\documentclass{beamer}

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\title{Dynamique quantique pour un spectre fractal - application à des processus simples en électrodynamique et optique quantique}
\author{Ariane SORET$^{1,2}$\\
Eric AKKERMANS$^1$}
\institute{1 - Technion Institute of Technology ; 2 - \'Ecole Normale Supérieure Cachan }
\date{Année ARPE \\ 
Septembre 2014 - Juillet 2015}

\begin{document}

\begin{frame}
\titlepage
\end{frame}

\begin{frame}
  \tableofcontents[option, option, ...]
\end{frame}

\AtBeginSection[]
{
  \begin{frame}
  \frametitle{Table of contents}
  \tableofcontents[currentsection, hideothersubsections, pausesubsections]
  \end{frame}
}


\section{Introduction}

\begin{frame}

%Dynamics of systems with a fractal feature (spatial and/or spectral) ?

\medskip

\'Etudier des systèmes avec une \textcolor{blue}{structure fractale} (spatiale ou spectrale).

\medskip

Motivations :
\begin{itemize}
\item spectres \textcolor{blue}{singulier-continus} très fréquents dans systèmes physiques, mais mal connus
\item Expliquer des résultats expérimentaux et numériques
\end{itemize}

Objectifs :
\begin{itemize}
\item Identifier la signature d'une structure fractale (spatiale et/ou spectrale) dans des quantités physiques pertinentes $\rightarrow$ loi de puissance modulée par des oscillations log-périodiques
\item Calculer les expressions analytiques, et les comparer aux expériences
\end{itemize} 

%\begin{figure}
%\includegraphics[scale=0.4]{cantor.png}
%\caption{Triadic Cantor set}
%\end{figure}
\end{frame}

\begin{frame}
%\begin{block}{}
%"Fractal" : introduit par Mandelbrot pour d\'{e}finir les objets tellement irr\'{e}guliers qu'ils sortent du cadre de la g\$
%\end{block}
\begin{columns}
\column{.5\textwidth}
%\begin{block}{Fractal - definition}
Fractale :
\begin{itemize}
\item ensemble avec une \textcolor{red}{symétrie d'échelle discrète}
\item dimension fractale $d_f$ \\
(échelle de longueur $l$ ; volume $l^{d_f}$)
\end{itemize}
%\end{block}
\column{.5\textwidth}
\begin{figure}
\includegraphics[scale=0.1]{sierpinski.png}
\caption{Triangle de Sierpinski ; $d_f = \frac{\ln 3}{\ln 2}$}
\end{figure}
\end{columns}
\end{frame}

\section{Contexte et résultats antérieurs : spectre de Cantor triadique}

\begin{frame}
Dynamique quantique dans le cas où le spectre = ensemble de Cantor triadique.

\medskip

$H = -\frac{d^{2}}{dx^{2}} + V(x)$ sur $L^2(\mathbb{R})$, avec pour spectre un ensemble de Cantor triadique.
%\begin{columns}
%\column{.5\textwidth}
%\begin{itemize} 
%\item Eigenfunctions $\{|\phi(\epsilon)\rangle\}$ of $H$
%\item Spectral decomposition $ |\psi(t)\rangle = \int_{K} g(\epsilon) e^{-i\epsilon t} |\phi(\epsilon)\rangle d\mu(\epsilon)$
%\item Analytical expression
%\item Inversement : quelles quantit\'{e}s donnent informations sur le spectre ?  
%\end{itemize}
%\column{.5\textwidth}
%\begin{block}{}
\begin{figure}
\includegraphics[scale=0.8]{cantor.png}
\caption{Ensemble de Cantor triadique. Dimension fractale $d_K = \frac{\ln 2}{\ln 3}$}
\end{figure}
%\end{block}
%\end{columns}
\end{frame}

