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\begin{document}


%\addcontentsline{toc}{chapter}{Introduction}
%\addcontentsline{toc}{chapter}{Pr\'eliminaires math\'{e}matiques}
%\addcontentsline{toc}{section}{D\'{e}finition des fractales}
%\addcontentsline{toc}{section}{Ensemble de Cantor}
%\addcontentsline{toc}{section}{Dimension fractale}
%\addcontentsline{toc}{section}{Propri\'{e}t\'{e}s d'\'{e}chelle et oscillations log-p\'{e}riodiques}
%\addcontentsline{toc}{chapter}{Un exemple exp\'{e}rimental : potentiel de Fibonacci}
%\addcontentsline{toc}{section}{Etude th\'{e}orique - R\'{e}sultats exp\'{e}rimentaux et num\'{e}riques}
%\addcontentsline{toc}{chapter}{Etude th\'{e}orique pour un spectre de type Cantor}
%\addcontentsline{toc}{section}{Mesure}
%\addcontentsline{toc}{section}{Fonction de corr\'{e}lation}
%\addcontentsline{toc}{section}{Rapport de participation}
%\addcontentsline{toc}{section}{Emission spontann\'{e}e}
%\addcontentsline{toc}{chapter}{Conclusion}
%\addcontentsline{toc}{chapter}{Bibliographie}

\vspace*{1cm}

\begin{center}
{ \huge Dynamique quantique des systèmes à spectre fractal}\\
\vspace*{0.5cm}
$\mbox{\large{Ariane SORET}}^{1}$\\
\large{encadr\'{e}e par Eric $\mbox{AKKERMAN}^{2} $ et Evgeni $\mbox{GUREVICH}^{2}$}\\
\vspace*{1cm}
$^{1}$ENS Cachan, France ; $^{2}$ Technion - Israel Institute of Technology, Haifa, Isra\"{e}l\\
Rapport de stage de recherche, Phytem master premi\`{e}re ann\'{e}e, effectu\'{e} du 21/04/2014 au 6/08/2014 
\vspace{0.5cm}
%\large{18 ao\^{u}t 2014}
\end{center}

\vspace*{1cm}

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[scale=0.8]{idos_im.PNG}
\caption{(a)Mesure de l'\'{e}mission en champ lointain spectralement r\'{e}solue d'un gaz de polaritons (quasi-particules issues du couplage fort entre un mode optique d'une cavit\'{e} optique 
et une paire \'{e}lectron-trou)  soumis \`{a} un potentiel 2D quasi-p\'{e}riodique ; les positions des gaps, associ\'{e}s \`{a} un couple d'entiers $\{p,q\}$, sont indiqu\'{e}es par des fl\`{e}ches rouges. (b)  R\'{e}sultats num\'{e}riques correspondants obtenus en mod\'{e}lisant le potentiel par un potentiel effectif 1D. (c)Mesure du spectre d'\'{e}mission $I(\epsilon)$. (d) Intensit\'{e} d'\'{e}mission int\'{e}gr\'{e}e et normalis\'{e}e $\int_{E_{0}}^{\epsilon}I(\epsilon')d\epsilon'$. (e)Densit\'{e} d'\'{e}tats calcul\'{e}e et trait\'{e}e pour pouvoir \^{e}tre compar\'{e}e \`{a} $I(\epsilon)$ en (c). (f) Calcul de la densit\'{e} d'\'{e}tats int\'{e}gr\'{e}e. Source : [1]}
\end{figure}


\tableofcontents
\newpage
%\chapter{Introduction}
\section{Introduction}

La dynamique et les propri\'{e}t\'{e}s de transport des syst\`{e}mes quantiques dépendent de leur profil spectral. Or, un 
potentiel variant spatialement induit une modification de la densité d'états des modes propres du système. Selon la 
géométrie du potentiel, on peut obtenir un  ensemble très riche de distributions spectrales, regroupées en trois catégories [21] :
spectre continu, discret ou continu singulier. Les cas des spectres continus et discrets sont plutôt bien connus (le spectre d'un potentiel périodique, par exemple, est bien décrit par le théorème de Bloch). Le cas singulier continu, 
dont les fractales font partie, est un
profil qui apparaît pour une large gamme de potentiels et constitue le cas générique, mais est beaucoup moins bien compris, 
quoique faisant l'objet de nombreux travaux, tant dans le domaine des mathématiques que de la physique [1],[2]  
(l'intérêt pour ce type de spectre est apparu notamment avec la découverte des quasi-cristaux, structures quasi-périodiques 
associées à un spectre singulier continu [3]).  

L'objet de mon stage est d'étudier la dynamique des systèmes quantiques \`{a} spectre singulier continu fractal. 

Un ensemble particulièrement intéressant et largement étudié de potentiels quasi-périodiques dont le spectre est fractal 
sont les potentiels
construits à partir d'une suite de Fibonacci [1]. Dans ce cas, il a été démontré 
qu'ils sont de type ensemble de Cantor [4], c'est-à-dire fractals. 

Le point de départ de mon stage furent les expériences réalisées dans le Laboratoire de Photonique et de
Nanostructures (CNRS, Marcoussis, France), en partenariat avec mon équipe de recherche d'accueil au Technion, et l'étude numérique effectuée au Technion 
sur la dynamique d'un paquet d'onde construit à partir des modes des polaritons confinés 
dans une cavité type Fibonacci ; le spectre des polaritons étant fractal, il possède une invariance d'échelle, ce qui 
devrait avoir un impact sur les propriétés physiques du système. Plus précisément, les manipulations visaient à démontrer 
l'existence d'oscillations log-périodiques pour certaines quantités spectrales et dynamiques, signature de la structure 
fractale du spectre ; pour la première fois, ce comportement particulier a été mis en évidence [1].                  


