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\begin{document}

\section*{Synth\`ese : Dynamique quantique pour un spectre fractal - Coefficient de Thouless - Formule de Thouless et dynamique quantique pour le tight-binding model}

Ce document regroupe toutes les notes dont je dispose sur la dynamique quantique pour un spectre de Cantor triadique : le calcul de la probabilit\'e de retour \`a l'origine pour un un paquet d'onde (cas g\'en\'eral), l'\'etude du coefficient de Thouless, puis l'\'etude du mod\`ele du tight-binding : formule de Thouless et \'etude du RMS. \\

Par la suite, on notera $K$ l'ensemble de Cantor triadique, construit \`a partir du segment $[0,1]$, et $d\mu$ la mesure appropri\'ee associ\'ee. $d\mu$ v\'erifie :

\begin{equation}
\int_k f(x) d\mu(x) = \frac{1}{2}\int_k f\left(\frac{x}{3}\right) d\mu(x)+\frac{1}{2}\int_k f\left(\frac{x+2}{3}\right) d\mu(x)
\end{equation}

\subsection*{Probabilit\'e de retour \`a l'origine}

cf. correlation-fun-cantor.pdf

\subsection*{Coefficient de Thouless}

Le coefficient de Thouless pour un syst\`eme quantique dont le spectre en \'energie est $K$ est d\'efinit par : $\gamma(x) = \int_{K} \ln |y - x|d\mu(y)$. Par application de (1), on montre que $\gamma(x)$ v\'erifie les \'equations fonctionnelles suivantes :

\[ \gamma(x/3) = \left \{
\begin{array}{ccc}
   -\ln 3 + \frac{1}{2}\gamma(x) +\frac{1}{2}\int_K \ln |x-y-2| d\mu(y) \\
   -\ln 3 + \frac{1}{2}\gamma(x) +\frac{1}{2}\int_K \ln |x-y+2| d\mu(y)
\end{array}
\right.
\] 

En appliquant une transformation de Mellin a ces \'egalit\'es, on en d\'eduit que $\gamma$ comporte des oscillations log-p\'riodiques (voir fig. 1). De plus, $\gamma$ a la sym\'etrie suivante :
$\gamma(x) = \gamma(1-x)$. 

\begin{figure}[b]
\centering
\includegraphics[scale=0.7]{thouless_coeff_cantor.png}
\caption{coefficient de Thouless}
%fig 1
\end{figure}

\subsection*{Formule de Thouless et dynamique quantique dans le mod\`ele du tight-binding - application au RMS}


Mod\`ele du tight-binding : on consid\`ere une lattice 1D constitu\'ee de N sites espac\'es de 1, N pouvant \^etre infini a priori. \'Equation de Schrodinger discr\'etis\'ee :
$$ -\phi_n(k+1) - \phi_n(k-1) +2\phi_n(k) + V(k)\phi_n(k) = E_n\phi_n(k)$$
avec $\phi_n = (\phi_n(0), \phi_n(1), ..., \phi_n(N))$ une solution propre associ\'ee \`a la valeur propre $E_n$ ; on a ajout\'e le site $0$ avec pour conditions :$\phi_n(0) = 0$ et la normalisation : $\sum_k |\phi_n(k)|^2 < \infty$.

\subsubsection*{Formule de Thouless}

On suppose ici que la lattice est finie : $N<\infty$.

Exprim\'ee matriciellement dans la base $\{|k\rangle\}_{1,N}$ avec $|k\rangle = (\delta_{j,k})_{j=1,N})$, l'\'equation de Schrodinger s'\'ecrit : $ H_N \phi_n = E_n \phi_n$ avec 
\[ H_N = 
 \begin{pmatrix}
 1 & 0 & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
 -1 & 2+V(1) & -1 & 0 &\cdots & 0 \\
  0  & \ddots  & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\
  \vdots & \ddots & \ddots &  \ddots & \ddots & 0\\
  \vdots & \ddots & \ddots & \cdots & \cdots & -1 \\
  0 & \cdots & \cdots & 0 &  -1 & 2+V(N) \\
 \end{pmatrix}\]

On utilise la matrice de Green : $G(E) = (EI - H_N)^{-1}$, pour exprimer les corr\'elations spatiales de $\phi_n$ en terme de fonctions spectrales.

