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\begin{document}
Points \`a discuter concernant l'article sur la dynamique quantique pour un spectre de Cantor.

\section*{RMS  et formule de Thouless dans le cas du tight-binding}

cf. les derni\`eres notes sur ce sujet : synthese-dynq.pdf sur la dropbox. 

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- \textit{Formule de Thouless :} 

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Est-il int\'eressant de parler de la formule : 
$$\frac{1}{N}\ln |\phi_n(1)\phi_n(N)| = -\gamma(E_n)$$  
cela a d\'ej\`a plus ou moins \'et\'e \'etabli par Thouless, et je ne pense pas que ceci soit l'argument clef pour expliquer le comportement log-p\'eriodique du RMS dans le cas du tight-binding. Dans ce cas, en effet, on peut mettre les fonctions propres sous la forme suivante : 
$$\phi_E(k) = \phi_E(1)p_k(E)$$
o\`u $p_k(E)$ est un polyn\^ome en $E$ et avec $\phi_E(1)$ d\'ependant des conditions limites ($\phi_E(1) \propto e^{-N\gamma(E)}$ pour une lattice finie avec pour conditions limites $\phi_E(0) = 0$, $\phi_E(N) = a$ ; $\phi_E(1) = \frac{1}{\sqrt{\sum_k |p_k(E)|^2}}$ si l'on impose la normalisation $\sum|\phi_E(k)|^2 = 1$). Le RMS est alors donn\'e par :
\begin{eqnarray*}
\lefteqn{\Delta x (t)^2 = \sum_{k = 1}^{\infty} k^2 |\psi(k,t)|^2}\\
& = & \sum_{k = 1}^{\infty} k^2 \left|\int_{K}e^{i\epsilon t}\phi_{\epsilon}^{*}(k_0)\phi_{\epsilon}(k)d\mu(\epsilon)\right|^2\\
& = & \sum_{k = 1}^{\infty} k^2 \left|\int_{K}e^{i\epsilon t} |\phi_{\epsilon}(1)|^2p_k(\epsilon)p_{k_0}(\epsilon)\right|^2 d\mu(\epsilon)\\
& = & \sum_{k = 1}^{\infty} k^2 |j_{k+k_0}(t)|^2
\end{eqnarray*}
i.e. une combinaison lin\'eaire de termes de la forme : 
$$j_{k+k_0}(t) = \int_K e^{i\epsilon t} |\phi_{\epsilon}(1)|^2p_k(\epsilon)p_{k_0}(\epsilon)d\mu(\epsilon)$$
Les p\^oles de la transformation de Mellin de ces fonctions proviennent des termes $\epsilon^k$ dans les polyn\^omes ; cela ne d\'epend pas de l'expression de $\phi_E(1)$, me semble-t-il, du moins pas pour les deux cas envisag\'es. Les p\^oles sont de la forme : $s_{m,k} = k + \frac{\ln 2}{\ln 3}+\frac{2i\pi m}{\ln 3}$.

\medskip

- \textit{Expression du RMS pour le tight-binding :} 

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L'approche avec l'expression suivante pour les fonctions propres : $\phi_E(k) = \phi_E(1)p_k(E)$,conduit \`a l'expression suivante pour le RMS :
$$\Delta x (t) = t^{-\ln 2/\ln 3}\sqrt{\sum_{k \in \mathbb{Z}} k^2 \sum_{0 \leq l_k \leq k}d_{l_k}t^{-l_k}G_{l_k}(\ln t)}$$
o\`u les $ G_k(\ln t)$ sont des fonctions p\'eriodiques de $\ln t$, de p\'eriode $\ln 3$.
Cela explique le comportement log-p\'eriodique observ\'e pour les polaritons, dans le papier de Hiramoto et Kohmoto [1] et dans le papier de Mantica [2]. En revanche, la loi de puissance $t^{-\ln 2/\ln 3}$ en facteur est surprenante : on attendait plut\^ot un exposant positif. Toutefois, il faudrait \'etudier plus en d\'etail les coefficients $d_{l_k}$ (issus du r\'earrangement des termes en mon\^omes de m\^eme degr\'e dans $j_{k+k_0}(t)$ et du calcul des $p_k(\epsilon)$) pour conna\^itre le comportement global (croissant, d\'ecroissant, pr\'esence ou non d'une loi de puissance globale) du RMS. \\

  Dans [1], ils obtiennent le comportment asymptotique suivant : 
$$\Delta x (t) \approx_{t \to \infty} t^{\alpha}$$
avec : $\alpha = 0 $ pour des \'etats localis\'es, et $\alpha = 1/2$ ou $1$ pour les \'etats \'etendus. Pour comparer, il faudrait reprendre les calculs avec les m\^emes conditions initiales que celle qu'ils choisissent ; peut-\^etre que cela permettra de retrouver leur r\'esultat, je n'ai epas encore essay\'e.\\

