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\begin{document}

\section*{Formule de Thouless pour un spectre fractal}

Mod\`ele du tight-binding : N sites espac\'es de 1. \'Equation de Schrodinger discr\'etis\'ee :
$$ -\phi_n(k+1) - \phi_n(k-1) +2\phi_n(k) + V(k)\phi_n(k) = E_n\phi_n(k)$$
avec $\phi_n = (\phi_n(0), \phi_n(1), ..., \phi_n(N))$ une solution propre associ\'ee \`a la valeur propre $E_n$ ; on a ajout\'e le site $0$ avec pour conditions :$\phi_n(0) = 0$ et la normalisation : $\sum |\phi_n(k)|^2 = 1$.

Exprim\'e matriciellement dans la base $\{|k\rangle\}_{1,N}$ avec $|k\rangle = (\delta_{j,k})_{j=1,N})$, on obtient : $ H_N \phi_n = E_n \phi_n$ avec 
\[ H_N = 
 \begin{pmatrix}
 1 & 0 & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
 -1 & 2+V(1) & -1 & 0 &\cdots & 0 \\
  0  & \ddots  & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\
  \vdots & \ddots & \ddots &  \ddots & \ddots & 0\\
  \vdots & \ddots & \ddots & \cdots & \cdots & -1 \\
  0 & \cdots & \cdots & 0 &  -1 & 2+V(N) \\
 \end{pmatrix}\]

On utilise la matrice de Green : $G(E) = (EI - H_N)^{-1}$, pour exprimer les corr\'elations spatiales de $\phi_n$ en terme de fonctions spectrales.

D'une part : $$G_{1N}(E) = \sum_{n=1}^N \frac{\phi_{n}^{*}(1)\phi_n(N)}{E - E_n}$$
et d'autre part, en utilisant la formule d'inversion matricielle : $$ G_{1N}(E) = \frac{(-1)^{N+1}}{\prod(E-E_n)}Cof_{N1}(EI - H_N)$$
avec $Cof_{N1}(EI - H_N) = (-1)^{N+1}$. En identifiant les deux \'egalit\'es ci-dessus, en multipliant par $(E-E_n)$ et en \'evaluant en $E=E_n$, il vient :
$$|\phi(1)\phi(N)| = \frac{1}{\prod_{k\neq n} |E_k - E_n|}$$
puis 
$$\frac{1}{N}\ln |\phi_n(1)\phi_n(N)| = -\frac{1}{N}\sum_{k\neq n}\ln|E_k - E_n|$$
Dans le cas o\`u le spectre est un ensemble de Cantor, et avec $N = 2^{m}$ : 
\begin{eqnarray*}
\lefteqn{\frac{1}{N}\ln |\phi_n(1)\phi_n(N)| = -\frac{1}{2^m}\sum_{k\neq n}\ln|E_k - E_n|} \\
& \simeq & -\frac{3^m}{2^m}\sum_{k\neq n}\int_{E_k}^{E_k+3^{-m}}\ln|x - E_n|dx\\
& \simeq & - \int_{Cantor}\ln |x - E_n|d\mu(x)
\end{eqnarray*}

\medskip

Le passage au continu se fait mal avec l'approche matricielle ; pour $N$ sites espac\'es de $a$, avec $L = aN$ fix\'e, on obtient : 
$$ \frac{1}{a^{2N}}\frac{1}{\prod_{k\neq n} |E_k - E_n|}$$
En premi\`ere approximation : $E_k = \frac{1}{a^2}e_k$, o\`u $e_k$ est une valeur propre da la matrice $H_N$ pour $N$ sites espac\'es de $1$. D'o\`u : 
\begin{eqnarray*}
\lefteqn{\frac{1}{aN}\ln |\phi_n(1)\phi_n(N)| = -\frac{1}{aN}\sum_{k\neq n}\ln|e_k - e_n|}\\
& \simeq & \underbrace{- \frac{1}{a}\int_{Cantor}\ln |x - e_n|d\mu(x)}_{\mbox{diverge quand a tend vers 0}}
\end{eqnarray*}