D'une part : $$G_{1N}(E) = \sum_{n=1}^N \frac{\phi_{n}^{*}(1)\phi_n(N)}{E - E_n}$$
et d'autre part, en utilisant la formule d'inversion matricielle : $$ G_{1N}(E) = \frac{(-1)^{N+1}}{\prod(E-E_n)}Cof_{N1}(EI - H_N)$$
avec $Cof_{N1}(EI - H_N) = (-1)^{N+1}$. En identifiant les deux \'egalit\'es ci-dessus, en multipliant par $(E-E_n)$ et en \'evaluant en $E=E_n$, il vient :
$$|\phi(1)\phi(N)| = \frac{1}{\prod_{k\neq n} |E_k - E_n|}$$
puis 
$$\frac{1}{N}\ln |\phi_n(1)\phi_n(N)| = -\frac{1}{N}\sum_{k\neq n}\ln|E_k - E_n|$$
Dans le cas o\`u le spectre est un ensemble de Cantor, et avec $N = 2^{m}$ : 
\begin{eqnarray*}
\lefteqn{\frac{1}{N}\ln |\phi_n(1)\phi_n(N)| = -\frac{1}{2^m}\sum_{k\neq n}\ln|E_k - E_n|} \\
& \simeq & -\frac{3^m}{2^m}\sum_{k\neq n}\int_{E_k}^{E_k+3^{-m}}\ln|x - E_n|dx\\
& \simeq & - \int_{K}\ln |x - E_n|d\mu(x)\\
& = & -\gamma(E_n)
\end{eqnarray*}

On a donc finalement :

\begin{equation}
\frac{1}{N}\ln |\phi_n(1)\phi_n(N)| = -\gamma(E_n)
\end{equation}

On va maintenant appliquer cette formule a l'\'etude des propri\'et\'es dynamiques du paquet d'onde.

\subsubsection*{Dynamique quantique d'un paquet d'onde - Etude du RMS}

On s'int\'eresse maintenant \`a la dynamique d'un paquet d'onde $\psi(t)$, dont l'\'evolution est r\'egie par l'\'equation de Schrodinger : $i\frac{d\psi(t)}{dt} = H\psi(t)$, et localis\'e \`a $t=0$ en $k = k_0$ : $\langle k |\psi(t=0)\rangle = \delta(k-k_0)$. Apr\`es un temps $t$, le syst\`eme est dans l'\'etat : 
$|\psi (t)\rangle = e^{-iHt}|\psi(0)\rangle$ ; la valeur de la fonction d'onde en un site $k$ est donn\'e par : 
$$|\psi(k,t)| = \int_K \phi_{\epsilon}( k_0)^{*}\phi_{\epsilon}(k)e^{-i\epsilon t}$$

Nous distinguons deux cas : une lattice finie et une lattice infinie. Dans chacun des cas, les propri\'et\'es dynamiques du syst\`me d\'ecoulent du comportement des moments : 
$$ h_k(t) = \int_K e^{i\epsilon t}\epsilon^k d\mu(\epsilon)$$
Cependant, dans le cas fini, on dispose de plus de la formule de Thouless d\'emontr\'ee au paragraphe pr\'ec\'edent, ce qui donne plus d'informations.

\medskip

\textbf{Cas d'une lattice infinie}

\medskip

On consid\`ere une lattice de taille infinie. \'Equation de Schrodinger discr\'etis\'ee :
$$ -\phi_E(k+1) - \phi_E(k-1) +2\phi_E(k) + V(k)\phi_E(k) = E\phi_E(k)$$
avec $\phi_E = (\phi_E(0), \phi_E(1), ..., \phi_E(N),...)$ une solution propre associ\'ee \`a la valeur propre $E$ ; on a ajout\'e le site $0$ avec pour conditions :$\phi_E(0) = 0$ et la normalisation : $\sum |\phi_E(k)|^2 < \infty$. On n'explicite pas le potentiel $V$ ; l'on suppose uniquement que le spectre en \'energie est un ensemble de Cantor triadique.