L'objectif de mon stage est de travailler sur la dynamique d'un système quantique dans 
le cas particulier où le spectre est un ensemble de Cantor 
(un cas particulier de fractale). Il s'agit de comprendre comment la structure fractale du spectre se r\'{e}percute sur la 
dynamique du syst\`{e}me, de d\'{e}terminer quelles quantit\'{e}s physiques mesurables portent la trace de cette 
structure fractale et d'\'{e}tablir l'expression analytique des quantit\'{e}s pertinentes. Cette étude vient  
conforter les observations faites grâce aux expériences du LPN, et devrait donner de nouvelles pistes pour les expériences.       

Après le rappel de quelques propri\'{e}t\'{e}s g\'{e}n\'{e}rales sur les fractales et la pr\'{e}sentation de 
l'exp\'{e}rience du LPN, je me concentrerai sur l'\'{e}tude analytique et num\'{e}rique dans le cas o\`{u} le spectre est 
un ensemble de Cantor. Je t\^{a}cherai finalement de pr\'{e}senter les nouvelles perspectives de recherche au terme de ce 
travail.   
 
%\chapter{Pr\'{e}liminaires math\'{e}matiques}
%\section{D\'{e}finition des fractales}
\section{Pr\'{e}liminaires math\'{e}matiques}
\subsection{D\'{e}finition des fractales}

Il est assez difficile de d\'{e}finir pr\'{e}cis\'{e}ment de qu'est une fractale. Le terme "fractal" (du latin \textit{fractus}, "bris\'{e}") a \'{e}t\'{e} introduit par Mandelbrot pour d\'{e}finir les objets tellement irr\'{e}guliers qu'ils sortent du cadre de la g\'{e}om\'{e}trie classique ; selon sa formulation \footnote{Mandelbrot, correspondance, 1987}: "\textit{une fractale est une forme compos\'{e}e de parties similaires au tout d'une fa\c{c}on ou d'une autre}". Dans ce rapport, nous nous int\'{e}resserons aux fractales v\'{e}rifiant une propri\'{e}t\'{e} d'\'{e}chelle : si l'on "zoom" sur une zone particuli\`{e}re, on retrouve, dans les m\^{e}mes proportions, la figure de d\'{e}part. On consid\'{e}rera de plus que les fractales sont plong\'{e}es dans un espace euclidien.

\medskip

Illustrons cette d\'{e}finition par un exemple : le "triangle de Sierpinski". Partant d'un triangle \'{e}quilat\'{e}ral plein, on joint deux \`{a} deux les milieux des c\^{o}t\'{e}s et l'on supprime le petit triangle central ainsi form\'{e}. En it\'{e}rant ce processus dans chacun des trois triangles pleins restant, on obtient \`{a} la limite un objet v\'{e}rifiant une propri\'{e}t\'{e} d'\'{e}chelle : si l'on zoom sur l'un des triangles pleins, on observe la m\^{e}me structure (fig. 2).

\begin{figure}[h] %[tb]
    \centering
    \begin{tabular}{cccc}
      \includegraphics[scale=0.2]{sierpinski.png} &
      \includegraphics[scale=0.8]{cantor.png} \\
      (a) & (b)\\
    \end{tabular}
    \caption{(a) Triangle de Sierpinski (source : \small{commons.wikimedia.org}). (b)Construction d'un ensemble de Cantor triadique (source : \small{accromath.uqam.ca}). \label{fig:ex}}
\end{figure}
%\begin{figure}[h]
%\centering
%\includegraphics[scale=0.2]{sierpinski.png}
%\caption{}
%\end{figure}

%\section{Ensemble de Cantor}
\subsection{Ensemble de Cantor}

Un autre exemple classique de fractale est l'ensemble de Cantor triadique, sur lequel j'ai principalement travaill\'{e} (le lien avec la physique appara\^{i}tra plus clairement ult\'{e}rieurement).

Un ensemble de Cantor triadique se construit it\'{e}rativement (fig. 2): partant d'un segment $[0,1]$, on le divise en trois segments \'{e}gaux et l'on retire la partie centrale. On it\`{e}re cette op\'{e}ration sur les deux segments restants, et ainsi de suite. Apr\`{e}s une infinit\'{e} d'it\'{e}rations, il reste un ensemble (de mesure nulle au sens de Lebesgue) compos\'{e} de points isol\'{e}s.

%\begin{figure}
%\centering
%\includegraphics[scale=0.7]{cantor.png}
%\caption{Construction d'un ensemble de Cantor triadique. Source : accromath.uqam.ca}
%\end{figure}

%\section{Dimension fractale}
\subsection{Dimension fractale}

Afin de caract\'{e}riser une fractale, l'une des premi\`{e}res choses que l'on souhaite d\'{e}terminer est sa dimension (dimension de Hausdorff\footnote{La dimension de Hausdorff d'un espace euclidien de dimension euclidienne $d$, par exemple, vaut \'{e}galement $d$.} [5]). 
%Une m\'{e}thode pour calculer les dimensions fractales [5] est résum\'{e}e en annexe.  