\medskip

Comportement de $\gamma(E) = \int_{Cantor} \ln |y - E|d\mu(y)$. Posons :
$$f(x) = \gamma(x) - \gamma(0)$$
Alors :
$$f(x) = 2f(x/3) - \underbrace{\int\ln|x-y-2|d\mu(y)}_{h(x)}$$
$f$ a la sym\'etrie suivante : $f(x) = f(1-x)$, $x\in[0,1]$. D'o\`u : 
\[ f(x) = \left \{
\begin{array}{ccc}
   x^{\ln 2/\ln 3}\sum x^{2i\pi n/\ln 3} h_n \mbox{pour  $x\in[0,1/2]$} \\
   f(1-x) \mbox{pour} x\in[1/2,1]
\end{array}
\right.
\] 

avec $h_n = M_h(-\ln 2/\ln 3-2i\pi n/\ln 3)$ et $M_h$ la transform\'ee de Mellin de $h$. Il est difficile d'\'evaluer analytiquement et num\'eriquement $h_n$, mais l'\'equation fonctionnelle v\'erifi\'ee par $f$ se v\'erifie bien num\'eriquement (cf fig 1 et 2).

\begin{figure}
\centering
\includegraphics[scale=0.7]{thouless_loglog_sans_terme_x-puissance-alpha.png}
\caption{f(x) sans le terme $x^{\ln 2/\ln 3}$, \'echelle loglog }
\end{figure}

\begin{figure}
\centering
\includegraphics[scale=0.7]{thouless_coeff_cantor.png}
\caption{coefficient de Thouless}
\end{figure}

\medskip

\section*{G\'en\'eralisation de la formule de Thouless et application au calcul du RMS}

Consid\'erons la cas d'un potentiel de Fibonacci, pour un syst\`eme de $N=F_L$ sites, o\`u $F_L$ est un nombre de la suite de Fibonacci.
L'approche utilis\'ee pr\'ec\'edemment permet d'obtenir la relation suivante pour la corr\'elation spatiale de la fonction propre $\phi_n$ entre les sites $1$ et $F_j \leq F_L$ :
$$|\phi(1)\phi(F_j)| = \frac{Cof_{F_j,1}(EI - H_{F_L})|_{E = E_n}}{\prod_{k\neq n} |E_k - E_n|} 
= \frac{1}{\prod_{k\neq n} |E_k - E_n|} \Delta_{F_{j}+1,F_L}(E_n) $$

avec $$ \Delta_{F_{j}+1,F_L}(E)= \det  \begin{pmatrix}

  E-(2+V(F_{j}+1)) & 1 & 0 &\cdots & 0 \\
  1  & \ddots  & \ddots & \ddots & \vdots \\
  \vdots \\
  0 & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\
   \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 1 \\
    0 & \cdots & 0 & 1 & E-(2+V(F_L)) \\
 \end{pmatrix}$$

$\Delta_{F_{j}+1,F_L}$ est le polyn\^ome caract\'eristique de la matrice $H_{F_L}^{j} = \begin{pmatrix}

 V_{F_j+1} & -1 & 0 &\cdots & 0 \\
  -1  & \ddots  & \ddots & \ddots & \vdots \\
  0 & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\
  \cdots & \ddots & \ddots &\ddots & -1 \\
  0 & \cdots & 0 & -1 & V_{F_L} \\
 \end{pmatrix}$
 avec pour all\'eger les notations $V_k = 2+V(k)$. \\
 
 
 $H_{F_L}^{j}$ est la matrice associ\'ee a la restriction de l'op\'erateur d\'efini par $H_{F_L}$ \`a l'espace engendr\'e par les vecteurs $\{|k\rangle\}_{k=F_j+1,F_L}$.
Or, la restriction de $H_{F_L}$ \`a l'espace engendr\'e par  $\{|k\rangle\}_{k=1,F_j}$ est exactement $H_{F_j}$, donc : 
$$|\phi(1)\phi(F_j)| = \frac{1}{\prod_{E_k\neq E_n , E_k\in sp(H_{F_j})} |E_k - E_n|} $$
De plus, nous disposons de : $sp(H_{F_j}) \subset sp(H_{F_L})$ pour tout $j\leq L$. 



