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\begin{document}

\section*{Synth\`ese : IFS (iterated function systems) dans le cas d'un spectre fractal ; application \`a la dynamique quantique pour un spectre fractal et \'etude du coefficient de Thouless}

\subsection*{Introduction}

On consid\`ere un syst\`eme quantique 1D r\'egit par un hamiltonien $H$ dont le spectre $K$ est stable par un ensemble de transformations $\{t_i(x)\}_{i=1,n}$. On munit le spectre d'une mesure $d\mu$ appropri\'ee, telle que : 
$$\int_{K} f(x)d\mu(x) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \int_{K} f(t_i(x))d\mu(x)$$

Exemples : \\

(1) ensemble de Cantor triadique, contenu dans $[-1/2 , 1/2]$ : 
$$\int_{K} f(x)d\mu(x) = \frac{1}{2}  \int_{K} f((x-1)/3)d\mu(x)+\frac{1}{2}  \int_{K} f((x+1)/3)d\mu(x)$$ 

\medskip

(2) ensemble de Julia :  $\int_{K} f(x)d\mu(x) = \frac{1}{2}  \int_{K} f(\sqrt{x+\lambda})d\mu(x)+\frac{1}{2}  \int_{K} f(-\sqrt{x+\lambda})d\mu(x)$, $\lambda > 2$. \\

Pour chaque $K$ et chaque mesure $\mu$, on peut construire r\'ecursivement un ensemble de polyn\^omes orthogonaux $\{p_n(x)\}$  pour $\mu$ : $\int_K p_n(x)p_m(x)d\mu(x) = \delta_{n,m}$. De facon  g\'en\'erale, les polyn\^omes sont donn\'es par  la relation de r\'ecurence suivante : $ xp_{n}(x) = r_{n+1}p_{n+1}(x) +a_np_n(x) +r_np_{n-1}(x)$. On peut y associer la matrice de Jacobi $J$ (tridiagonale, sym\'etrique) d\'efinie par : $J_{i,i} = a_i$ , $J_{i-1,i}=J_{i,i_1} =  r_i$. La relation de r\'ecurrence peut alors s'\'ecrire synth\'etiquement : 
$$Jp = xp$$

\subsection*{Application \`a la dynamique d'un syst\`eme quantique}

On peut relier les polyn\^omes introduits pr\'ec\'edemment aux fonctions propres de $H$. \\

Dans le cas o\`u les $r_i$ sont constants, $J$ s'interpr\`ete comme la matrice du hamiltonien dans le mod\`ele du tight-binding ; dans ce cas, le vecteur $\psi_{\epsilon}(n) =(p_1(\epsilon), p_2(\epsilon), ..., p_n(\epsilon),...)$ est (\`a facteur de renormalistation pr\`es) le vecteur propre pour la valeur propre $\epsilon$.

\medskip

Dans certains cas, comme par exemple quand $K$ est centr\'e en z\'ero et o\`u la mesure est sym\'etrique, on peut construire les polyn\^omes avec une relation de r\'ecurrence de la forne : 
$$p_{n+1}(x) = xp_n(x) -r_np_{n-1}(x)$$
avec $p_0 = 1$, $p_1(x) = x$. C'est la cas des deux exemples cit\'es \`a la section pr\'ec\'edente (cf. [1], [2]).\\
La matrice de Jacobi associ\'ee n'a alors pas de terme diagonal, et s'interpr\`ete comme la matrice du hamiltonien dans le mod\`ele tight-binding, en repr\'esentation non-diagonale ; l'\'equation de Schrodinger discr\'etis\'ee associ\'ee est :
$$\sqrt{r_n}\phi_{\epsilon}(n+1) +\sqrt{r_{n-1}}\phi_{\epsilon}(n-1) = \epsilon \phi_{\epsilon}(n)$$
Le lien entre les vecteurs propres $\phi_{\epsilon}$ et les polyn\^omes $p_n(\epsilon)$ est : 
$$\phi_n(\epsilon) = p_n(\epsilon)/\sqrt{r_1 r_2...r_n}$$

\medskip

On peut maintenant r\'einjecter cette relation dans l'expression de quantit\'es physiques pour \'etudier la dynamique d'un syst\`eme quantique \'evoluant selon cet hamiltonien.

\medskip 
Consid\'erons un paquet d'onde $\psi(t)$, dont l'\'evolution est r\'egie par l'\'equation de Schrodinger : $i\frac{d\psi(t)}{dt} = J\psi(t)$, et localis\'e \`a $t=0$ en $k = k_0$ : $\langle k |\psi(t=0)\rangle = \delta(k-k_0)$. Apr\`es un temps $t$, le syst\`eme est dans l'\'etat : 
$|\psi (t)\rangle = e^{-iJt}|\psi(0)$ ; la valeur de la fonction d'onde en un site $k$ est donn\'e par : 
$$|\psi(k,t)| = \int_K \phi_{\epsilon}( k_0)^{*}\phi_{\epsilon}(k)e^{-i\epsilon t}$$
Dans [3], cette m\'ethode est utilis\'ee pour \'etudier les moments 
$$\nu_{\alpha}(t) = \sum_{k} k^{\alpha}|\psi(k,t)|^{2}$$
L'utilisation des transform\'ees de Mellin permet, selon [3], de conclure que, pour certaines valeurs de $\alpha$, les moments ont asymptotiquement un comportement log-p\'eriodique. Ceci reste \`a d\'emontrer. 