Intuitivement, la dimension d'un espace ou d'un objet g\'{e}om\'{e}trique peut s'interpr\'{e}ter comme le nombre r\'{e}el (positif) $d$ tel qu'un volume \'{e}l\'{e}mentaire $v$ soit de la forme : $v = l^d$, o\`{u} $l$ est une longueur au sens euclidien.  

Pour des structures fractales, la dimension n'est en g\'{e}n\'{e}ral pas enti\`{e}re ; ceci a des cons\'{e}quences 
profondes sur les propri\'{e}t\'{e}s physiques de syst\`{e}mes pr\'{e}sentant des structures fractales [6].

\medskip

La dimension d'un ensemble de Cantor triadique, qui nous int\'{e}resse particuli\`{e}rement, vaut $d = \frac{\ln(2)}{\ln(3)}$. 

%\section{Propri\'{e}t\'{e}s d'\'{e}chelle et oscillations log-p\'{e}riodiques}
\subsection{Propri\'{e}t\'{e}s d'\'{e}chelle et oscillations log-p\'{e}riodiques}

Ce paragraphe purement math\'{e}matique pr\'{e}sente une m\'{e}thode de calcul qui sera abondamment utilis\'{e}e par la suite, pour d\'{e}montrer la log-p\'{e}riodicit\'{e} de diverses fonctions.

Les fractales auto-similaires, que l'on \'{e}tudie ici, poss\`{e}dent une invariance d'\'{e}chelle, c'est-\`{a}-dire qu'en zoomant avec un certain facteur sur une partie de l'ensemble, on retrouve la m\^{e}me forme que le tout, dans les m\^{e}mes proportions.

Math\'{e}matiquement, une fonction $f$ ayant une telle propri\'{e}t\'{e} d'\'{e}chelle v\'{e}rifie une relation de la forme :
$$ f(x) = \frac{1}{b}f(ax) $$
pour un certain couple de r\'{e}els $(a,b)$, $b\neq 0$. On v\'{e}rifie facilement que cela implique que $f$ soit de la forme :
$$ f(x) = x^{\ln(b)/\ln(a)}g\left(\frac{\ln(x)}{\ln(a)}\right)$$
avec $g$ une fonction $1$-p\'{e}riodique : $g(x+1)=g(x)$. En effet :

- si $b=1$, on d\'{e}finit une fonction $h$ telle que : $h(x) = f(e^{x\ln(a)})$ (changement de variable), et l'on v\'{e}rifie que :
$$h(x+1)=f(e^{(x+1)\ln(a)})=f(e^{x}a)=f(e^{x})=h(x)$$
$f$ est donc bien de la forme : $f(x) = h\left(\frac{\ln{x}}{\ln{a}}\right)$ avec $h$ $1$-p\'{e}riodique.

- si $b\neq 1$, on se ram\`{e}ne au cas pr\'{e}c\'{e}dent en remarquant que $k(x) = f(x)x^{-\ln(b)/\ln(a)}$ v\'{e}rifie $k(ax)=k(x)$.

Il est \'{e}galement important de noter que les fonctions $f$ v\'{e}rifiant une relation du type :
$$f(x)=\frac{1}{b}f(ax)+g(x)$$
avec $g$ ayant certaines propri\'{e}t\'{e}s (d\'{e}finies en 7.1)) est \'{e}galement de la forme :

$$ f(x) = x^{\ln(b)/\ln(a)}G\left(\frac{\ln{x}}{\ln{a}}\right)$$
avec $G$ $1$-p\'{e}riodique.

La d\'{e}monstration est un peu plus technique et fait appel aux transform\'{e}es de Mellin ; elle est donn\'{e}e en annexe (7.1).


%\chapter{Exemple exp\'{e}rimental : potentiel de Fibonacci}
\section{Exemple exp\'{e}rimental : potentiel de Fibonacci}

Le point de d\'{e}part de mon stage fut les exp\'{e}riences r\'{e}alis\'{e}es par l'\'{e}quipe de J. Bloch (2014), au LPN (Laboratoire de Photonique et de 
Nanostructures, CNRS, Marcoussis, France) [1].
% ; le d\'{e}tail du dispositif exp\'{e}rimental est fourni en annexe.

\medskip

Le but de l'exp\'{e}rience est de r\'{e}aliser et d'\'{e}tudier un syst\`{e}me physique pr\'{e}sentant une structure 
fractale. \`{A} partir d'une cavit\'{e} unidimensionnelle quasi-p\'{e}riodique, d\'{e}crite par une suite de Fibonacci, 
on \'{e}tudie les modes d'un gaz de polaritons qui y sont confin\'{e}s. Bien que de nombreuses exp\'{e}riences 
d'optique dans des cavit\'{e}s de Fibonacci aient d\'{e}j\`{a} \'{e}t\'{e} r\'{e}alis\'{e}es dans le pass\'{e} [17], 
la signature du spectre fractal au travers des oscillations log-p\'{e}riodiques de la densit\'{e} d'\'{e}tats 
int\'{e}gr\'{e}e n'avait jusque l\`{a} pas \'{e}t\'{e} observ\'{e}e.