On fait maintenant l'approximation suivante : 

$$\mbox{pour tout $j$,}  \frac{1}{F_j} \sum_{sp(H_{F_j})} \approx \int_{K} d\mu $$ avec $K$ le spectre de $H_{F_L}$ pour $L \to \infty$, que l'on sait de type Cantor. \\



 Disposant d'informations sur ses sites particuliers de la lattice, on peut en d\'eduire une valeur approch\'ee de l'expression du RMS. On consid\`ere un paquet d'onde : 
 $$\xi (t) = \sum_{E_n \in sp(H_{F_L})} c_n \phi_n e^{-iE_n t}$$ 
 
 puis : \\

 \begin{eqnarray*}
 \lefteqn{\Delta x (t)^2 = \lim_{L \to \infty}\sum_{k = 1}^{F_L} k^2 |\xi(k,t)|^2} \\
 & = & \lim_{L \to \infty}\sum_{E_n,E_{n'} \in sp(H_{F_L})}e^{i(E_n-E_{n'})t}\sum_{k=1}^{F_L} k^2 \phi_n(k)^* \phi_{n'}(k)\\
 & \simeq & \lim_{L \to \infty}\sum_{E_n,E_{n'} \in sp(H_{F_L})}e^{i(E_n-E_{n'})t}\sum_{k=1}^{F_L}\int_{k}^{k+1}x^2 \phi_n(x)^* \phi_{n'}(x)dx \\
  & \simeq & \lim_{L \to \infty}\sum_{E_n,E_{n'} \in sp(H_{F_L})}e^{i(E_n-E_{n'})t}\sum_{j=1}^{L}\int_{F_j}^{F_{j+1}}x^2 \phi_n(x)^* \phi_{n'}(x)dx \\
   & \simeq & \lim_{L \to \infty}\sum_{E_n,E_{n'} \in sp(H_{F_L})}e^{i(E_n-E_{n'})t}\sum_{j=1}^{L}(\underbrace{F_{j+1}-F_j}_{F_{j-1}})F_j^2 \phi_n(F_j)^* \phi_{n'}(F_j)dx \\
 & \simeq & \lim_{L \to \infty}\sum_{E_n,E_{n'} \in sp(H_{F_L})}e^{i(E_n-E_{n'})t}\sum_{j=1}^{L} F_{j-1}F_j^2 e^{-(\gamma(E_n)+\gamma(E_{n'}))F_j} \\
 \end{eqnarray*}
 
 avec $\gamma(E) = \int_K \ln(|x-E|) d\mu(x)$ le coefficient de Thouless discut\'e pr\'ec\'edemment (on a suppos\'e pour le moment que les $c_n$ sont uniformes ; la d\'ependance du RMS en les coefficients $c_n$ sera discut\'ee ult\'erieurement). 
 %Par analogie avec les ensembles de Cantor triadique, la sym\'etrie de $K$ conduit \`a, pour toute fonction $h$ d\'efinie sur $K$ : 
 %\begin{equation}\int_K h(x) d\mu(x) = \frac{1}{b}\int h\left(\frac{x}{a}\right)d\mu(x) + \frac{1}{b}\int h\left( \frac{x+b}{a}\right)d\mu(x)
 %\end{equation} 
 %D'apr\`es la section pr\'ec\'edente, cela conduit \`a : 
 %$$\gamma(x) = \gamma(0) + x^{\beta}g\left(\frac{\ln x}{\ln a}\right)$$ avec $\beta = \frac{\ln b}{\ln a}$.\\

Pour estimer la somme $\sum_{j=1}^{L} F_{j-1}F_j^2 e^{-(\gamma(E_n)+\gamma(E_{n'}))F_j}$, on utilise la formule donnant $F_j$ en fonction de $\alpha = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ : $F_j = \frac{\alpha^j -(1-\alpha)^j}{\sqrt{5}}$, avec l'approximation : $F_j \simeq \alpha^j$. Maintenant :
 
 \begin{eqnarray*}
  \lefteqn{\sum_{j=1}^{L} F_{j-1}F_j^2 e^{-(\gamma(E_n)+\gamma(E_{n'}))F_j} \simeq \sum_{j=1}^{L} \alpha^{j-1}\alpha^{2j} e^{-(\gamma(E_n)+\gamma(E_{n'}))\alpha^j}}\\
  & \simeq & \int_{-\infty}^{L} \alpha^{3x-1} e^{-(\gamma(E_n)+\gamma(E_{n'}))x}dx \\
  & \simeq & \frac{2}{\alpha \ln{\alpha}}(\gamma(E_n)+\gamma(E_{n'}))^{-3} \mbox{pour $L \to \infty$}
   \\
  \end{eqnarray*}
  

