\documentclass[a4paper,12pt]{report}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage{lmodern} % Pour changer le pack de police
\usepackage{makeidx}
\usepackage[top=3cm, bottom=3cm, left=3cm, right=3cm]{geometry}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{array}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{verbatim}

\begin{document}

\section*{\'Etude num\'erique : RMS pour un potentiel de Fibonacci, mod\`ele tight-binding}

\subsection*{V\'erification de la formule $\phi_E (k) = p_k(E) \phi_E(1)$ pour les fonctions propres}

Les r\'esulats num\'eriques confirment que, dans le mod\`ele du tight-binding, on peut \'ecrire les fonctions propres sous la forme suivante : $\phi_E (k) = p_k(E) \phi_E(1)$, la suite de polyn\^omes $\{ p_k\}_k$ v\'erifiant la relation de r\'ecurrence : 
        $$p_{k+1}(E) = (2+V_{k+1}-E)p_k(E) - p_{k-1}(E)$$ 
        
        avec conditions initiales :$\left \{
         \begin{array}{ccc}
            p_1(E) =2+ V_1-E \\
            p_0(E) = 1
         \end{array}
         \right.$   
         
Le figure 1  compare les graphes de  $\phi_E (k)$ et $p_k(E) \phi_E(1)$, comme fonctions de $E$, pour un site donn\'e. Les deux courbes se superposent.

\begin{figure}[b]
\centering
\includegraphics[scale=0.5]{vepthdir.png}
\caption{}
%fig 3
\end{figure}

\subsection*{RMS pour un potentiel de Fibonacci}

J'ai retrac\'e la RMS (directement et avec la formule utilisant les polyn\^omes) pour un potentiel de Fibonacci ; la formule th\'eorique est donc : 


\begin{eqnarray*}
\lefteqn{\Delta x (t)^2 = \sum_{k = 1}^{\infty} k^2 |\psi(k,t)|^2}\\
& = & \sum_{k = 1}^{\infty} k^2 \left|\int_{K}e^{i\epsilon t}\phi_{\epsilon}^{*}(k_0)\phi_{\epsilon}(k)d\mu(\epsilon)\right|^2\\
& = & \sum_{k = 1}^{\infty} k^2 \left|\int_{K}e^{i\epsilon t} |\phi_{\epsilon}(1)|^2p_k(\epsilon)p_{k_0}(\epsilon)\right|^2 d\mu(\epsilon)\\
& = & \sum_{k = 1}^{\infty} k^2 |j_{k+k_0}(t)|^2
\end{eqnarray*}

On retrouve bien un comportement globalement croissant pour $\Delta x (t)$, et les graphes th\'eoriques et num\'eriques coincident (cf figures 2,3).

\begin{figure}
\centering
\includegraphics[scale=0.5]{loglogrmsfibo2584.png}
\caption{RMS th\'eorique pour un potentiel de Fibonacci, paquet d'onde initialement sur le site 1 (au bord)}
%fig 3
\end{figure}              
    
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[scale=0.5]{loglogrmsdirfibo2584.png}
\caption{RMS pour un potentiel de Fibonacci, paquet d'onde initialement sur le site 1 (au bord)}
%fig 3
\end{figure}           


\subsection*{Comparaison avec les r\'esultats de Hiramoto}

Ces r\'esultats ne correspondent pas \`a ceux de l'article de Hiramoto, mais il est possible que ce soit en raison des unit\'es (j'ai pos\'e $\hbar = 1$ pour les calculs, je vais comparer avec ce que j'obtiendrai avec des unit\'es correctes).

\subsection*{RMS pour un spectre de Cantor}

La formule

\begin{equation}
h_k(t) = t^{-k-\ln 2 /\ln 3}\sum_{m \in \mathbb{Z}}t^{-2i\pi m/\ln 3}e^{-i \pi s_{m,k}/2}r_{k,m}\Gamma(s_{m,k})
\end{equation}

avec $h_k(t) =  \int_K e^{i\epsilon t} |\phi_{\epsilon}(1)|^2\epsilon^k d\mu(\epsilon)$, $k\in \mathbb{N}$ se v\'erifie bien num\'eriquement. Il s'agissait de la formule centrale pour montrer que le RMS,pour un spectre de Cantor triadique, est de la forme : 
$$\Delta x (t) = \sqrt{t^{-2\ln 2/\ln 3}\sum_{k \in \mathbb{Z}} k^2 \sum_{0 \leq l_k \leq k}d_{l_k}t^{-l_k}G_{l_k}(\ln t)}$$ 
La figure 4 compare les graphes de la formule th\'eorique et du calcul direct de la fonction $h_k(t) =  \int_K e^{i\epsilon t}\epsilon^k d\mu(\epsilon)$ pour $k = 2$ ; la figure 5 montre les m\^emes graphes en \'echelle log.

