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\begin{document}

\'Etude des propri\'et\'es analytiques de la fonction de Green de l'op\'erateur de Schrodinger pour le cas o\`u le spectre est un ensemble de Cantor et/ou ensemble de Julia (i.e. pour le secomd cas : un ferm\'e de $\mathbb{R}$ non connexe, \'egal \`a la fermeture de l'ensemble des points p\'eriodiques r\'epulsifs d'une transformation rationnelle $T(z)$).

\subsection*{Position du probl\`eme}

On consid\`ere un syst\`eme quantique 1D d\'ecrit par l'Hamiltien $H$. Soit un paquet d'onde mod\'elis\'e par le ket $|\xi(t)\rangle$, solution de l'\'equation de Schrodinger $i\partial_t |\xi(t)\rangle = H|\xi(t)\rangle$. 

\medskip

On cherche \`a \'etudier diff\'erentes quantit\'es, par exemple le comportement du RMS, d\'efini par : $\Delta x (t) = \int_{\mathbb{R}} x^2 |\xi (x,t)|^2 dx$.

\subsection*{Rappels sur les fonctions de Green et la r\'esolvante}

On introduit la r\'esolvante de l'op\'erateur $H$ : $G(z) = \frac{1}{z-H}$, avec $z \in \mathbb{C}$.

\medskip

L'\'etat du syst\`eme \`a la date $t$ est d\'ecrit par : $|\xi (t)\rangle = U(t)|\xi(0)$ avec $U(t) = e^{-iHt}$ l'op\'erateur d'\'evolution. \\
La fonction de Green du syst\`eme est d\'efinie par : 
$$G(x,x',t) = \langle x|U(t)|x'\rangle = \int_{spectre} \phi(\epsilon,x)^{*}\phi(\epsilon,x')e^{-i\epsilon t}d\mu(\epsilon)$$ 
o\`u $ \phi(\epsilon,x)$ est la fonction propre de $H$ associ\'ee \`a la valeur propre $\epsilon$ et \'evalu\'e en $x$. \\
Plus pr\'ecis\'ement, on introduit les fonctions de Green avanc\'ee et retard\'ee : 
$$G^{A,R}(t) = \pm \theta(\mp t) e^{-iHt}$$
Leurs transform\'ees de Fourier $G^{A,R}(\epsilon)$  : 
$$G^{A,R}(x,x',\epsilon) = \int_{spectre} \frac{\phi(\epsilon',x)^{*}\phi(\epsilon',x')}{\epsilon - \epsilon'\mp i0}d\mu(\epsilon')$$
sont li\'ees \`a la r\'esolvante et \`a l'op\'erateur d'\'evolution par : 
\begin{eqnarray*}
\lefteqn{U(t) = G^{A}(t) - G^{R}(t)} \\
& = &\frac{1}{2i\pi}\int_{spectre} e^{-i\epsilon t}(G^{A}(\epsilon) - G^{R}(\epsilon))\\
& = & \int_{C^{+}+C^{-}}e^{-izt}G(z)dz
\end{eqnarray*}
o\`u $C^{+}+C^{-}$ est le contour d\'elimit\'e par deux lignes du plan complexe situ\'ees juste au-dessus et juste au-dessous de l'axe des r\'eels.

\subsection*{Expression du RMS}

On s'int\'eresse maintenant \`a comportement du RMS : $\Delta x (t) = \int_{\mathbb{R}} x^2 |\xi (x,t)|^2 dx$.

\medskip

Consid\'erons un paquet d'onde, localis\'e \`a $t=0$ en $x = x_0$ : $\langle x |\xi(t=0)\rangle = \delta(x-x_0)$. Apr\`es un temps $t$, le syst\`eme est dans l'\'etat : $|\xi (t)\rangle = U(t)|\xi(0)$ 
Puis : 
$$ |\xi(x,t)| = |\langle x|\xi(t)\rangle| = |\langle x |U(t)|\xi(0) \rangle| = |\langle x|U(t)|x_0\rangle|$$
Or :
$$\langle x|U(t)|x_0\rangle =  \frac{1}{2i\pi}\int_{C^{+}+C^{-}} G(x,x_0,z)e^{-izt}dz$$
et 
$$G(x,x_0,z) =  \int_{spectre} \frac{\phi(\epsilon,x)^{*}\phi(\epsilon,x_0)}{z - \epsilon}d\mu(\epsilon)$$

Il s'agit donc d'\'etudier la fonction $G(x,x_0,z)$ afin de remonter au RMS.