%\section{Pr\'{e}sentation de l'exp\'{e}rience}
\subsection{Pr\'{e}sentation de l'exp\'{e}rience}

Les polaritons de cavit\'{e} sont des quasi-particules issues du couplage fort entre un mode optique d'une cavit\'{e} optique et une paire \'{e}lectron-trou (appel\'{e}e exciton) confin\'{e}e dans un puits quantique. D\'{e}couverts r\'{e}cemment (Hopfield, 1958, [15]), ils font l'objet d'un grand int\'{e}r\^{e}t depuis quelques d\'{e}cennies \footnote{pour la compr\'{e}hension des fluides quantiques lumineux en milieu non lin\'{e}aires [16].} [16]. Sur le plan exp\'{e}rimental, ils offrent des possibilit\'{e}s exp\'{e}rimentales que ne permet pas la photonique sur des quasi-cristaux, raison pour laquelle ils sont utilis\'{e}s ici.

\medskip


Ici, les polaritons sont confin\'{e}s dans une cavit\'{e} plane $\lambda/2$, d'indice de réfraction $n$ ; le confinement du champ électromagnétique dans la 
cavité le long de l'axe $z$ est assuré par deux miroirs de Bragg. La longueur de la cavité dans la direction $x$ vaut $L$ ; la largeur est modul\'{e}e de façon quasi-p\'{e}riodique, suivant une suite de Fibonacci (fig. 3). On peut consid\'{e}rer que la cavit\'{e} est compos\'{e}e d'une s\'{e}quence de blocs \'{e}l\'{e}mentaires ou "lettres" d'\'{e}gales longueurs, mais de deux profondeurs diff\'{e}rentes dans la direction $y$, A et B.
Id\'{e}alement, la cavit\'{e} est compos\'{e}e d'une s\'{e}quence infinie $S_{\infty}$ de lettres, obtenue en it\'{e}rant la relation de r\'{e}currence suivante (inspir\'{e}e de la relation de r\'{e}currence qui d\'{e}finit une suite de Fibonacci\footnote{La suite de Fibonacci $(F_{j})_{j}$ est d\'{e}finie par la relation de r\'{e}currence : $F_{j}=F_{j-1}+F_{j-2}$ pour $j>2$, avec $F_{0}=F_{1}=1$} ) : 
$$S_{j>2} = [S_{j-1}S_{j-2}] \mbox{ et } S_{1} = B\mbox{, } S_{2} = A$$ 
o\`{u} $[S_{j-1}S_{j-2}]$ d\'{e}signe la concat\'{e}nation des deux sous-s\'{e}quences $S_{j-1}$ et $S_{j-2}$. Le nombre $F_{j}$ de lettres de la s\'{e}quence $S_{j}$ est le $j$-i\`{e}me terme de la suite de Fibonacci (\textit{cf.} note en bas de page). \`{A} la limite, la s\'{e}quence $S_{\infty}$ est quasi-p\'{e}riodique. Nous justifierons dans le paragraphe suivant que le mouvement longitudinal des polaritons est ainsi modul\'{e} par un potentiel $V(x)$ quasi-p\'{e}riodique.
 
Exp\'{e}rimentalement, on fabrique une cavit\'{e} finie selon une s\'{e}quence $S_{j}$, mais les r\'{e}sultats exp\'{e}rimentaux sont en accord avec les simulations num\'{e}riques issues de mod\`{e}les th\'{e}oriques pour un spectre fractal.

\begin{figure}
\centering
\includegraphics[scale=0.5]{cav-fibo.png}
\caption{(a) Image de trois cavit\'{e}s modul\'{e}es selon une suite de Fibonacci. (b) Zoom sur une cavit\'{e}, montrant la forme des lettres $A$ et $B$. (c) Repr\'{e}sentation sch\'{e}matique du potentiel correspondant \`{a} la forme de la cavit\'{e}, modul\'{e}e lat\'{e}ralement. Source : [4]}
\end{figure}

%\section{Etude th\'{e}orique - R\'{e}sultats exp\'{e}rimentaux et num\'{e}riques}
\subsection{\'{E}tude th\'{e}orique - R\'{e}sultats exp\'{e}rimentaux et num\'{e}riques}

La physique des polaritons est complexe et d\'{e}passe le cadre de ce rapport de stage. Nous ne donnerons que les propri\'{e}t\'{e}s essentielles \`{a} la compr\'{e}hension de l'exp\'{e}rience.

Les polaritons sont issus du couplage fort entre un mode optique et les excitons ; exp\'{e}rimentalement, on mesure l'\'{e}mission en champ lointain des polaritons ; cependant, la nature du couplage assure que les \'{e}tats propres des polaritons ont le m\^{e}me comportement spatial que les \'{e}tats propres des photons. %, solutions d'une \'{e}quation d'onde, et que l'on peut \'{e}tudier analytiquement. 

Soit $\psi(x,y,z)$ la fonction d\'{e}crivant un mode propre des photons de la cavit\'{e}. Le confinement \'{e}tant plus fort dans la direction $z$, on cherche une solution s\'{e}parable entre les coordonn\'{e}es verticales et horizontales. Le confinement des photons dans la direction $z$ impose que la composante $k_{z}$ du vecteur d'onde v\'{e}rifie : $k_{z} = \frac{n\pi}{\lambda/2}$, $n\in \mathbb{Z}^{*}$. Ceci conduit \`{a} la relation de dispersion suivante [16]: 
$$\omega(k) = \frac{c}{n}\sqrt{k_{z}^{2} + (k_{x}^{2} +k_{y}^{2})}\sim \omega_{0}+\frac{\hbar (k_{x}^{2} +k_{y}^{2})}{2m_{ph}}$$
avec $\omega$ la pulsation associ\'{e}e au photon et $m_{ph}=\frac{\hbar n k_{z}}{c}$ la masse effective du photon \`{a} la fr\'{e}quence $\omega_{0} = \frac{ck_{z}}{n}$, dite de cut-off.
La recherche de solution aux variables s\'{e}parables conduit \`{a} l'\'{e}quation d'onde suivante :
$$E\psi(x,y) = -\frac{\hbar^{2}}{2m_{ph}}\Delta_{\perp}\psi(x,y)$$
 avec $\Delta_{\perp} =  \partial_{x} + \partial_{y} $ et $E \sim \hbar\omega - \frac{ck_{z}}{n}$.
 