    
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[scale=0.8]{hkdir-hkth-v1.pdf}
\caption{Graphes th\'eorique et num\'erique de $h_k(t)$}
%fig 4
\end{figure}
         
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[scale=0.8]{logloghkdir-hkth-v1.pdf}
\caption{Graphes th\'eorique et num\'erique de $h_k(t)$, \'echelle log}
%fig 5
\end{figure}   

\medskip

Enfin, j'ai v\'erifi\'e la formule donn\'ee dans les notes (synthese-dynq.pdf, sur dropbox) pour $\Delta x$ :
$$\Delta x (t) = \sqrt{t^{-2\ln 2/\ln 3}\sum_{k \in \mathbb{Z}} k^2 \sum_{0 \leq l_k \leq k}d_{l_k}t^{-l_k}G_{l_k}(\ln t)}$$

On consid\`ere l'\'equation de Schrodinger sans potentiel, dans le mod\`ele du tight-binding, que l'on r\'esoud dans $l_2(\mathbb{N})$ ; les fonctions propres sont des suites $(\phi_{\lambda}(n))_n$ v\'erifiant :
$$ -\phi_{\lambda}(n+1)-\phi_{\lambda}(n-1)+2u_{\lambda}(n) = \lambda \phi_{\lambda}(n)$$

Pour reproduire un syst\`eme r\'egit dont le spectre est un ensemble de Cantor triadique $K$, on se restreint \`a l'espace des fonctions engendr\'e par les les fonctions propres associ\'ees aux valeurs propres $\lambda \in K$. On v\'erifie que ces fonctions sont bien orthonormales.

Suivant le m\^eme raisonnement que dans les notes, on peut voir les valeurs prises par fonctions propres $\phi_{\lambda}$ en les sites $n$ comme des polyn\^omes en $\lambda$ : 
$$\phi_{\lambda}(n) = p_n(\lambda)$$
avec 
$$ p_n(x) = \sum_{j_n \leq n} d_{j_n,k}x^{j_n}$$
Les $d_{j_n}$ sont calcul\'es num\'eriquement gr\^ace \`a la relation de r\'ecurrence qui d\'efinit les polyn\^omes $p_n(x)$ (cf synthese-dynq.pdf).

On construit un paquet d'onde simple :
$$\psi(k,t) = \sum_{\lambda \in K} \phi_{\lambda}(n) e^{-i\lambda t}$$

On compare maintenant num\'eriquement les graphes du RMS calcul\'e directment :
$$\Delta x_{dir} (t) = \sqrt{\sum k^2 |\psi(k,t)|^2}$$
et th\'eorique : 
$$\Delta x{th} (t) = t^{-\ln 2/\ln 3}\sqrt{\sum_{k \in \mathbb{Z}} k^2 \sum_{0 \leq l_k \leq k}c_{l_k}t^{-l_k}G_{l_k}(\ln t)}$$  

o\`u les  $c_{l_k}$, issus du r\'earrangement des termes en mon\^omes de m\^eme degr\'e, sont d\'etermin\'es num\'eriquement.
Les figures 6,7 montrent les graphes issus du calcul direct (\'echelle normale et \'echelle log) ; les figures 8,9 montrent les graphes th\'eoriques.   
         
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[scale=0.5]{deltadircantor.png}
\caption{RMS pour un spectre de Cantor triadique, calcul\'e directement}
%fig 6
\end{figure}         

\begin{figure}
\centering
\includegraphics[scale=0.5]{loglogdeltadircantor.png}
\caption{RMS pour un spectre de Cantor triadique, calcul\'e directement, \'echelle log}
%fig 7
\end{figure}   

\begin{figure}
\centering
\includegraphics[scale=0.5]{deltathcantor.pdf}
\caption{RMS th\'eorique pour un spectre de Cantor triadique}
%fig 8
\end{figure} 
    
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[scale=0.5]{loglogdeltathcantor.pdf}
\caption{RMS th\'eorique pour un spectre de Cantor triadique, \'echelle log}
%fig 9
\end{figure}    
         
\end{document}         