 En prenant maintenant l'approximation : $\sum_{En \in sp(H_L)} \simeq \int_K$, et en n\'egligeant (pour all\'eger les calculs) la constante $\gamma(0)$, l'utilisation de l'\'equation fonctionnelle v\'erifi\'ee par $\gamma$ conduit \`a :

\begin{eqnarray*}
   \lefteqn{\Delta x(t)^2 \simeq \iint_{K \times K}d\mu(E)d\mu(E') e^{i(E-E')t}\frac{2}{(\gamma(E)+\gamma(E'))^3}}\\
   & = & \frac{1}{b^2} \iint_{K \times K}d\mu(E)d\mu(E') e^{i(E-E')t/a}\frac{2}{\alpha \ln{\alpha}}\frac{1}{(\gamma(E/a)+\gamma(E'/a))^3}\\
   & + & \underbrace{\frac{1}{b^2}\iint_{K \times K}d\mu(E)d\mu(E') e^{i(E-E')t/a}\frac{2}{(\gamma\left(\frac{E+b}{a}\right)+\gamma\left(\frac{E'}{a}\right))^3} + ...}_{H(t)}\\
   & = &  \frac{1}{b^2} \iint_{K \times K}d\mu(E)d\mu(E') e^{i(E-E')t/a}\frac{2b^3}{\alpha \ln{\alpha}}\frac{1}{(\gamma(E)+\gamma(E'))^3}+H(t)\\
   & = & b\Delta x(t/a)^2 + H(t) 
   \end{eqnarray*}

 On obtient ainsi une \'equation fonctionnelle pour $\Delta x(t)$, qui, suivant la m\^eme m\'ethode que celle utilis\'ee pour la fonction de retour \`a l'origine, explique son comportement log-p\'eriodique. 

\subsection*{R\'esultats num\'eriques}

La figure 3 est le graphe de l'expression th\'eorique du RMS pour un potentiel de Fibonacci, avec l'approximation 
$$ \Delta x (t)^2 \simeq  \lim_{L \to \infty}\sum_{E_n,E_{n'} \in sp(H_{F_L})}e^{i(E_n-E_{n'})t}\sum_{k=1}^{F_L}\int_{k}^{k+1}x^2 \phi_n(x)^* \phi_{n'}(x)dx$$
et 
$$\sum_{j=1}^{L} F_{j-1}F_j^2 e^{-(\gamma(E_n)+\gamma(E_{n'}))F_j} 
 \simeq  \frac{2}{\alpha \ln{\alpha}}(\gamma(E_n)+\gamma(E_{n'}))^{-3}$$
 pour un paquet d'onde initial localis\'e sur un site. 
 \begin{figure}
 \centering
 \includegraphics[scale=0.4]{loglogrms.png}
 \caption{RMS th\'eorique, \'echelle loglog }
 \end{figure}
 
 Le coefficient de Thouless est calcul\'e avec le spectre associ\'e au potentiel de Fibonacci, de type Cantor (cf, figure 5). La figure 6 montre les graphes des coefficients de Thouless calcul\'es pour des s\'equences finies de $F_{14}$, $F_{15}$ et $F_{16}$ sites respectivement ; on constate que les trois graphes sont pratiquement identiques, ce qui justifie l'approximation : $\sum_{En \in sp(H_L)} \simeq \int_K$.
 On observe un comportement log-p\'eriodique, mais la d\'ecroissance de la fonction est surprenante. Cela provient probablement d'une mauvaise d\'efinition du paquet d'onde initial et/ou d'approximations num\'eriques ; je continue de travailler sur ce point actuellement.
 