\subsection{Mesure spectrale}


\begin{frame} 
Ensemble de Cantor triadique : de mesure de Lebesgue nulle. Densité d'états dégénérée $\rho(\epsilon)$. Définition d'une mesure :$d\mu(\epsilon) \equiv \rho(\epsilon)d\epsilon$ :

\begin{figure}
\includegraphics[scale=0.5]{mesure4.JPG}
\end{figure}


 %$\int_K f(x)d\mu(x) = \lim_{n \to + \infty} \left(\frac{3}{2}\right)^{n} \sum_{P_{n}} \int_{a_{j,n}}^{a_{j,n}+3^{-n}} f(x)dx$
%with $P_{n} = \{a_{j,n}\}$ the left edges of the remaining segments after $n$ steps 



Vérifie : $ \int_K f(x)d\mu(x) = \frac{1}{2}\int_K f(\frac{x}{3})d\mu(x) + \frac{1}{2}\int_K f(\frac{x+2}{3})d\mu(x)$
(\textcolor{red}{relation d'échelle})





\end{frame}

%\begin{frame}
%Integrated density of states (IDOS) :
%$$
%N(\epsilon)=\int_{spectre} \theta(\epsilon - \epsilon')d\mu(\epsilon')$$

%\begin{columns}
%\column{.5\textwidth}
%\begin{block}{}
%\begin{figure}
%\includegraphics[scale=0.2]{idos_cantor.png}
%\caption{IDOS for a triadic Cantor set}
%\end{figure}
%\end{block}
%\column{.5\textwidth}
%\begin{block}{}
%\begin{figure}
%\includegraphics[scale=0.4]{idos_im3.PNG}
%\caption{IDOS for the Fibonacci cavity}
%\end{figure}
%\end{block}
%\end{columns}
%\end{frame}


\subsection{Probabilité moyenne de retour à l'origine}
\begin{frame}
Comment la structure fractale affecte-t-elle la dynamique du paquet d'onde $ |\psi(t)\rangle$ ? 
\begin{enumerate}
\item Déplacement moyen (Root Mean Displacement RMS)  $\Delta x (t)= \sqrt{\int(x(t)-x_0)^2 |\psi(x,t)|^2 dx}$
\item Probabilité de retour à l'origine $p(t) = |\langle\psi(0)|\psi(t)\rangle|^{2}$
\item ...
\end{enumerate}


\end{frame}

\begin{frame}
Une quantité pertinente : la \textcolor{blue}{probabilité de retour à l'origine moyenne} :
$$C(t) = \frac{1}{t}\int_0^t |\langle\psi(0)|\psi(t')\rangle|^{2} dt' $$

\end{frame}

\begin{frame}
Une quantité pertinente : la \textcolor{blue}{probabilité de retour à l'origine moyenne} :
$$C(t) = \frac{1}{t}\int_0^t |\langle\psi(0)|\psi(t')\rangle|^{2} dt'=\iint_{K\times K} sinc((\epsilon' - \epsilon)t)d\mu(\epsilon)d\mu(\epsilon')$$
Note : $\epsilon$ et $t$ sont des variables couplées.\\
Méthode
\begin{enumerate}
\item utiliser la symmétrie du spectre pour obtenir une équation fonctionnelle
\item appliquer la transformation de Mellin    
\end{enumerate}
\end{frame}

\begin{frame}
$$ C(t) = \iint_{K\times K} sinc((\epsilon' - \epsilon)t)d\mu(\epsilon)d\mu(\epsilon')$$
\begin{columns}
\column{.5\textwidth}
%\begin{block}{}
Changement de variables : $l = |\epsilon' - \epsilon|$ \\
$dS(l,\mu) = $surface, au sens de $\mu$, de l'ensemble de Cantor 2D ("tapis de Cantor"), contenu dans les bandes rouges\\
%\end{block}
\begin{alertblock}{}
$C(t) = \int_0^1 sinc(lt) dS(l,\mu)$
\end{alertblock}
\column{.5\textwidth}
\begin{block}{}
\includegraphics[scale=0.4]{cantor_carpet.PNG}
\end{block}
\end{columns}
\tiny{(cf. intégrales d'énergie :  D. Bessis et al., Phys. Rev. A,
Vol. 36, number 2, July 15, 1987)}
\end{frame}

