\documentclass[a4paper,12pt]{report}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage{lmodern} % Pour changer le pack de police
\usepackage{makeidx}
\usepackage[top=3cm, bottom=3cm, left=3cm, right=3cm]{geometry}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{array}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{verbatim}

\begin{document}

\section*{Bilan 25/03 -  RMS pour un potentiel de Fibonacci et pour un spectre de Cantor dans le mod\`ele du tight-binding}

- La formule th\'eorique du RMS pour le mod\`ele du tight-binding donn\'ee dans les notes (synthese-dynq.pdf) est \`a affiner :

$$\Delta x (t) = t^{-\ln 2/\ln 3}\sqrt{\sum_{k \in \mathbb{Z}} k^2 \sum_{0 \leq l_k \leq k}d_{l_k}t^{-l_k}G_{l_k}(\ln t)}$$
 Il faut expliciter ou au moins \'etudier plus en d\'etail les coefficients $d_{l_k}$ (issus du r\'earrangement des termes en mon\^omes de m\^eme degr\'e dans $j_{k+k_0}(t)$ et du calcul des $p_k(\epsilon)$) pour voir si cela explique bien le comportement croissant de $\Delta x (t)$ (comportement croissant observ\'e num\'eriquement et auquel on s'attend physiquement).
 
 \medskip
 
 - Il faudra \'egalement faire une \'etude num\'erique plus pouss\'ee, prenant en compte les $d_{l_k}$ (qui devraient pouvoir se calculer num\'eriquement sans trop de difficult\'es). Cela revient a retracer les figures 3 et 8 dans les notes (synthese-dynq.pdf).
 
 \medskip
 
 - Dans le papier de Mantica [1] est annonc\'e le comportement asymptotique suivant :
 $$\ln \nu_{\alpha}(t) \approx \alpha\beta(\alpha) \ln t + g(\ln t)$$
 avec  $\nu_{\alpha}(t) = \sum_n n^{\alpha}x_n^2(t)$ ; il serait int\'eressant de v\'erifier si l'on retrouve num\'eriquement ce r\'esultat avec Fibonacci et Cantor, et th\'eoriquement le cas \'ech\'eant. Dans le cas o\`u le spectre est un ensemble de Julia, La fonction $\beta(\alpha)$ est (cf. r\'ef\'erence [9] dans le papier de Mantica [1]) , reli\'ee  \`a la dimension spectrale par : 
 $$\beta(\alpha) = D_{1-\alpha}$$
 Il faut voir si l'on peut adapter ce r\'esultat au cas d'un Cantor et/ou d'un potentiel de Fibonacci. L'article de Mantica mentionne \'egalement l'in\'egalit\'e de Guarneri (r\'ef\'erences [32] et [33] dans le papier) ; cela pourrait nous int\'eresser.
 
 \medskip
 
 - Enfin, il faut v\'erifier si, pour les cas illustr\'es par les figures 3, 7 et 8 (resp. RMS th\'eorique pour un spectre de Cantor, RMS calcul\'e directement pour un potentiel de Fibonacci et RMS th\'eorique pour un potentiel de Fibonacci), l'enveloppe des oscillations et la p\'eriode log des oscillations est bien reli\'ee a la dimension spectrale. 
 
 \medskip
 
 - Moins urgentemment, il serait int\'eressant de voir si la mod\'elisation des fonctions propres sous la forme :
 $$\phi_E(k) = \phi_E(1)p_k(E)$$
 i.e. un polyn\^ome que multiplie un facteur de renormalisation, permet de v\'erifier l'hypoth\`ese que :
 $$\overline{\phi(\textbf{r},\epsilon)^{*}\phi(\textbf{r'},\epsilon)} = f\left(\frac{|\textbf{r} - 
 \textbf{r'}|}{l_{\epsilon}}\right)$$ 
 avec $\overline{(...)}$ la moyenne sur les points $\textbf{r}, \textbf{r'}$ tels que $|\textbf{r} - \textbf{r'}| =$constante et $f$ une certaine fonction.
 
 %\section*{R\'ef\'erence}
 \medskip
 
 [1] G. Mantica, Physica D 109 (1997) 113-127
 
 \end{document}