\subsection*{Cas d'un ensemble de Julia : utilisation de l'invariance du spectre par $T(z)$}

On a suppos\'e que le spectre est un ensemble de Julia ; il est stable par une transformation rationnelle, associ\'ee \`a une fraction rationnelle $T(z)$. Supposons de plus que $T(z)$ est un p\^olynome de degr\'e $N$.\\

Introduisons la fonction d\'efinie sur $\mathbb{C}$ : 
$$g(z) = \int_{spectre} \ln(z-\epsilon)d\mu(\epsilon)$$ 
(appel\'ee selon le contexte potentiel de la mesure $\mu$, fonction de Lyapunov ou encore coefficient de Thouless), et sa d\'eriv\'ee 
$$g'(z) = \int_{spectre} \frac{d\mu(\epsilon)}{z-\epsilon}$$
D'apr\`es [1], [2], $g'(z)$ v\'erifie l'\'equation fonctionnelle :
$$g'(z) = \frac{T'(z)}{N}g'(T(z))$$

Dans le cas $T(z) = z^2 - \lambda$,
cela implique ([1], p.89), au voisinnage des points fixes $a$, le comportement suivant (mais j'ai encore du mal avec le d\'etail du calcul qui conduit \`a ce r\'esultat) :
$$g'(z-a) = \sum_{m=0}^{\infty}\sum_{n=0}^{\infty}\rho_{m}^{n} (z-a)^{\ln 2/\ln(2a) +n}\cos(2\pi m \ln(z-a)/\ln 2 +\psi_{m}^{n})$$
En adaptant le calcul pour $G(x,x_0,z)$ d\'efinie pr\'ec\'edemment, on devrait parvenir \`a des r\'esultats int\'eressants.

\medskip

Notons de plus qu'il est possible de construire des ensemble de Julia qui soient aussi des Cantor, i.e. hom\'eomorphes \`a un ensemble de Cantot triadique ; l'argument pourrait donc s'adapter au cas de la cavit\'e de Fibonacci.

\subsection*{Cas o\`u le spectre est un ensemble de Cantor triadique}

On suppose ici que le spectre est un ensemble de Cantor triadique $K$. On dispose alors de la relation suivante : pour toute fonction $f$ d\'efinie sur $K$ : 
$$\int_{K} f(x)d\mu(x) = \frac{1}{2}\int_{K}f\left(\frac{x}{3}\right) d\mu(x) + \frac{1}{2}\int_{K}f\left(\frac{x+2}{3}\right) d\mu(x)$$

Supposons que cette propri\'et\'e est v\'erifi\'ee localement en tout point de l'espace, i.e. que la mesure : 
$d\tilde\mu(\epsilon) = \phi(x_0,\epsilon)^{*}\phi(x,\epsilon)d\mu(\epsilon)$ v\'erifie la m\^eme propri\'et\'e, quitte \`a ajouter des coefficients correctifs.

Alors : 
$$G(x,x_0,z) = \frac{3}{2}G(x,x_0,3z) + \frac{3}{2}G(x,x_0,3z-2)$$
puis 
$$|U(t)| = |\cos\left(\frac{t}{3}\right)||U\left(\frac{t}{3}\right)|$$
ce qui conduit \`a :
$$\Delta x(t) = |\cos\left(\frac{t}{3}\right)|\Delta x \left(\frac{t}{3}\right)$$

Il faudrait un calcul plus fin pour prendre en compte le caract\`ere local de $d\tilde\mu(\epsilon)$.

\subsection*{Synth\`ese des deux hypoth\`eses : spectre de Julia hom\'eomorphe \`a un ensemble de Cantor}

Supposons maintenant que le spectre est un ensemble de Cantor et de Julia, i.e. un ensemble de Cantor \'egal \`a la fermeture de l'ensemble des points p\'eriodiques r\'epulsifs d'une transformation rationnelle $T(z)$.

\medskip

Dans ce cas, on peut exprimer les fonctions propres $\phi(\epsilon,x)$ \`a partir de $T(z)$ ([2]) ; mais j'ai encore du mal \`a comprendre la d\'emonstration de ceci. \\
Admettant ce r\'esultat, on peut remplacer dans $G(x,x_0,z) =  \int_{spectre} \frac{\phi(\epsilon,x)^{*}\phi(\epsilon,x_0)}{z - \epsilon}d\mu(\epsilon)$ les termes $\phi(\epsilon,x)^{*}\phi(\epsilon,x_0)$ par des it\'er\'ees de $T(z)$, et utiliser l'invariance du spectre par $T(z)$ selon les m\'ethodes d\'evelopp\'ees en [1] pour obtenir des r\'esultats plus pr\'ecis que ceux du paragraphe pr\'ec\'edent.

\medskip

Les calculs font appel \`a de l'analyse complexe assez pouss\'ee, que je ne ma\^itrise pas assez pour le moment. Mais je pense que l'utilisation des propri\'et\'es des ensembles de Julia pour \'etudier les spectres types Cantor peut-\^etre int\'eressant en g\'en\'eral, et j'essaye pour le moment de mieux comprendre comment mener ce type de calculs pour pouvoir l'appliquer \`a divers probl\`emes (cavit\'e de Fibonacci et superradiance, qui repose essentiellement sur l'\'etude de la r\'esolvante).


\subsection*{R\'ef\'erences}

[1] D. Bessis, J. S. Geronimo and P. Moussa I, Journal of Statistical Physics, Vol. 34, Nos. 1/2, 1984

\medskip

[2] M. F. Barnsley, J. S. Geronimo, and A. N. Harrington, Commun. Math. Phys. 99, 303-317 (1985)

\end{document} 