\begin{frame}
Principales étapes :
\begin{enumerate}
\item transformée de Mellin : $\zeta(\alpha) = \int_0^1 l^{-\alpha}dS(l,\mu) = \iint_{K\times K} \frac{d\mu(x)d\mu(y)}{|x-y|^{\alpha}}$
\item propriété d'échelle : \\
\small{$\iint_{K\times K} \frac{d\mu(x)d\mu(y)}{|x-y|^{\alpha}} = \frac{1}{2}\iint_{K\times K} \frac{d\mu(x)d\mu(y)}{3^{-\alpha}|x-y|^{\alpha}} + \underbrace{\frac{1}{2}\iint_{K\times K} \frac{d\mu(x)d\mu(y)}{3^{-\alpha}|x-y+2|^{\alpha}}}_{g(\alpha)} $}

\medskip

\small{$= \frac{3^{\alpha}}{2}\zeta(\alpha) + g(\alpha)$}
\item $\zeta(\alpha) = \frac{g(\alpha)}{1-\frac{3^{\alpha}}{2}}$
\item transformée de Mellin inverse $\rightarrow dS(l,\mu) \rightarrow C(t)$ 
\end{enumerate}
\textit{Rappel} : 
\begin{itemize}
\item transformée de Mellin de $f$ : $M_{f}(s) = \int_0^{\infty}f(x)x^{s-1}dx$
\item transformée de Mellin inverse : $M^{-1}_{\phi}(x) = \frac{1}{2i\pi}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty}\phi(s)x^{-s}ds$
\end{itemize}
\end{frame}
   
\begin{frame}
\begin{block}{Probabilité de retour à l'origine moyenne pour un ensemble de Cantor (\small{IPS meeting 2014 - Be'er Sheva})}
\small{$$C(t) = t^{-d_K}\sum_{n\in \mathbb{Z}}t^{-\frac{2i\pi n}{\ln 3}}a_n\left[ 1+\mathcal{O}(t^{-1})\right]$$}

\end{block}
\small{$a_n= \frac{1}{\ln 3}\gamma(1-d_{K,n})\sin\left(\frac{\pi}{2}(d_{K}-1+\frac{2i\pi n}{\ln 3})\right)\Gamma(d_{K}-1+\frac{2i\pi n}{\ln 3})$, $\Gamma$ fonction gamma de Euler}
$\Rightarrow$ $\boxed{C(t) \sim_{t\to\infty} t^{-\ln 2/\ln 3}G_p(\ln t/\ln 3)$, $G_p(y+1) = G_p(y)}$\\
\begin{enumerate}
\item \textcolor{blue}{loi de puissance} modulée par des \textcolor{blue}{oscillations log-périodiques}. 
\item $C(t)\sim_{t\to\infty}\frac{1}{2}C\left(\frac{t}{3}\right)$
\item $C(t) =_{t\to\infty} t^{-d_K}$,  $d_K = \frac{\ln 2}{\ln 3}$ (dimension fractale) de l'ensemble de Cantor.
\end{enumerate}
\end{frame}


\begin{frame}

\begin{figure}
\includegraphics[scale=0.3]{ct_loglog2.eps}
%\includegraphics[scale=0.3]{ct.eps}
\caption{Probabilité de retour à l'origine moyenne $C(t)$ pour un spectre de Cantor triadique}
%$C(t) = t^{-\ln 2/\ln 3}G_p(\ln t/\ln 3)$, $G_p(y+1) = G_p(y)$}
\end{figure}