 Trouver les modes propres du prob\`{e}me 2D d\'{e}crit par l'\'{e}quation ci-dessus est facilement r\'{e}alisable num\'{e}riquement. Toutefois, il est pr\'{e}f\'{e}rable de se ramener \`{a} un probl\`{e}me 1D afin d'avoir une meilleure intuition et compr\'{e}hension du syst\`{e}me, et de pouvoir appliquer des m\'{e}thodes analytiques (th\'{e}or\`{e}me de gap-labelling) et num\'{e}riques non disponibles \`{a} 2D. 
 
 Apr\`{e}s un calcul que nous ne d\'{e}taillerons pas ici [1], et avec certaines approximations, le probl\`{e}me se r\'{e}duit au probl\`{e}me 1D suivant : 
 $$E\psi(x) = \frac{\hbar^{2}}{2m_{ph}}\left[-\frac{d^{2}}{dx^{2}} + V(x)\right]\psi(x)$$
 o\`{u} $V(x)$ est un potentiel effectif 1D, quasi-p\'{e}riodique. 
 
 \medskip 
  

Le Hamiltonien d\'{e}crivant le syst\'{e}me est donc de la forme : 
$ H = H_0 + V(x)$ avec $H_0=-\frac{\hbar^{2}}{2m_{ph}}\frac{d^{2}}{dx^{2}}$.

Le spectre en \'{e}nergie associ\'{e} au potentiel $V(x)$ est singulier-continu et pr\'{e}sente une structure de type Cantor [1].

De plus, le th\'{e}or\`{e}me de gap-labelling [7] permet de caract\'{e}riser la densit\'{e} des gaps\footnote{\textit{Remarque :}Le spectre en \'{e}nergie, compl\'{e}mentaire de l'ensemble des gaps, est singulier-continu, car il existe une infinit\'{e} de couples $(p,q)$ tels que $p+q\sigma^{-1} \mbox{mod 1} \in [0,1]$.} : dans le cas pr\'{e}sent, il existe une relation biunivoque entre les pics de Bragg (correspondant aux gaps dans le spectre) et $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ : chaque pic peut \^{e}tre associ\'{e} \`{a} un couple d'entiers $\{p,q\}$ de telle sorte que le nombre d'onde correspondant soit $k=Q_{p,q}=\frac{2\pi}{a}(p+q\sigma^{-1})$, avec $\sigma = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ le nombre d'or. Ce th\'{e}or\`{e}me permet \'{e}galement de pr\'{e}dire la valeur de l'int\'{e}grale de la densit\'{e} d'\'{e}tats $N(\epsilon)$ aux \'{e}nergies de gap :
$$ N(\epsilon) = E_{Q_{p,q}/2} = p+q\sigma^{-1} \mbox{mod 1}$$
%Ecrivons le potentiel quasip\'{e}riodique $V(x)$ sous la forme : 
%$$V(x) = \sum_{n} \chi(n\sigma^{-1})u_{b}(x-an)$$ o\`{u} $u_{b}(x)$ d\'{e}crit la forme de la lettre $B$ et $\chi$, d\'{e}finie sur $[0,1]$ et prolong\'{e} par p\'{e}riodicit\'{e}, d\'{e}crit l'ordre quasip\'{e}riodique.
%$\chi(x) = \left\{\begin{array}{ll} 
%1&\mbox{0<$x$<2-$\sigma$}\\
%0&\mbox{2-$\sigma$< $x$<1}
%\end{array} 
%\right. $
% $\sigma=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ est le nombre d'or.

%La transform\'{e}e de Fourier de $V(x)$ donne les pics de Bragg :
%$$\tilde{V}(k) = \tilde u_{b}(k)\sum_{p,q}\chi_{q}\delta(ka-2\pi(p+q\sigma^{-1}))$$
%Comme $\sigma$ est irrationnel, chaque pic peut \^{e}tre associ\'{e} de fa\c{c}on biunivoque \`{a} un couple d'entiers $[p,q]$ de telle sorte que le nombre d'onde correspondant soit $k=Q_{p,q}=\frac{2\pi}{a}(p+q\sigma^{-1})$. Chaque pic de Bragg correspond \`{a} un gap dans le spectre (cf. annexe). De plus, on peut montrer [4] que $Q_{p,q}\frac{a}{2\pi}=p+q\sigma^{-1} \mbox{mod 1}$ est la proportion de modes propres non perturb\'{e}s dont l'\'{e}nergie est inf\'{e}rieure \`{a} $E_{p,q}$ ; on obtient ainsi la relation suivante pour l'IDOS dans le gap $[p,q]$ :
%$$ N(\epsilon) = E_{Q_{p,q}/2} = p+q\sigma^{-1} \mbox{mod 1}$$

Ces r\'{e}sultats, \'{e}tablis pour une cavit\'{e} infinie, se v\'{e}rifient exp\'{e}rimentalement bien pour une cavit\'{e} finie.

