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\begin{document}

\section*{Exposant du RMS pour un spectre de Cantor}

Il reste un point a eclaircir sur l'exposant du RMS dans le cas d'un spectre de Cantor, dans le modele du tight-binding.

Je n'ai pas d'expression analytique exacte pour le RMS. J'ai obtenu que l'evolution temporelle de la fonction d'onde, moyennee dans le temps, est de la forme :
$$\frac{1}{t}\int_0^t|\psi(k,t')|^2 dt'\sim t^{-d_K}G_{per}(\ln t)$$

De cela, l'on peut deduire que le RMS est, asymptotiquement, une fonction puissance modulee par des oscillations log-periodique de periode $\ln 3$. Cependant il manque encore des informations sur la dependance en $k$ de $\frac{1}{t}\int_0^t|\psi(k,t')|^2 dt'$ pour avoir l'exposant.

Numeriquement, il semble que :
$$\langle \Delta x^2(t)\rangle \sim_{t\to \infty} t^{d_K} G_{tot}(\ln t)$$
C'est aussi ce que l'on trouve en adaptant les resultats que vous presentez pour la diffusion sur des fractales [1]. Cependant je ne sais pas s'il est legitime d'appliquer ces resultats (relatifs a l'equation de la diffusion) a un probleme quantique regit par l'�quation de Schrodinger. Je n'ai par ailleurs pas parfaitement compris comment vous aviez obtenu ces r�sultats ; peut-etre pourrions-nous en discuter ?

Par ailleurs, les resultats numeriques que j'obtiens sont en contradiction avec les resultats theoriques de [2] et [3], qui predisent :
$$\langle \Delta x^2(t)\rangle \sim_{t\to \infty} t^{2d_K}$$

\medskip

[1] PHYSICAL REVIEW E 86, 061125 (2012)
"Spatial log-periodic oscillations of first-passage observables in fractals",
Eric Akkermans, Olivier Benichou, Gerald V. Dunne, Alexander Teplyaev, and Raphael Voituriez

\medskip 

[2] arXiv:cond-mat/9611006v2 [cond-mat.mes-hall] 19 Aug 1997, "What determines the spreading of a wave packet?"
R. Ketzmerick, K. Kruse, S. Kraut, and T. Geisel

\medskip 

[3] PhysicaD109 (1997) 113-127
"Wave propagation in almost-periodic structures"
Giorgio Mantica

\end{document}