\end{frame}

\begin{frame}
\begin{figure}
\includegraphics[scale=0.3]{ct_per.eps}
\caption{Probabilité de retour à l'origine moyenne divisée par $t^{-\ln 2/\ln 3}$, $C(t)t^{\ln 2/\ln 3}$ pour un spectre de Cantor}
\end{figure}
\end{frame}

\begin{frame}
Remarques :
\begin{itemize}
\item Méthode générale :\\
propriété d'échelle \\
$\rightarrow$ équation fonctionnelle $f(x) = \frac{1}{b}f(ax)+g(x)$ \\
$\rightarrow$ transformée de Mellin \\ 
$\rightarrow f(x) = x^{\ln(b)/\ln(a)}G_p\left(\frac{\ln{x}}{\ln{a}}\right)$, $G_p(y+1) = G_p(y)$
\item Comportement caractéristique en présence d'un spectre fractal : loi de puissance modulée par des oscillations log-périodiques
\item Cette méthode donne une intuition sur quelles quantités physiques ont ce comportement caractéristique
\end{itemize}
\end{frame}

%\subsection{Autres quantités pertinentes}

%\begin{frame}
%Autres quantités pertinentes :
%\begin{itemize}
%\item Rapport de participation : $P_{r}(t) = \frac{1}{t}\int_0^t \frac{dt,}{|\langle x|\psi(t')\rangle|^{4}} $\\
%\item RMS : $\Delta x (t)= \sqrt{\int(x(t)-x_0)^2 |\psi(x,t)|^2 dx}$  
%\end{itemize}

%\end{frame}


\section{Experience : polaritons en cavité dans un potentiel de Fibonacci}

%\begin{frame}

%\begin{columns}
%\column{.5\textwidth}
%\begin{exampleblock}{\small{Fibonacci cavity}}
%\begin{figure}
%\includegraphics[scale=0.6]{fibo_seq.JPG}
%\caption{$S_1 = B$, $S_2 = A$, $S_{j+1}=S_{j-1}S_{j}$}
%\end{figure}
%\end{exampleblock}
%\column{.5\textwidth}
%\begin{block}{}
%\begin{figure}
%\includegraphics[scale=0.3]{cavite-fibo.png}
%\caption{Fibonacci cavity. Source : [1]}
%\end{figure}
%\end{block}
%\end{columns}

%[1] Tanese, E. Gurevich, A. Lematre, E. Galopin, I. Sagnes, A. Amo, J. Bloch, E.
%Akkermans, Physical Review Letters 112, 146404 (2014)
%R\'{e}sultats num\'{e}riques et exp\'{e}rimentaux \footnote{D. Tanese, E. Gurevich, A. Lemaitre, E. Galopin, I. Sagnes, A. Amo, J. Bloch, E. Akkermans, arxiv:1311.3453v1}: log-p\'{e}riodicit\'{e} de certaines quantit\'{e}s.

%\begin{figure}
%\includegraphics[scale=0.2]{idos.png}
%\caption{Source : [1]}
%\end{figure}
%\end{frame}

\begin{frame}

\begin{columns}
\column{.5\textwidth}
%Photon described by $\psi(x,y,z)$, confined in $z$ direction :
%$$E\psi(x,y) = -\frac{\hbar^{2}}{2m_{ph}}\Delta_{\perp}\psi(x,y)$$
% with $\Delta_{\perp} =  \partial^2_{x} + \partial^2_{y} $,  $m_{ph}$ effective mass of the photon.
Polaritons en cavité (quasi-particules associées au couplage fort entre photons et excitons) placés dans un potentiel quasi-périodique.

