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\begin{document}

\title{Dynamique quantique pour un spectre fractal - applications \`a des processus simples en \'electrodynamique et optique quantique}

\author{Ariane Soret\dag \\
 encadr\'ee par Eric Akkermans\ddag}


\address{$^{1}$\'Ecole Normale Sup\'erieure de Cachan, Cachan, France ; $^{2}$Department of Physics, Technion Israel Institute of Technology, 32000 Haifa, Israel}

\date{Septembre 2014 - Juillet 2015}


\begin{abstract}


Au cours des derni\`eres d\'ecennies, un int\'er\^et croissant a \'et\'e port\'e sur les op\'erateurs de Schr\"{o}dinger $H = -\frac{\hbar^2}{2m}\Delta + V(\textbf{r})$ dont le spectre est singulier-continu (c'est-\`a-dire ni discret, ni continu), et qui, bien qu'omnipr\'esents dans divers syst\`emes physiques (quasi-cristaux par exemple), restent mal compris, contrairement aux cas continus et discrets. 

On s'int\'eresse ici au cas de spectres de Cantor, pr\'esentant une sym\'etrie d'\'echelle. 
Le point de d\'epart de ce stage furent des r\'esultats exp\'erimentaux et num\'eriques obtenus avec des polaritons dans une cavit\'e de Fibonacci, ayant un spectre de type Cantor, et qui semblent indiquer la pr\'esence d'un comportement particulier d\^u \`a la sym\'etrie d'\'echelle du spectre. 

L'objectif de mon stage \'etait, tout d'abord, d'\'etudier sur le plan th\'eorique et analytique la dynamique d'un paquet d'onde r\'egi par un Hamiltonien dont le spectre est un ensemble de Cantor triadique, puis de comparer ces r\'esultats avec l'exp\'erience et de r\'ealiser une mod\'elisation num\'erique.

Une premi\`ere \'etude th\'eorique nous a permis de mettre au point une m\'ethode pour \'etudier les syst\`emes avec un spectre fractal auto-similaire, et d'identifier la signature de la structure fractale au travers de quantit\'es physiques d\'ecrivant la dynamique du paquet d'onde. En raison de la sym\'etrie d'\'echelle du spectre, certaines quantit\'es dynamiques sont des fonctions d'\'echelle, c'est-\`a-dire de la forme  $f(t) = t^{\alpha}G(\ln t)$ avec $\alpha \in \mathbb{R}$ et $G$ p\'eriodique, ou, de fa\c{c}on \'equivalente, v\'erifiant une \'equation fonctionnelle du type : $f(x) = bf(ax)$, comme par exemple la probabilit\'e de retour \`a l'origine moyenn\'ee dans le temps, $C(t) = \frac{1}{t}\int_0^t |\langle\psi(0)|\psi(t')\rangle|^{2} dt' $. On a obtenu l'expression analytique exacte de cette quantit\'e pour le spectre de Cantor triadique, et avons montr\'e qu'elle est asymptotiquement de la forme :
\begin{equation*}
C(t) =_{t \to \infty} t^{-d_K}G\left(\frac{\ln t}{\ln 3}\right)
\end{equation*} 
avec  $d_K=\frac{\ln(2)}{\ln(3)}$ la dimension fractale du Cantor triadique, et $G$ une fonction 1-p\'eriodique. Nous avons ensuite concentr\'e notre \'etude sur le mod\`ele du tight-binding. Dans ce cas, nous avons montr\'e que la dynamique du syst\`eme repose essentiellement sur les fonctions : $h_k(t) = \int_K e^{-ixt}x^kd\mu$, $k \in \mathbb{Z}$, qui portent la signature fractale du spectre. On montre dans ce cas que le d\'eplacement carr\'e moyen $\langle\Delta x (t)\rangle= \sqrt{\sum_{k\geq 0} k^2 \langle|\psi(k,t)|^2 \rangle}$ est \'egalement, pour $t$ suffisamment grand, une fonction d'\'echelle.
Ces pr\'edictions th\'eoriques sont confirm\'ees par les r\'esultats exp\'erimentaux et par la mod\'elisation num\'erique d'un syst\`eme avec un spectre de Cantor triadique.

De nouvelles exp\'eriences sur les polaritons sont en vue pour affermir les r\'esultats th\'eoriques. On souhaite \'egalement appliquer les m\'ethodes d\'evelopp\'ees \`a d'autres probl\`emes d'optique quantique, tels l'\'emission spontan\'ee et la  superradiance d'atomes \`a deux niveaux coupl\'es avec un spectre fractal.

J'ai pr\'esent\'e les r\'esultats obtenus sur la probabilit\'e de retour \`a l'origine $C(t)$ lors d'une communication au colloque annuel de l'Israel Physics Society (IPS) \`a Be'er-Sheva, le 21 d\'ecembre 2014 ; les r\'esultats obtenus lors de ce stage font par ailleurs l'objet d'un article qui sera soumis \`a la revue Journal of Physics A.

\end{abstract}


\maketitle

\vspace*{3cm}

\begin{figure}[htbp]
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%\caption{Légende 1}
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%\caption{Légende 2}
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\end{document}