\medskip

Les résultats expérimentaux et numériques obtenus mettent en évidence l'existence d'oscillations log-périodiques pour la densit\'{e} d'\'{e}tats int\'{e}gr\'{e}e, pour la
fonction de corrélation, ainsi que pour le rapport de participation.


La figure (4) pr\'{e}sente le graphe de la densit\'{e} d'\'{e}tats int\'{e}gr\'{e}e, pour une cavit\'{e} de 233 lettres. On note que la pr\'{e}diction th\'{e}orique de la valeur de $N(\epsilon)$ aux diff\'{e}rents gaps s'accorde bien avec l'exp\'{e}rience. 


\begin{figure}
\centering
\includegraphics[scale=0.8]{idos.PNG}
\caption{(a) Mesure de l'intensit\'{e} totale \'{e}mise (int\'{e}grale angulaire)$I(\epsilon')$ de la cavit\'{e} quasip\'{e}riodique ; (b) Int\'{e}grale spectrale de l'intensit\'{e} $\int_{E_{0}}^{\epsilon} I(\epsilon')d\epsilon'$ ($E_{0}$ \'{e}nergie minimale) ; Calcul de la densit\'{e} d'\'{e}tats normalis\'{e}e (DOS) (c) et de l'int\'{e}grale de la densit\'{e} d'\'{e}tats (IDOS) (d) ; (e) Oscillations log-p\'{e}riodiques de l'IDOS au voisinage de $E_{0}$ : \'{e}chelle log-log, courbe num\'{e}rique (rouge) et exp\'{e}rimentale (bleue) (normalis\'{e}e \`{a} $E_{R} = \frac{\hbar^{2}\pi^{2}}{8a^{2}m_{p}}$, $m_{p}$ la masse du polariton. Source : [4]}
\end{figure}






%\chapter{Etude th\'{e}orique dans le cas où le spectre est un ensemble de Cantor}
\section{\'{E}tude th\'{e}orique dans le cas où le spectre est un ensemble de Cantor}

La principale partie de mon travail a \'{e}t\'{e} d'\'{e}tudier analytiquement le cas d'un syst\`{e}me dont le spectre en \'{e}nergie est un 
ensemble de Cantor triadique (\textit{cf.} 2.2). Les r\'{e}sultats th\'{e}oriques et exp\'{e}rimentaux d\'{e}j\`{a} obtenus indiquent notamment que la pr\'{e}sence d'un spectre fractal se 
manifeste au travers du comportement log-p\'{e}riodique de certaines quantit\'{e}s, telle la densit\'{e} d'\'{e}tats int\'{e}gr\'{e}e. Il s'agit 
de comprendre l'origine de ce comportement particulier, de d\'{e}terminer quelles sont les quantit\'{e}s physiques qui en portent 
la trace et de parvenir \`{a} une expression analytique de ces quantit\'{e}s.

Cette \'{e}tude permettra ensuite de faire des simulations num\'{e}riques et de concevoir de nouvelles exp\'{e}riences pour \'{e}tayer la th\'{e}orie.   

\medskip

Dans la suite, on supposera que l'on \'{e}tudie un syst\`{e}me caract\'{e}ris\'{e} par une fonction d'onde $|\psi(t)\rangle$ et r\'{e}gi par un 
Hamiltonien $H$, inconnu, dont nous supposons uniquement que le spectre est un ensemble de Cantor triadique $K$. On prendra pour all\'{e}ger les notations $\hbar = 1$.
L'\'{e}volution temporelle du paquet d'onde, dont l'\'{e}tat initial est $|\psi(t=0)\rangle=|\psi_{0}\rangle$, est donn\'{e}e par la relation :
$$|\psi(t)\rangle = e^{-i\mbox{\^{H}}t}|\psi_{0}\rangle$$
On utilisera \'{e}galement la d\'{e}composition spectrale de $|\psi(t)\rangle$ sur les fonctions propres de $H$, $\{|\phi(\epsilon)\rangle\}$ (formant une base orthonorm\'{e}e) :
$$|\psi(t)\rangle= \int_{K} g(\epsilon) e^{-i\epsilon t} |\phi(\epsilon)\rangle d\mu(\epsilon)$$
o\`{u} $g(\epsilon)$ est la projection de $|\psi_{0}\rangle$ sur $|\phi(\epsilon)\rangle$, et $d\mu(\epsilon)$ est une mesure 
d\'{e}finie sur le spectre et prenant en compte la densit\'{e} d'\'{e}tats.


%\section{D\'{e}finition d'une mesure appropri\'{e}e}
\subsection{D\'{e}finition d'une mesure appropri\'{e}e}

La premi\`{e}re difficult\'{e} est la d\'{e}finition d'une mesure ad\'{e}quate pour caract\'{e}riser le spectre. Un ensemble de Cantor est un 
ensemble de points isol\'{e}s ; sa mesure au sens de Lebesgue est donc nulle. Toutefois, si l'on envisage un syst\`{e}me dont 
le spectre est un ensemble de Cantor, la somme des \'{e}nergies (avec d\'{e}g\'{e}nerescence) est non nulle, donc l'int\'{e}grale de la densit\'{e} d'\'{e}tat sur le 
spectre doit \^{e}tre non nulle. On comprend cependant intuitivement que pour que l'int\'{e}grale de la densit\'{e} d'\'{e}tats $\rho(\epsilon)$ 
sur un ensemble de mesure nulle (un ensemble de points ici) soit non nulle, cette densit\'{e} d'\'{e}tats doit \^{e}tre infinie en les 
points du spectre. De fait, $\rho$ n'est pas d\'{e}finie pour un ensemble de Cantor.