 \medskip
 
 \'Equivalent à un problème 1D avec un \textcolor{blue}{potentiel quasi-périodique} effectif $V(x)$, dont le spectre est \textcolor{blue}{de type Cantor } :
 $$E\psi(x) = \frac{\hbar^{2}}{2m_{ph}}\left[-\frac{d^{2}}{dx^{2}} + V(x)\right]\psi(x)$$
\column{.5\textwidth}
%\begin{block}{}
\begin{figure}
\includegraphics[scale=0.4]{cav-seq-fibo.JPG}
\caption{Cavité de Fibonacci}
\end{figure}
%\end{block}
\end{columns}
 \end{frame} 
 
% \begin{frame}
%Résultats numériques et expérimentaux  

 %\begin{figure}
 %\includegraphics[scale=0.5]{idos-fibo2.JPG}
 %\caption{\tiny{}
 %\end{figure}


%\tiny{[1] Akkermans, Gurevich et al., Physical Review Letters 112, 146404 (2014)} 
 %\end{frame}
 
 %\begin{frame}
%\includegraphics[scale=0.5]{idos-synth-3.JPG}
%\end{frame}
 
 %Integrated density of states (IDOS) :
 %$$
 %N(\epsilon)=\int_{spectre} \theta(\epsilon - \epsilon')d\mu(\epsilon')$$
 %$$N(\epsilon/3) = \frac{1}{2}N(\epsilon) \Rightarrow N(\epsilon) = \epsilon^{\ln 2/\ln 3}g_p(\ln \epsilon/\ln 3), g(y+1) = g(y)$$
 
 

 
 \begin{frame}
 Probabilité de retour à l'origine moyenne :$C(t) = \frac{1}{t}\int_0^t |\langle\psi(0)|\psi(t')\rangle|^{2} dt' $
 \begin{columns}
 \column{.5\textwidth}
 \begin{figure}
 \includegraphics[scale=0.7]{c_t_fibo.PNG}
 \caption{\tiny{Probabilité de retour à l'origine moyenne d'un paquet d'onde dans un potentiel de Fibonacci.}}
 \end{figure}
  \column{.5\textwidth}
 \begin{figure}
  \includegraphics[scale=0.2]{ct_loglog2.eps}
  \caption{\tiny{Probabilité de retour à l'origine moyenne pour un spectre de Cantor triadique.}}
  \end{figure}
  \end{columns} 
 %Log-periodic oscillation, signature of the fractal feature of the spectrum.
 
 \end{frame}


%\section{Summary}

%\begin{frame}
%In summary :
%\begin{itemize}
 
%\item We identified the signature of a fractal spectrum through measurable physical quantities : power-law modulated by log-periodic oscillation, for dynamical and spectral quantities ($C(t)$, integrated density of states)
%\item General method to study theoretically systems with a fractal feature
%\item Oscillations difficult to observe ; easier with dynamical quantities 
%\item Verified experimentally with polaritons in a Fibonacci potential (Cantor like spectrum) 
 
%\item applied to the return probability for a Cantor spectrum
%\end{itemize}
%\end{frame}

\begin{frame}
\begin{itemize}
\item Vérification expérimentale des prédictions théoriques
\item Difficulté d'observer les oscillations expérimentalement ; plus facile avec les quantités dynamiques
\item Quelles autres quantités physiques portent la signature du spectre ? RMS $\Delta x (t)$, rapport de participation $P_{r}(t)$ ?
\item Quantités non purement spectrales $\rightarrow$ il faut plus d'informations sur les fonctions propres du Hamiltonien
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
Discrete eigenvalue Schrodinger equation :
$$-\phi_{\epsilon}(k+1)-\phi_{\epsilon}(k-1) + 2\phi_{\epsilon}(k) +V(k)\phi_{\epsilon}(k) = \epsilon\phi_{\epsilon}(k)$$
$\Rightarrow \phi_{\epsilon}(k) = \phi_{\epsilon}(1)p_k(\epsilon)$, $p_k(\epsilon)$ polynomial of degree $k-1$

