4]{time-av-rms-rmsd3-ta.png}
\caption{}
\end{figure}

\subsection*{Potentiel de Fibonacci}

Dans un premier temps, on étudie les résultats numériques obtenus avec les polaritons (cf. [1] et les notes de E. Gurevich et E. Akkermans, "wave paquet dynamics").

D'après la fig. 4 de [1], la dimension spectrale locale (pertinente pour le paquet d'onde considéré) vaut environ $0.32$. Numériquement, il semble que cette valeur corresponde bien (au signe près) avec l'exposant caractéristique du time-averaged return probability $C(t)$ (voir fig. 3). Ceci est cohérent avec le résultat théorique : $C(t) \sim_{t\to\infty} t^{-d_f}$, avec $d_f$ la dimension fractale du système.

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[scale=0.4]{ct-pente-exp2.png}
\caption{}
\end{figure}

\medskip

On étudie maintenant l'exposant caractéristique du RMS : $\Delta x(t) = \sqrt{\int_{espace} x^2 |\psi(x,t)|^2}$. On trouve, comme dans le cas d'un spectre de Cantor, que $\Delta x(t)\sim_{t\to\infty} t^{d_f/2}$ (fig. 4). 


\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[scale=0.4]{rmspente-exp.png}
\caption{}
\end{figure}

Afin d'avoir une double vérification, on utilise une autre méthode pour déterminer la dimension spectrale afin de la comparer à l'exposant du RMS. On calcule directement la pente de $C(t)$ sur les graphes donnés dans les notes : d'après la théorie, il s'agit de l'opposé de la dimension spectrale. On trouve encore une dimension d'environ $0.32$, et cela correspond à l'exposant caractéristque du RMS et du rapport de participation (fig. 5). 

\begin{figure}[b]
\centering
\includegraphics[scale=0.4]{ct-pr-rms-pente-exp.png}
\caption{}
\end{figure}

\medskip

Pour finir, j'ai comparé avec la formule donnée en [2] pour le calcul de la dimension spectrale. Malheureusement, je n'ai pas réussi à l'adapter pour le cas du tight-binding ; cela ne donne pas de résultats numériques cohérents avec ceux que nous avons ni avec ceux de Hiramoto...

\section*{Références}

[1] Tanese, E. Gurevich, A. Lematre, E. Galopin, I.
Sagnes, A. Amo, J. Bloch, E. Akkermans, Physical Review
Letters 112, 146404 (2014)

\medskip

[2] D. Wortz, T. Schneider and M.P. Soerensen, Physica 148A (1988) 343-355

\end{document}