\subsection*{Coefficient de Thouless}

On \'etudie ici s\'epar\'ement les propri\'et\'es du coefficient de Thouless pour un spectre de Cantor triadique (stable par une transformation lin\'eaire) et pour un spectre de Julia, type Cantor, stable par une transformation quadratique (du type de l'exemple (2)).

\medskip

Cas (1) : le spectre $K$ est un ensemble de Cantor triadique, centr\'e en z\'ero ; la mesure $\mu$ appropri\'ee v\'erifie : 
$$\int_{K} f(x)d\mu(x) = \frac{1}{2}  \int_{K} f((x-1)/3)d\mu(x)+\frac{1}{2}  \int_{K} f((x+1)/3)d\mu(x)$$

Alors : 
\begin{eqnarray*}
\lefteqn{\gamma(x) = \int_{K} \ln(|x-y|)d\mu(y)}\\
& = & \frac{1}{2}\int_K \ln(|\frac{x-1}{3}|)d\mu(y) +  \frac{1}{2}\int_K \ln(|\frac{x+1}{3}|)d\mu(y)\\
& = & 

\medskip

Cas (2) : spectre $K$ stable par $T(x) = x^2 - \lambda$, et les applications inverses : $t_{\pm}(x) = \pm \sqrt{x+\lambda}$ ; la mesure $\mu$ v\'erifie :  
$$\int_{K} f(x)d\mu(x) = \frac{1}{2}  \int_{K} f(\sqrt{x+\lambda})d\mu(x)+\frac{1}{2}  \int_{K} f(-\sqrt{x+\lambda})d\mu(x)$, $\lambda > 2$$

Alors : 
\begin{eqnarray*}
\lefteqn{\gamma(x) = \int_{K} \ln(|x-y|)d\mu(y)}\\
& = & \frac{1}{2}\int_K \ln(|x-\sqrt{y+\lambda}|)d\mu(y) + \frac{1}{2}\int_K \ln(|x-\sqrt{y+\lambda}|)d\mu(y)\\
& = & \frac{1}{2}\int_K \ln(|x^2 - (y+\lambda)|)d\mu(y) \\
& = & \frac{1}{2}\gamma(x^2 - \lambda)\\
& = & \frac{1}{2}\gamma(T(x))
\end{eqnarray*}

D'apr\`es [4], $\gamma(x)$ admet alors le d\'eveloppement suivant autour du point fixe $ a =\frac{1+\sqrt{1+4\lambda}}{2}$ :
$$\gamma(a+\xi)=\sum_{m=0}^{\infty}\sum_{n=0}^{\infty}\rho_{m}^{n} (\xi)^{\ln 2/\ln(2a) +n}\cos(2\pi m \ln(\xi)/\ln 2 +\psi_{m}^{n})$$

\subsection*{To do}

En lien avec le papier en cours sur la dynamique quantique pour un spectre de Cantor : \\
- utiliser les polyn\^omes orthogonaux pour la mesure $\mu$ d\'efinie sur l'ensemble de Cantor triadique pour obtenir des informations sur le RMS, le rapport de participation inverse, et \'eventuellement retrouver l'expression de la fonction de corr\'elation ; j'ai \'egalement commenc\'e une \'etude num\'erique avec cette technique, mais il y a encore du code a \'ecrire.\\
- comparer la dynamique de syst\`emes pour un spectre de Cantor triadique (spectre invariant par une transformation lin\'eaire, comme cit\'ee \`a l'exemple (1)) et pour un spectre de Julia \'egalement de type Cantor (stable par une transformation quadratique par exemple comme cit\'e exemple (2)). Cela pourrait \^etre int\'eressant de voir si l'on retrouve les m\^emes comportements dynamique, malgr\'e le fait que les coefficients de Thouless ont a priori des comportements tr\`es diff\'erents. 

\medskip

En lien avec la superradiance : \\
- on peut consid\'erer la superradiance dans le cas d'un spectre de Julia type Cantor, pour utiliser l'invariance du spectre par une transformation quadratique, qui semble plus riche que le cas lin\'eaire pour \'etudier la r\'esolvante associ\'e \`a l'hamiltonien du syst\`eme. 

\section*{R\'ef\'erences}

[1] J. Bellissard, D. Bessis, P. Moussa, Chaotic states of almost periodic Schrodinger operators, Phys. Rev. Lett., Vol 49 number 10 (1982) 

\medskip

[2] Steven M. Heilman, Philip Owrutsky, Robert S. Strichartz,  Orthogonal polynomials
with respect to self-similar measures, Experimental Mathematics, 20 (2011),
238-259

\medskip

[3] G. Mantica, Wave propagation in almost-periodic structures, PhysicaD109 (1997) 113-127

\end{document}