\medskip

$\Rightarrow$ wave packet : $\psi(k,t) = \int_K |\phi_{\epsilon}(1)|^2 p_{k}(\epsilon)e^{-i\epsilon t}d\tilde\mu(\epsilon) $, $|\phi_{\epsilon}(1)|^2 d\tilde\mu(\epsilon)=d\mu(\epsilon)$

\medskip

$\Rightarrow\frac{1}{t}\int_0^t |\psi(k,t')|^2 dt' = $ linear combination of $f_{k,l}(t) = \iint_{K\times K} x^k x'^l \mbox{sinc}((x'-x)t)d\mu(x)d\mu(x')$

\medskip

Mellin transform on $f_{k,l}(t)$ ($G_p$ a periodic function)
$$\Rightarrow \boxed{\langle |\psi(k,t)|^2\rangle = \frac{1}{t}\int_0^t|\psi(k,t')|^2 dt'\sim t^{-d_K}G_{p}\left(\frac{\ln t}{\ln 3}\right)}$$


\end{frame}

\begin{frame}

Apply to RMS :

$$\boxed{\langle \Delta x^2(t)\rangle \sim_{t\to \infty} t^{d_K} G_{per,RMS}\left(\frac{\ln t}{\ln 3}\right)}$$
$G_{per,RMS}$ 1-periodic, and $d_K = \frac{\ln 2}{\ln 3}$ adapting [2].

\medskip

 $\Rightarrow$ asymptotically, $\langle \Delta x^2(t)\rangle = $\textcolor{red}{ scaling function} (fig. 3). 
 
 \medskip
 
 Prediction $\langle \Delta x^2(t)\rangle \sim_{t\to \infty} t^{d_f} G_{per,Fibo}(\ln t)$, with $d_f$ spectral dimension, verified (fig. 4).

\end{frame}

\section{Le modèle tight-binding}
\subsection{Description du modèle}
\begin{frame}
Choix d'un modèle : tight-binding.
\begin{itemize}
\item Système 1 D discret : lattice infinie, sites $k$ de $0$ à l'infini
\item Schrödinger discretisé : $H\phi_{\epsilon}(k) = \epsilon\phi_{\epsilon}(k)$ devient
$$-\phi_{\epsilon}(k+1)-\phi_{\epsilon}(k-1) + 2\phi_{\epsilon}(k) +V(k)\phi_{\epsilon}(k) = \epsilon\phi_{\epsilon}(k)$$
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
Matrices de transfert $\rightarrow$ fonctions propres :
$$\begin{pmatrix} \phi_{\epsilon}(k+1) \\
   \phi_{\epsilon}(k)  \\
  \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
  
   2+V(k) - \epsilon & -1  \\
    1  & 0  \\
   \end{pmatrix} \begin{pmatrix}
   
    \phi_{\epsilon}(k) \\
     \phi_{\epsilon}(k-1)  \\
    \end{pmatrix}$$
    
 On impose $\phi_{\epsilon}(0) = 0$ $\rightarrow$ 

\textcolor{blue}{$\phi_{\epsilon}(k) = \phi_{\epsilon}(1)p_k(\epsilon)$}
avec $\{p_k(\epsilon)\}$ \textcolor{blue}{polynômes} obtenus par :
 $$\begin{pmatrix}
      
       p_k(\epsilon) & * \\
        p_{k-1}(\epsilon) & *  \\
       \end{pmatrix} = \prod_{j=1}^{k} \begin{pmatrix}
        
      2+V(k-j) - \epsilon & -1  \\
         1  & 0  \\
      
         \end{pmatrix}$$
         
          Récurrence sur les $\{p_k(\epsilon)\}$  :
        $$p_{k+1}(\epsilon) = (2+V(k)-\epsilon)p_k(\epsilon) - p_{k-1}(\epsilon)$$ 
        
        avec :$\left \{
         \begin{array}{ccc}
            p_1(\epsilon) =1 \\
            p_2(\epsilon) = 2+V(1) - \epsilon
         \end{array}
         \right.$    
\end{frame}

