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\begin{document}

\section*{RMS pour un spectre de Cantor - r\'esultats num\'eriques, point \`a \'eclaircir}

Ceci rassemble les notes sur le calcul du RMS pour un spectre de Cantor, mod\`ele tight-binding. 

Rappel des notations utilis\'es dans le brouillon du papier :

$$\psi(k,t) = \sum_{j_k =0}^{ k}c_{j_k}h_{j_k}(t)$$

\begin{eqnarray*}
\lefteqn{\Delta x (t)^2 = \sum_{k \geq 1} k^2 |\psi(k,t)|^2}\\
& = & \sum_{k\leq 1} k^2|\sum_{j_k = 0}^{k}c_{j_k}h_{j_k}(t)|^2\\
& = & \sum_{k\leq 1} k^2 \sum_{j_k,j'_k =0}^k c_{j_k}c_{j'_k}h_{j_k}^{*}(t)h_{j'_k}(t)
\end{eqnarray*}

et pour les quantit\'es moyenn\'ees dans le temps :

$$\frac{1}{t}\int_0^t|\psi(k,t')|^2 dt'= \sum_{j_k,j'_k}c_{j_k}c_{j'_k}f_{j_k,j'_k}(t)$$

avec 

$$f_{k,l}(t) = \iint x^k x'^l \mbox{sinc}((x'-x)t)d\mu(x)d\mu(x')$$

dont on a montr\'e que : 

$$f_{k,l}(t) = t^{-d_K}\left[G_{k,l}(\ln t) + \mathcal{O}\left(\frac{1}{t}\right)\right]$$

donc :

$$\frac{1}{t}\int_0^t|\psi(k,t')|^2 dt'\sim t^{-d_K}G_{k}(\ln t)$$ 

En r\'einjectant l'expression de $\frac{1}{t}\int_0^t|\psi(k,t')|^2 dt'$ dans la d\'efinition de la moyenne temporelle du RMS, on obtient : 

\begin{equation}
\langle \Delta x^2(t)\rangle \sim_{t\to\infty} t^{-d_K}\sum_{k\geq 0} k^2 G_{k}(\ln t)
\end{equation}

avec $G_k(\ln t)$ p\'eriodique de p\'eriode $\ln 3$.

\medskip

L'\'equation (1) explique donc bien le comportement asymptotique log-p\'eriodique de $\langle \Delta x^2(t)\rangle$, que l'on observe num\'eriquement. De plus, en reprenant le calcul de Mantica [1], on peut d\'eduire de la propri\'et\'e d'\'echelle de la mesure l'exposant caract\'eristique de $\langle \Delta x^2(t)\rangle$. Cependant, le calcul est assez lourd et je ne l'ai pas termin\'e (je d\'etaillerai dans une prochaine note). Mantica donne n\'eanmoins le r\'esultat pour un ensemble de Cantor dans son papier, sans d\'etailler les \'etapes : il obtient 
$$\langle \Delta x^2(t)\rangle\sim t^{2d_K}$$

ce qui est en contradiction avec les r\'esultats num\'eriques que j'ai obtenus et qui sugg\`erent (fig. 1):
$$\langle \Delta x^2(t)\rangle\sim t^{d_K}$$

En effet, on observe asymptotiquement que :
$$\langle \Delta x^2(t)\rangle =_{t\to\infty} 2\Delta x^2\left(\frac{t}{3}\right)$$

Il reste donc \`a \'eclaircir cette contradiction...

 \begin{figure} %3
 \centering
 \includegraphics[scale=0.4]{rms-rmsd3f2-moy.pdf}
 \caption{Loglog scale graphs of $\langle \Delta x^2(t)\rangle$ (blue) and $2\langle \Delta x^2(t/3)\rangle$ (green)}
 \end{figure}

\medskip

[1] G. Mantica, Physica D 109 (1997) 113-127



\end{document}