\medskip

On utilise le formalisme des matrices de transfert pour calculer les $\phi_E(k)$ de proche en proche : soient les matrices $$M_k(E) = \begin{pmatrix}

 2+V_k - E & -1  \\
  1  & 0  \\
 \end{pmatrix}$$
 
 telles que : $\begin{pmatrix}
 
  \phi_E(k) \\
   \phi_E(k-1)  \\
  \end{pmatrix} = M_k(E) \begin{pmatrix}
   
    \phi_E(k) \\
     \phi_E(k-1)  \\
    \end{pmatrix}$
    
    Posons : $\begin{pmatrix}
      
       p_k(E) & q_k(E) \\
        p_{k-1}(E) & q_{k-1}(E)  \\
       \end{pmatrix} = \prod_{j=k}^{1} \begin{pmatrix}
        
        p_j(E) & q_j(E) \\
           p_{j-1}(E) & q_{j-1}(E)  \\
         \end{pmatrix}$. 
         
        La suite de polyn\^omes $\{ p_k\}_k$ v\'erifie la relation de r\'ecurrence : 
        $$p_{k+1}(E) = (2+V_{k+1}-E)p_k(E) - p_{k-1}(E)$$ 
        
        avec conditions initiales :$\left \{
         \begin{array}{ccc}
            p_1(E) =2+ V_1-E \\
            p_0(E) = 1
         \end{array}
         \right.$   

Comme, par hypoth\`ese, $\phi_E(0) = 0$, on a pour toute \'energie $E$ et tout site $k$:
$$\phi_E (k) = p_k(E) \phi_E(1)$$

$\phi_E (1)$ est fix\'e par la condition de normalisation :
$$\phi_E(1) = \frac{1}{\sqrt{\sum_k |p_k(E)|^2}}$$

On peut aussi choisir d'imposer une valeur constante pour $\phi_E(1)$, et d\'efinir le spectre comme toutes les \'energies $E$ telles que l'orbite de $(p_k(E))_k$ soit born\'ee (cf. [1], [2]) ; pour un potentiel de Fibonacci, le spectre est alors de type Cantor. \\

On peut donc voir les valeurs prises par fonctions propres $\phi_E$ en les sites $k$ comme des polyn\^omes en $E$, que multiplie une certaine fonction ($\frac{1}{\sqrt{\sum_k |p_k(E)|^2}}$ si l'on prend la condition de normalisation, ou une constante $\phi_E(1) = c_0$ dans l'autre cas). Il suffit donc, comme on le verra sur l'exemple du RMS, d''etudier les fonctions :
$$ h_k(t) = \int_K e^{i\epsilon t}\epsilon^k d\mu(\epsilon)$$

\medskip

Appliquons ceci \`a l'\'etude du RMS $\Delta x(t)$, d\'efinit par :
$$\Delta x (t)^2 = \sum_{k = 1}^{\infty} k^2 |\psi(k,t)|^2$$
On a :
\begin{eqnarray*}
\lefteqn{\Delta x (t)^2 = \sum_{k = 1}^{\infty} k^2 \left|\int_{K}e^{i\epsilon t}\phi_{\epsilon}^{*}(k_0)\phi_{\epsilon}(k)d\mu(\epsilon)\right|^2}\\
& = & \sum_{k = 1}^{\infty} k^2 \left|\int_{K}e^{i\epsilon t} |\phi_{\epsilon}(1)|^2p_k(\epsilon)p_{k_0}(\epsilon)\right|^2 d\mu(\epsilon)\\
& = & \sum_{k = 1}^{\infty} k^2 |j_{k+k_0}(t)|^2
\end{eqnarray*}

avec $j_{k+k_0}(t) = \int_K e^{i\epsilon t} |\phi_{\epsilon}(1)|^2p_k(\epsilon)p_{k_0}(\epsilon)d\mu(\epsilon)$.\\

Comme $p_k$ est un polyn\^ome de degr\'e $k$, on peut d\'evelopper $p_k(\epsilon)p_{k_0}(\epsilon)$ en somme de mon\^omes : $p_k(\epsilon)p_{k_0}(\epsilon) = \sum_{j_k \leq k, j_{k_0} \leq k_0} c_{j_k,k} c_{j_{k_0},k_0}\epsilon^{j_k+j_{k_0}}$. \\
$\Delta x(t)^2$ est donc une combinaison lin\'eaire de termes de la forme :
$h_k(t) =  \int_K e^{i\epsilon t} |\phi_{\epsilon}(1)|^2\epsilon^k d\mu(\epsilon)$. Il suffit donc d'\'etudier $h_k(t)$ pour en d\'eduire le comportement du RMS. 