\subsection{Réduction du problème à l'étude de fonctions simples}
\begin{frame}
\'Evolution du paquet d'onde : \\
initialement localisé en $1$ :$\langle k |\psi(0)\rangle = \delta(k-1)$ \\
Temps $t$ : $|\psi (t)\rangle = e^{-iHt}|\psi(0)\rangle$\\
fonction d'onde au site $k$ : 

$$\psi(k,t) = \int_{K}\phi_{\epsilon}(1)^{*}\phi_{\epsilon}(k)e^{-i\epsilon t}d\tilde\mu(\epsilon)$$
$$ \psi(k,t)= \int_K |\phi_{\epsilon}(1)|^2 p_{k}(\epsilon)e^{-i\epsilon t}d\tilde\mu(\epsilon) $$
$$\boxed{\psi(k,t) = \sum_{j\leq k}c_{j,k}\int_{K}\epsilon^{j}e^{-i\epsilon t}d\mu(\epsilon)}$$

avec $p_k(x) = \sum_{0\leq j \leq k} c_{j,k}x^{j}$ et $d\mu(\epsilon) =  |\phi_{\epsilon}(1)|^2 d\tilde\mu(\epsilon)$.
\end{frame}

\begin{frame}
Problème réduit à l'étude de :
$$ h_k(t) = \int_K e^{-i\epsilon t}\epsilon^k d\mu(\epsilon)$$
avec
$$\psi(k,t) = \sum_{j\leq k}c_{j,k}h_{j}(t)$$


Moyenne temporelle : $\frac{1}{t}\int_0^t |\psi(k,t')|^2 dt'$ $\Rightarrow$
\begin{eqnarray*}
\lefteqn{f_{k,l}(t) = \Re\left(\frac{1}{t}\int_{0}^t h_k^{*}(t') h_l(t') dt'\right)}\\
& = & \iint_{K\times K} x^k x'^l \mbox{sinc}((x'-x)t)d\mu(x)d\mu(x')
\end{eqnarray*}
\end{frame}

\subsection{Résultats théoriques}

\begin{frame}
$ h_k(t) = \int_K e^{-i\epsilon t}\epsilon^k d\mu(\epsilon)$ n'est pas une fonction d'échelle\\
Mais il y a une structure conservée par $t\to \frac{t}{3}$ :
\begin{itemize}
\item relation de récurrence entre les $h_k$
\item zéros de $h_k(t)$ = zéros de $h_{k-1}(t/3)$
\end{itemize}

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[scale=0.4]{9emeh0tiersh1h2.pdf}
\caption{$|h_0(t/9)|$ (bleu), $|h_1(t/3)|$ (rouge) et $|h_{2}(t)|$ (jaune).}
\end{figure}
\end{frame}

\begin{frame}
En moyennant dans le temps, on retrouve le comportement caractéristique (loi de puissance et oscillations log)
\begin{eqnarray*}
\lefteqn{f_{k,l}(t) = \iint_{K\times K} x^k x'^l \mbox{sinc}((x'-x)t)d\mu(x)d\mu(x')}\\
& = & t^{-d_K}\left[G_{k,l}(\ln t) + \mathcal{O}\left(\frac{1}{t}\right)\right]
\end{eqnarray*}
i.e. :
$$f_{k,l}(t) \sim_{t\to \infty} \frac{1}{2}f_{k,l}(t/3)$$
et donc :
$$\boxed{\frac{1}{t}\int_0^t|\psi(k,t')|^2 dt'\sim t^{-d_K}G_{per}(\ln t)}$$
avec $G_{per}(\ln t)$ de période $\ln 3$ \\
$\rightarrow$ moyenne temporelle du paquet d'onde est asymptotiquement une \textcolor{red}{fonction d'échelle}.
\end{frame}

\begin{frame}
Conséquences : 
\begin{itemize}
\item la moyenne temporelle de quantités dynamiques sont aussi, asymptotiquement, fonctions d'échelle 
\item $\langle \Delta x^2(t)\rangle \sim_{t\to \infty} t^{\alpha} G_{per}\left(\frac{\ln t}{\ln 3}\right)$ , avec $G_{per}$ non constante 
\end{itemize}