On suppose de plus ici que l'int\'{e}grale de la densit\'{e} d'\'{e}tats sur le spectre est finie.

\medskip

Afin de mod\'{e}liser cette situation, j'ai d\'{e}fini une mesure $d\mu$ appropri\'{e}e ; abusivement, $d\mu$ est une mesure qui 
v\'{e}rifie la relation : $d\mu(\epsilon) = \rho(\epsilon)d\epsilon$, c'est-\`{a}-dire que la densit\'{e} d'\'{e}tat est contenue dans la 
d\'{e}finition de la mesure. 
   
Supposons pour simplifier que l'int\'{e}grale de $d\mu$ sur un Cantor $K$ soit \'{e}gale \`{a} $1$ : $\int_{K}d\mu = 1$. On proc\`{e}de par 
it\'{e}ration : partant d'un segment $[0,1]$, on pose $\rho = 1$ partout ; l'int\'{e}grale sur le segment vaut bien 1. On divise 
ensuite le segment en trois, on retire la partie centrale, et l'on d\'{e}finit $\rho$ \'{e}gal \`{a} $\frac{3}{2}$ sur $[0,\frac{1}{3}]$
et $[\frac{2}{3}, 1]$ et $0$ sur $[\frac{1}{3},\frac{2}{3}]$ ; on a encore $\int_0^1 \rho(x)dx = 1$.

On peut ainsi d\'{e}finir $d\mu$ comme une limite : pour toute fonction $f$ d\'{e}finie sur $[0,1]$, l'int\'{e}grale de $f$ sur le Cantor 
$K$ est : 
$$ \int_{K} f(x)d\mu(x) = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{3}{2} \right)^{n} \sum_{P_{n}} \int_{a_{j}}^{a_{j}+3^{-n}} f(x)dx $$
où $P_{n}$ d\'{e}signe l'ensemble des bords gauche des segments restant apr\`{e}s $n$ it\'{e}rations dans la construction de l'ensemble
de Cantor.

On d\'{e}montre facilement (cf. annexe 7.2) que cette mesure v\'{e}rifie la propri\'{e}t\'{e} d'\'{e}chelle suivante :
\begin{equation}
 \int_{K} f(x)d\mu(x) = \frac{1}{2} \int_{K} f\left(\frac{x}{3}\right)d\mu(x) + \frac{1}{2} \int_{K} f\left(\frac{x+2}{3}\right)d\mu(x)
\end{equation}     

\medskip

Cette d\'{e}finition de $d\mu$ a permis d'effectuer le calcul analytique de fonctions int\'{e}ressantes pour l'\'{e}tude de 
syst\`{e}mes pr\'{e}sentant une structure fractale.    

%\section{Densit\'{e} d'\'{e}tats int\'{e}gr\'{e}e}
\subsection{Densit\'{e} d'\'{e}tats int\'{e}gr\'{e}e}

Afin de tester si cette mesure \'{e}tait appropri\'{e}e, je l'ai appliqu\'{e}e pour calculer num\'{e}riquement, avec Matlab, l'int\'{e}grale de la densit\'{e} d'\'{e}tats : $N(\epsilon) = \int_{spectre} \theta(\epsilon - \epsilon')d\mu(\epsilon')$, o\`{u} $\theta $ est la fonction de Heaviside (voir graphe fig. (5)).

\begin{figure}
\centering
\includegraphics[scale=0.4]{idos_cantor.png}
\caption{Calcul num\'{e}rique de la densit\'{e} d'\'{e}tats int\'{e}gr\'{e}e dans le cas o\`{u} le spectre est un ensemble de Cantor triadique. Abscisses : \'{e}nergie $E$, unit\'{e}s arbitraires. Ordonn\'{e}es : $N(E)$.}
\end{figure}


On d\'{e}montre ais\'{e}ment que $N(\epsilon)$ est log-p\'{e}riodique :

\begin{eqnarray*}
\lefteqn{N(\epsilon)=\int_{spectre} \theta(\epsilon - \epsilon')d\mu(\epsilon')} \\
&=& \frac{1}{2}\int_{spectre} \theta\left(\epsilon - \frac{\epsilon'}{3}\right)d\mu(\epsilon') + \frac{1}{2}\int_{spectre} \theta\left(\epsilon - \frac{\epsilon'+2}{3}\right)d\mu(\epsilon') \\
&=& \frac{1}{2}N\left(\frac{\epsilon}{3}\right) + g(\epsilon)
\end{eqnarray*}

D'apr\`{e}s les pr\'{e}liminaires math\'{e}matiques, ceci prouve que $N(\epsilon) = \epsilon^{\alpha}G(\ln(\epsilon)$ avec $G$ un fonction p\'eriodique.
Le graphe de la fonction est \`{a} rapprocher des graphes num\'{e}riques et exp\'{e}rimentaux obtenus pour la cavit\'{e} de Fibonacci ; les similarit\'{e}s observ\'{e}es semblent indiquer que cette mesure est pertinente.  