\medskip

La transform\'ee de Mellin de $h_k(t)$ a des p\^oles de la forme : $s_{m,k} = k + \frac{\ln 2}{\ln 3}+\frac{2i\pi m}{\ln 3}$ ainsi que des p\^oles en $\gamma_n = -n$, $n \in \mathbb{N}$ (voir d\'etail du calcul en annexe) ; en cons\'equence, $h_k(t)$ est de la forme  :
$$ h_k(t) = t^{-k-\ln 2 /\ln 3}\sum_{m \in \mathbb{Z}}t^{-2i\pi m/\ln 3}e^{-i \pi s_{m,k}/2}r_{k,m}\Gamma{s_{m,k}} + $$
avec $\Gamma$ la fonction gamma d'Euler et $r_{k,m}$ des coefficients complexes.

\medskip

Donc, $\Delta x(t) ^2$ est une combinaison lin\'eaire de termes de la forme $t^{-k-\ln 2 /\ln 3} G_{k}(\ln t)$, o\`u les $ G_k(\ln t)$ sont des fonctions p\'eriodiques de $\ln t$, de p\'eriode $\ln 3$ : 

$$\Delta x (t) = \sqrt{t^{-2\ln 2/\ln 3}\sum_{k \in \mathbb{Z}} k^2 \sum_{0 \leq l_k \leq k}d_{l_k}t^{-l_k}G_{l_k}(\ln t)}$$

Cette formule montre que $\Delta x (t)$ a une composante log-p\'eriodique. Cependant, il faudrait \'etudier plus en d\'etail les coefficients $d_{l_k}$ (issus du r\'earrangement des termes en mon\^omes de m\^eme degr\'e dans $j_{k+k_0}(t)$ et du calcul des $p_k(\epsilon)$) pour conna\^itre le comportement global (croissant, d\'ecroissant, pr\'esence ou non d'une loi de puissance globale) du RMS.

\medskip

\textbf{Cas d'une lattice finie}

\medskip

On consid\`ere maintenant une lattice finie, constitu\'ee de $N+1$ sites. On impose de plus les conditions aux limites (Dirichlet) : $\phi_E(0) = 0$ et $\phi_E(N) = a$. Le raisonnement avec les matrices de transfert utilis\'e pr\'ec\'edemment est toujours valide : les fonctions propres sont le la forme : $\phi_E (k) = p_k(E) \phi_E(1)$. Par ailleurs, la formule de Thouless donne : $\frac{1}{N}\ln |\phi_E(1)\phi_E(N)| = -\gamma(E)$, d'o\`u :
$\phi_E(1) = \frac{1}{\phi_E(N)}e^{-N\gamma(E)} = \frac{1}{a}e^{-N\gamma(E)}$. Finalement, on a l'expression suivante pour les fonctions d'onde : 
$$\phi_E (k) = \frac{1}{a}p_k(E)e^{-N\gamma(E)}$$

De m\^eme que dans le cas infini, on peut ramener l'\'etude du RMS \`a l'\'etude des fonctions :
$ h_k(t) = \int_K e^{i\epsilon t}\epsilon^k e^{-N\gamma(\epsilon)d\mu(\epsilon)}$. Le passage par les transform\'ees de Mellin permettent de m\^eme de montrer que $\Delta x(t)$ a une composante log-p\'eriodique.

\medskip

\textbf{R\'esultats num\'eriques}

\medskip

J'ai \'etudi\'e num\'eriquement deux situations, dans le cadre du mod\`ele du tight-binding : un syst\`eme avec un spectre de Cantor triadique, et un autre avec un potentiel de Fibonacci $V$. Dans le second cas, j'ai compar\'e les graphes du RMS issu du calcul th\'eorique et du calcul direct, et test\'e la validit\'e de la formule : $\phi_E (k) = \frac{1}{a}p_k(E)e^{-N\gamma(E)}$.

\medskip

\textit{\textbf{RMS pour un spectre de Cantor triadique}}

\medskip

La figure 2 montre le graphe de la fonction $ h_k(t) = \int_K e^{i\epsilon t}\epsilon^k d\mu(\epsilon)$ pour $k=0$ pour un spectre de Cantor triadique.   

\begin{figure}
\centering
\includegraphics[scale=0.5]{loglogabsj0.png}
\caption{j0(t) pour un spectre de Cantor triadique}
%fig 2
\end{figure}

La figure 3 est le graphe du RMS dans le cas d'un spectre de Cantor, calcul\'e a partir de l'expression simplifi\'ee suivante pour les fonctions propres : $$\phi_E (k) = E^k \phi_E(1)$$

et $\phi_E (1) = \frac{1}{sqrt{\sum|p_k(E)|^2}} = \sqrt{1-E^2}$.  