En adaptant les arguments de [1], on trouve : $\alpha = d_K = $ dimension spectrale.\\

\begin{tiny} [1] E. Akkermans, O. Benichou, G. V. Dunne,3 A. Teplyaev, and R. Voituriez, 
"Spatial log-periodic oscillations of first-passage observables in fractals", PHYSICAL REVIEW E 86, 061125 (2012)
\end{tiny}
\end{frame}



\subsection{Résultats numériques}
\begin{frame}
Simulation numérique du paquet d'onde, modèle tight-binding, pour un spectre de Cantor. 
\begin{figure} %2
\includegraphics[scale=0.3]{psikdelta-ta.pdf}
\caption{Loglog scale graphs of $|\psi(3,t)(t)|^2$ (green) and $t^{-\ln 2/\ln 3} $ (blue)}
\end{figure}
\end{frame}

\begin{frame}
$\langle \Delta x^2(t)\rangle $ pour un spectre de Cantor. Les courbes numériques confirment la relation d'échelle :
$$\langle \Delta x^2(t)\rangle\sim_{t\to\infty}2\langle \Delta x^2(t/3)\rangle$$
i.e. $\langle \Delta x^2(t)\rangle \sim_{t\to \infty} t^{\frac{\ln 2}{\ln 3}}G_{per}(\ln t)$
\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[scale=0.25]{time-av-rms-rmsd3-ta.png}
\caption*{}
\end{figure}
\end{frame}

\begin{frame}
Présence également des oscillations log (enveloppe) et de l'exposant $d_K$ pour la valeur instantannée 
\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[scale=0.3]{rms-rmsd3-t2a.png}
\caption{}
\end{figure}
\end{frame}

\begin{frame}
Comparaison avec le cas d'un potentiel de Fibonacci (polaritons). \\

\begin{itemize}
\item Obtenir la dimension spectrale locale $d_f$ avec $C(t)$
\item Vérifier que $\langle \Delta_{Fibo} x^2(t)\rangle \sim_{t\to \infty} t^{d_f}G_{per}(\ln t)$\\
\end{itemize}

\begin{figure}
\includegraphics[scale=0.3]{ct-pr-rms-pente-exp.png}
\caption{}
\end{figure}
\end{frame}

\subsection{Coefficient de Thouless}

\begin{frame}
Dans le modèle tight-binding, système de taille finie $N$ sites :
$$\frac{1}{N}\ln |\phi_{\epsilon_n}(1)\phi_{\epsilon_n}(N)| = -\frac{1}{N}\sum_{k\neq n}\ln|\epsilon_k - \epsilon_n|=-\gamma(\epsilon_n) \mbox{ : coef. de Thouless}$$

\begin{figure}
\centering
\includegraphics[scale=0.4]{thouless_coeff_cantor.png}
\caption{coefficient de Thouless}
\end{figure}
\end{frame}


\section{Conclusion et perspectives}

\begin{frame}
Conclusion
\begin{itemize}
\item Méthode d'étude analytique de systèmes avec structure fractale 
\item Comportement caractéristique de quantités physique et dynamiques ($C(t)$, RMS, Thouless) : loi de puissance + oscillations log
\item Moyennage temporel $\rightarrow$ mise en évidence de la signature fractale
\item Vérification expérimentale et numérique
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
Perspectives
\begin{itemize}
\item Expériences futures (cavité de Fibonacci)
\item \'Emission spontannée d'un atome seul couplé à un spectre fractal 
\item Superradiance d'un système de deux atomes couplés à un spectre fractal
\end{itemize}
\end{frame}

\end{document}
     