 \medskip
 
 La figure 4 est le graphe obtenu directement de la d\'efinition du RMS, en fonction des fonctions propres du hamiltonien :  
 $$\Delta x (t)^2 = \lim_{L \to \infty}\sum_{E_n,E_{n'} \in sp(H_{F_L})}e^{i(E_n-E_{n'})t}\sum_{k=1}^{F_L} k^2 \phi_n(k)^* \phi_{n'}(k)$$
 
  \begin{figure}
  \centering
  \includegraphics[scale=0.7]{rms-fibo.png}
  \caption{calcul num\'erique du RMS pour un potentiel de Fibonacci }
  \end{figure}
  
 \begin{figure}
  \centering
  \includegraphics[scale=0.7]{spectre.png}
  \caption{Spectre du potentiel de Fibonacci}
  \end{figure}
  
   \begin{figure}
    \centering
    \includegraphics[scale=0.7]{thouless-fibo.png}
    \caption{Coefficient de Thouless pour le potentiel de Fibonacci}
    \end{figure}

\subsection*{Utilisation des matrices de transfert}

Une autre approche pour calculer $|\phi(1)\phi(k)|$ utilise les matrices de transfert : 
$$M_k = \begin{pmatrix}

 V_k - E_n & -1  \\
  1  & 0  \\
 \end{pmatrix}$$
 
 telles que : $\begin{pmatrix}
 
  \phi_n(k) \\
   \phi_n(k-1)  \\
  \end{pmatrix} = M_k \begin{pmatrix}
   
    \phi_n(k) \\
     \phi_n(k-1)  \\
    \end{pmatrix}$
 
 Posons : $\begin{pmatrix}
  
   p_k & q_k \\
    p_{k-1} & q_{k-1}  \\
   \end{pmatrix} = \prod_{j=k}^{1} \begin{pmatrix}
    
    p_j & q_j \\
       p_{j-1} & q_{j-1}  \\
     \end{pmatrix}$. 
     
$(p_k)_k$ et $(q_k)_k$ v\'erifient la m\^eme relation de r\'ecurrence : $p_{k+1} = v_{k+1}p_k - p_{k-1}$, avec condiotions initiales :$\left \{
\begin{array}{ccc}
   p_1 = V_1 \\
   p_2 = V_1 V_2 -1
\end{array}
\right.$   
 et $\left \{
 \begin{array}{ccc}
    q_1 = -1 \\
    p_2 = -V_2 
 \end{array}
 \right.$   
 
 La suite $(p_k)_k$ est reli\'ee \`a $(\Delta_{k,N})_k$ via : $|\phi_n(1)|^2 p_k = \frac{1}{\prod_{k\neq n} |E_k - E_n|} \Delta_{k,N}(E_n)$
 
 L'utilisation des matrices  $\begin{pmatrix}
   
    p_k & q_k \\
     p_{k-1} & q_{k-1}  \\
    \end{pmatrix} $
    permet d'obtenir, en exploitant la sym\'etrie potentiel de Fibonacci ($V_{F_j +k} = V_{k}$) :
    
$\begin{pmatrix}
  
  \phi_n(F_j + k) \\
  \phi_n(F_j + k-1)  \\
   \end{pmatrix} = \ \begin{pmatrix}
    
    p_k & q_k \\
       p_{k-1} & q_{k-1}  \\
     \end{pmatrix} M_{F_j}\begin{pmatrix}
       
       \phi_n(1) \\
       \phi_n(0)  \\
        \end{pmatrix} $.    
 
 En fixant la condition initiale : $\phi_n(0) = 0$, on en d\'eduit : 
 $$\phi_n(F_j+k) = (1+\frac{q_k}{p_k}\frac{p_{F_j - 1}}{p_{F_j}})\frac{\phi_n(k)\phi_n(F_j)}{\phi_n(1)}
 \simeq (1+\frac{q_k}{p_k})\frac{\phi_n(k)\phi_n(F_j)}{\phi_n(1)}$$
 
 Ceci conduit \`a : 
 $$\phi_n(k) = \frac{\phi_n(1)}{1+\frac{q_k}{p_k}} e^{\delta_n k}$$ avec $\delta_n$ fix\'e par la condition de normalisation : $\sum_k |\phi_n (k)|^2 = 1$.
 
 En r\'einjectant cette relation dans l'expression du RMS, on obtient \'egalement des relations int\'eressantes, mais je n'ai pas encore d'informations suffisantes sur le comportement des $\delta_n$ pour avoir des r\'esultats concluants.
 
\end{document}