\begin{figure}
\centering
\includegraphics[scale=0.5]{loglogrmsmomexpthcantor.png}
\caption{Graphe th\'eorique du RMS, avec une expression simplifi\'ee, pour un spectre de Cantor triadique}
%fig 3
\end{figure}

\medskip

\textit{\textbf{RMS pour un potentiel de Fibonacci ; application de la formule de Thouless}}

\medskip

On \'etudie maintenant le cas d'un syst\`eme r\'egit par un potentiel $V$ de Fibonacci, construit de la mani\`ere suivante : en notant $F_N$ le $N-$i\`eme nombre de la suite de Fibonacci et $S_N$ la s\'equence $(V_k)_{k=1,...,N}$ donnant la valeur $V_k$ du potentiel en les sites $1\leq k \leq F_N$, on construit les $S_N$ r\'ecursivement :
$S_{N+1} = [S_{N},S_{N-1}]$, avec $S_1 = V_A$ et $S_2 = V_B$. Pour les calculs, on a pris :$V_A = -V_B = 0.6$, et on construit une lattice de $233$ sites.  Le Hamiltonien $H_N$ du syst\`eme est repr\'esent\'e par une matrice tridiagonale, de la forme de celle donn\'ee dans le paragraphe sur le coefficient de Thouless, et d\'efinie \`a partir du potentiel $V$. Les valeurs propres et vecteurs propres du syst\`eme sont ceux de $H_N$. La figure 4 montre le spectre du syst\`eme.

\begin{figure}
\centering
\includegraphics[scale=0.5]{spectrefibo13.png}
\caption{Spectre associ\'e au potentiel de Fibonacci, pour un syst\`eme de $233$ sites.}
%fig 4
\end{figure}

On construit par ailleurs les polyn\^omes $p_k(E)$ \`a partir de la relation de r\'ecurrence : 
$$p_{k+1}(E) = (2+V_{k+1}-E)p_k(E) - p_{k-1}(E)$$ 
        
        avec conditions initiales :$\left \{
         \begin{array}{ccc}
            p_1(E) =2+ V_1-E \\
            p_0(E) = 1
         \end{array}
         \right.$   
         
La figure 5 compare les graphes de $|\phi_E(1)|$ avec le graphe de $a*e^{-F_N |\gamma(E)|}$, o\`u $a$ est un param\`etre correspondant \`a la valeur de la fonction d'onde au site $F_N$. A une constante additive pr\`es, les graphes ont des structures proches : pics localis\'es aux m\^emes \'energies, m\^eme variations. Je ne sais pas d'o\`u provient l'\'ecart entre les graphes ; cela provient peut-\^etre juste des approximations num\'eriques faites pour le calcul de $\gamma(E)$ par matlab.

  
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[scale=0.5]{expth-vap1.png}
\caption{Bleu : module de $\phi_E(1)$ ; Vert : $a*e^{-F_N |\gamma(E)|}$ pour un potentiel de Fibonacci.}
%fig 5
\end{figure}

La figure 6 compare les graphes de la fonction propre pour l'\'energie la plus basse, $\phi_{E_0}(k)$, en fonction de k, avec le graphe obtenu avec la formule th\'eorique : $\phi_{E_0} (k) = \frac{1}{a}p_k(E_0)e^{-N\gamma(E_0)}$.


\begin{figure}
\centering
\includegraphics[scale=0.5]{vep-dir-et-th-polyxexpth.png}
\caption{Bleu : module de $\phi_{E_0}(k)$ ; Vert : $a*(e^{-F_N |\gamma(E_0)|}-b)$ pour un potentiel de Fibonacci. $b$ est un param\`etre correctif (pour compenser l'\'ecart observ\'e fig. 5)}
%fig 6
\end{figure}

Enfin, les figures 7,8 comparent les graphes du RMS calcul\'e directement \`a partir des fonctions propres et obtenu avec la formule th\'eorique $\phi_{E} (k) = \frac{1}{a}p_k(E)e^{-N\gamma(E)}$ pour les fonctions propres.

\begin{figure}
\centering
\includegraphics[scale=0.5]{loglogrmsfibodirzoom.png}
\caption{$\Delta x(t)$ pour un potentiel de Fibonacci}
%fig 7
\end{figure}

\begin{figure}
\centering
\includegraphics[scale=0.5]{loglogrmsfibothzoom2.png}
\caption{$\Delta x(t)$ th\'eorique pour un potentiel de Fibonacci}
%fig 8
\end{figure}

\section*{Annexe}

\subsection*{Calcul de $h_k(t)$}

On calcule ici les ofnctions de la forme :  $h_k(t) =  \int_K e^{i\epsilon t} |\phi_{\epsilon}(1)|^2\epsilon^k d\mu(\epsilon)$, avec $k\in \mathbb{N}$.

