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\begin{document}

\subsection*{Calcul de $h_k(t)$}

On calcule ici les fonctions de la forme :  $h_k(t) =  \int_K e^{-i x t}x^k d\mu(x)$, avec $k\in \mathbb{N}$ et o\`u $K$ d\'esigne l'ensemble de Cantor triadique.

La mesure $d\mu$ est telle que, pour toute fonction $f$ d\'efinie sur $K$ : 
\begin{equation}
\int_k f(x) d\mu(x) = \frac{1}{2}\int_k f\left(\frac{x}{3}\right) d\mu(x)+\frac{1}{2}\int_k f\left(\frac{x+2}{3}\right) d\mu(x)
\end{equation}

\medskip

L'id\'ee du calcul est la suivante : calculer la transform\'ee de Mellin $m_k(s)$ de $h_k(t)$, calculer ses p\^oles, et en d\'eduire $h_k(t)$ en appliquant la transform\'ee de Mellin inverse. 

\medskip

Transform\'ee de Mellin :
\begin{eqnarray*}
\lefteqn{m_k (s) = \int_0^{\infty} t^{s-1}h_k(t) dt}\\
& = & \int_K d\mu(x) x^k \int_0^{\infty} t^{s-1}e^{-ix t}dt\\
& = & \Gamma(s)e^{-i\pi s/2}\underbrace{\int_K d\mu(x)x^{k-s}}_{l_k(s)}
\end{eqnarray*}

avec $\Gamma$ la fonction gamma d'Euler. 

L'int\'egrale $\int_0^{\infty} t^{s-1}h_k(t) dt$ converge sur la bande $0<\Re(s)<1$, mais $m_k(s)$ se prolonge analytiquement sur $\mathbb{C}$ en une fonction m\'eromorphe.

Maintenant, en appliquant (1) :

\begin{eqnarray*}
\lefteqn{l_k(s) = \int_K d\mu(x)x^{k-s}}\\
& = & \frac{1}{2}\int_K d\mu(x) \frac{x^{k-s}}{3^{k-s}}+\frac{1}{2}\int_K d\mu(x) \frac{(x+2)^{k-s}}{3^{k-s}}\\
& = & \frac{1}{2}\int_K d\mu(x) \frac{x^{k-s}}{3^{k-s}}+\underbrace{\frac{1}{2}\int_K d\mu(x) \frac{(x+2)^{k-s}}{3^{k-s}}}_{r_k(s)}\\
& = & \frac{3^{s-k}}{2}l_k(s) + r_k(s)
\end{eqnarray*}

$r_k(s)$ n'a pas de p\^oles car $x +2$ ne s'annule pas sur $K$. Donc :
\begin{eqnarray*}
\lefteqn{l_k(s) = \frac{r_k(s)}{1-3^{s-k}/2}}
\end{eqnarray*}
est une fonction m\'eromorphe, prolongeable analytiquement sur $\mathbb{C}$, avec des p\^oles en : $s_{m,k} = k + \frac{\ln 2}{\ln 3} +\frac{2i\pi m}{\ln 3}$, $m \in \mathbb{Z}$, le r\'esidu en $s_{m,k}$ \'etant $\frac{1}{\ln 3}$. Par ailleurs, $\Gamma$ a ses p\^oles en $\gamma_n = -n$, $n \in \mathbb{N}$, avec pour r\'esidu en $\gamma_n$ : $\frac{(-1)^n}{n!}$. 

\medskip

Transform\'ee de Mellin inverse :

$$h_k(t) = \frac{1}{2i\pi}\int_{a-i\infty}^{a+\infty} t^{-s}m_k(s)ds $$
avec $0<a<1$.

En appliquant la formule des r\'esidus sur le contour d'int\'egration $C$, on obtient :


\begin{equation}
h_k(t) = t^{-k-\ln 2 /\ln 3}\sum_{m \in \mathbb{Z}}t^{-2i\pi m/\ln 3}e^{-i \pi s_{m,k}/2}r_{k,m}\Gamma(s_{m,k})
+\sum_{n \in \mathbb{N}} \frac{(-1)^n}{n!}e^{i \pi n/2}\frac{r_k(-n)}{1-3^{-n-k}/2}t^{n}
\end{equation}

\begin{figure}
\centering
\includegraphics[scale=0.7]{contour.JPG}
\caption{Chemin d'int\'egration pour l'application de la formule des r\'esidus.}
\end{figure}

\end{document}