Dans [2], Mantica \'etudie \'egalement les moments $\nu_{\alpha}(t) = \sum_n n^{\alpha}x_n^2(t)$ (pour $\alpha = 2$, il s'agit donc du carr\'e du RMS) pour un spectre de Cantor et obtient :
$$\ln \nu_{\alpha}(t) \approx \alpha\beta(\alpha) \ln t + g(\ln t)$$
avec $g$ born\'ee et $\beta$ convexe et positive. L'approche de Mantica est proche de celle que j'ai utilis\'ee : la fonction d'onde est d\'ecrite en fonction des polyn\^omes orthogonaux pour la mesure $\mu$ du spectre, ce qui donne \'egalement $\nu_{\alpha}(t)$ en fonction de termes de la forme $\int_K e^{i\epsilon t} |\phi_{\epsilon}(1)|^2p_k(\epsilon)p_{k_0}(\epsilon)d\mu(\epsilon)$. J'esp\'erais donc retrouver la m\^eme chose, mais rien de concluant pour le moment.

\medskip

Je suis en train de reprendre les calculs pour comprendre ce qui semble poser probl\`eme. Num\'eriquement, j'obtiens une fonction plut\^ot lentement croissante. Donc : soit il y a une erreur de calcul, o\`u j'oublierais un exposant \`a un moment donn\'e, soit que le comportement croissant ; soit il faut \'etudier plus en d\'etails les coefficients $d_{l_k}$.

\section*{Corr\'elation spatiale des fonctions propres}

Dans la premi\`ere version du papier (r\'edig\'ee cet \'et\'e), figurent deux pistes \`a explorer pour continuer l'\'etude du RMS et du rapport de participation. Voici le paragraphe en question : \\

\color{blue}
The first one is to obtain an approximate expression of the participation ratio by finding an upper and lower bound for $\int \phi(x,\epsilon)^{*}\phi(x',\epsilon)d\mu(\epsilon)$. In fact, it has been established ([11], [12]) for a lot of diffusive processes that the non-diagonal Green function $G(x,x',t)$ verifies : 
\begin{equation*}
 F_{t}(c_{1},c_{2},x,x') \leq G(x,x',t) \leq  F_{t}(c_{3},c_{4},x,x')
\end{equation*}

with $$F_{t}(c_{i},c_{j},x,x') = \frac{c_{i}}{t^{d_{s}/2}}e^{-c_{j}\left(\frac{|x-x'|^{d_{w}}}{t}\right)^{\frac{1}{d_{w}-1}}}$$ 
 where $c_{1}, c_{2},c_{3},c_{4}$are positive constants, $d_{w}$ the walk dimension which occurs in the dispersion relation $\langle x^{2}(t)\rangle = t^{2/d_{w}}$, $d_{s}$ the spectral dimension such that $d_{s}=\frac{2d_{f}}{d_{w}}$ and $d_{f}$ the Hausdorff dimension [13] of the space in which the diffusive process takes place. These bounds hold for diffusive processes ; however, it could be possible to use the same logic for the case of Schroedinger's equation, since the difference with the diffusion equation lies in the factor $i$ in the time derivative.
 %, but in both cases the eigenfunctions used in the definition of the Green function are the eigenfunctions of a time independent differential operator, of the form : $\Delta + V(\textbf{r})$ (Laplacian and a potential).

The second idea is the following : it is an empirical numerical result that, in the case of a euclidean manifold, the 
eigenfunctions $\{\phi(\textbf{r},\epsilon)\}$ of the Laplacian verify (see [12] and references therein) : 
$\overline{\phi(\textbf{r},\epsilon)^{*}\phi(\textbf{r'},\epsilon)} = f\left(\frac{|\textbf{r} - 
\textbf{r'}|}{l_{\epsilon}}\right)$, where $\overline{(...)}$ denotes the average over the points $\textbf{r}, \textbf{r'}$ such as $|\textbf{r} - \textbf{r'}| =$constant and $f$ is some function. This has recently been used for a Laplacian defined on a fractal [12]. Assuming furthermore that, by analogy with the euclidean case, the relation between $l_{\epsilon}$ and $\epsilon$ is of the form : $l_{\epsilon} \propto \epsilon^{\alpha}$, we are able to obtain an analytical expression of the participation ratio, with the expected log-periodic feature.
% We could, in order to use the same hypothesis, modify slightly the problem and consider that the Hamiltonian is reduced to a Laplacian, defined on a fractal, in such a way that the spectrum would also be a fractal. 


A numerical simulation would therefore be interesting in order to verify this conjecture. This requires, in our case, a system such that the Laplacian has a triadic Cantor set spectrum, or any self-similar fractal spectrum.

\medskip
\color{black}
Ce passage est-il toujours pertinent ?\\

Il me semble que la premi\`ere piste, concernant l'encadrement de la fonction de Green, n'est plus n\'ecessaire : cet encadrement ne m\`ene finalement pas \`a des r\'esultats tr\`es concluants. \\

Concernant la seconde piste, cela serait int\'eressant de voir si cela marche avec le mod\`ele du tight-binding.

\section*{R\'ef\'erences}

[1] H. Hiramoto, M. Kohmoto, International Journal of Modern Physics B, Vol. 6, Nos. 3 $\&$ 4 (1992) 281-320

\medskip

[2] G. Mantica, Physica D 109 (1997) 113-127

\end{document}