\medskip

Transform\'ee de Mellin :
\begin{eqnarray*}
\lefteqn{m_k (s) = \int_0^{\infty} t^{s-1}h_k(t) dt}\\
& = & \int_K d\mu(\epsilon) |\phi_{\epsilon}(1)|^2\epsilon^k \int_0^{\infty} t^{s-1}e^{i\epsilon t}dt\\
& = & \Gamma(s)e^{-i\pi s/2}\underbrace{\int_K d\mu(\epsilon) |\phi_{\epsilon}(1)|^2\epsilon^{k-s}}_{l_k(s)}
\end{eqnarray*}

avec $\Gamma$ la fonction gamma d'Euler. Maintenant, en appliquant (1) :

\begin{eqnarray*}
\lefteqn{l_k(s) = \int_K d\mu(\epsilon) |\phi_{\epsilon}(1)|^2\epsilon^{k-s}}\\
& = & \frac{1}{2}\int_K d\mu(\epsilon) |\phi_{\frac{\epsilon}{3}}(1)|^2\frac{\epsilon^{k-s}}{3^{k-s}}+\frac{1}{2}\int_K d\mu(\epsilon) |\phi_{\frac{\epsilon+2}{3}}(1)|^2\frac{(\epsilon+2)^{k-s}}{3^{k-s}}
\end{eqnarray*}

Par ailleurs : $|\phi_{\epsilon}(1)|^2 = \frac{1}{\sum_k |p_k(\epsilon)|^2} = c_0 +\mathcal{O}(\epsilon)$, $c_0$ \'etant une constante ; on fait donc l'approximation : 
$ |\phi_{\frac{\epsilon}{3}}(1)|^2\frac{\epsilon^{k-s}}{3^{k-s}} \simeq |\phi_{\epsilon}(1)|^2\frac{\epsilon^{k-s}}{3^{k-s}}$. Si l'on choisit les conditions aux limites "mixtes" : $\phi_{\epsilon}(0) = 0$, $\phi_{\epsilon}(1) = a$ cela tient aussi. Donc :

\begin{eqnarray*}
\lefteqn{l_k(s) \simeq c_0\int_K d\mu(\epsilon) \epsilon^{k-s}}\\
& = & \frac{1}{2}\int_K d\mu(\epsilon) \frac{\epsilon^{k-s}}{3^{k-s}}+\underbrace{\frac{1}{2}\int_K d\mu(\epsilon) \frac{(\epsilon+2)^{k-s}}{3^{k-s}}}_{r_k(s)}\\
& = & \frac{3^{s-k}}{2}l_k(s) + r_k(s)
\end{eqnarray*}

$r_k(s)$ n'a pas de p\^oles car $\epsilon +2$ ne s'annule pas sur $K$. Donc :
\begin{eqnarray*}
\lefteqn{l_k(s) = \frac{r_k(s)}{1-3^{s-k}/2}}
\end{eqnarray*}
Les p\^oles de $l_k(s)$ sont de la forme : $s_{m,k} = k + \frac{\ln 2}{\ln 3} +\frac{2i\pi m}{\ln 3}$. En appliquant la transform\'ee de Mellin inverse, on a donc :
\begin{equation}
h_k(t) = t^{-k-\ln 2 /\ln 3}\sum_{m \in \mathbb{Z}}t^{-2i\pi m/\ln 3}e^{-i \pi s_{m,k}/2}r_{k,m}\Gamma(s_{m,k})
\end{equation}

\section*{R\'ef\'erences}

[1] D. Wurtz, T. Schneider, A. Politi, Phys. Lett. A vol 129 number 2, 9 May 1988

\medskip

[2] H. Hiramoto, M. Kohmoto, International Journal of Modern Physics B, Vol 6, Nos 3 - 4 (1992) 281-320

\end{document} 