%\section{Fonction de corr\'{e}lation}
\subsection{Fonction de corr\'{e}lation}

Une des premi\`{e}re des quantit\'{e}s auxquelles je me suis int\'{e}ress\'{e}e est la fonction de corr\'{e}lation, ou probabilit\'{e} de retour \`{a} 
l'origine, $C(t)$. 

Il est naturel d'\'{e}tudier cette fonction dans le cadre de probl\`{e}mes de dynamique quantique, au m\^{e}me titre par exemple que le rapport de participation (qui sera discut\'{e} dans la section suivante) ou que le d\'{e}placement moyen quadratique\footnote{Cette derni\`{e}re quantit\'{e} ne semble n\'{e}anmoins pas pertinente pour mettre en \'{e}vidence la structure fractale, ainsi que les r\'{e}sultats num\'{e}riques obtenus avec la cavit\'{e} de Fibonacci (section 2) le sugg\`{e}rent.} $\langle r^{2}(t)\rangle$.
Par d\'{e}finition, $C(t)$ est la moyenne temporelle de la probabilit\'{e} $p(t) = |\langle\psi(0)|\psi(t)\rangle|^{2}$ d'observer le paquet d'onde dans sa configuration initiale apr\`{e}s un temps $t$ : 
$$ C(t) = \frac{1}{t}\int_0^t |\langle\psi(0)|\psi(t')\rangle|^{2} dt' $$
On pourrait directement \'{e}tudier $p(t)$ pour obtenir des informations sur l'\'{e}volution temporelle du paquet d'onde, cependant cette quantit\'{e} pr\'{e}sente en g\'{e}n\'{e}ral des oscillations rapides (presque p\'{e}riodiques) qui cacheraient les effets dus au spectre fractal, que l'on souhaite observer. Sa moyenne temporelle donne, en revanche, des r\'{e}sultats int\'{e}ressants comme nous le verrons plus loin.

\medskip

Les r\'{e}sultats num\'{e}riques dans le cas de la cavit\'{e} de Fibonacci semblent de plus indiquer que cette fonction est de la forme : $C(t) = t^{-d_{c}}g(\ln(t/\tau))$, où $g$ est p\'{e}riodique, $\tau$ une \'{e}chelle de temps caract\'{e}ristique et $d_{c}$ est un r\'{e}el positif (nous montrerons qu'il s'agit de la dimension fractale de $K$). La figure (6) pr\'{e}sente les r\'{e}sultats num\'{e}riques obtenus pour une cavit\'{e} de 233 lettres.

\begin{figure}
\centering
\includegraphics[scale=1.2]{c_t_fibo.PNG}
\caption{Fonction de corr\'{e}lation du paquet d'onde dans la cavit\'{e} de Fibonacci (\textit{cf.} section 3) ; r\'{e}sultats num\'{e}riques pour un paquet d'onde initial gaussien : $\psi(x,t=0) \sim e^{-2(x-x_{0})^{2}/w_{0}^{2}}$. Les diff\'{e}rentes courbes correspondent \`{a} des valeurs de $w_{0}$ diff\'{e}rentes, $x_{0}$ \'{e}tant identique.}
\end{figure}

\medskip



%\subsection{Expression analytique de $C(t)$ dans le cas o\`{u} le spectre est un ensemble de Cantor}
\subsubsection{Expression analytique de $C(t)$ dans le cas o\`{u} le spectre est un ensemble de Cantor}

Avec les notations introduites au d\'{e}but du paragraphe, on exprime ${|\psi(t)\rangle}$  dans une base orthonormale d'\'{e}tats propres $\{|\phi(\epsilon)\rangle\}$ du Hamiltonien $H$ :
$$ |\psi(t)\rangle = \int_{K} g(\epsilon) e^{-i\epsilon t} |\phi(\epsilon)\rangle d\mu(\epsilon)$$
On suppose de plus $\psi$ normalis\'{e}e : 
\begin{flalign*}
& \langle\psi(t)|\psi(t)\rangle=\int_{K\times K}g(\epsilon)^{*}g(\epsilon')\langle\phi(\epsilon)|\phi(\epsilon')\rangle e^{i(\epsilon - \epsilon')t} d\mu(\epsilon)d\mu(\epsilon') &\\
&= \int_{K} |g(\epsilon)|^{2} d\mu(\epsilon) &\\
&= 1&\\
\end{flalign*}

On peut alors d\'{e}finir une nouvelle mesure $d\tilde\mu(\epsilon) = |g(\epsilon)|^{2} d\mu(\epsilon)$ ; pour simplifier, on consid\'{e}rera que cette mesure est celle d\'{e}finie \`{a} la section pr\'{e}c\'{e}dente.

Maintenant : 

\begin{eqnarray*}
\lefteqn{C(t) = \frac{1}{t}\int_0^t |\langle\psi(0)|\psi(t')\rangle|^{2} dt'}\\
&=& \frac{1}{t} \int_0^t |\int_{K} |g(\epsilon)|^{2}e^{-i\epsilon t'}d\mu(\epsilon)|^{2}dt' \\
&=& \frac{1}{t} \int_0^t \iint_{K\times K} e^{i(\epsilon' - \epsilon)t'}d\tilde\mu(\epsilon)d\tilde\mu(\epsilon')\\
&=& \frac{1}{t} \iint_{K\times K} \frac{e^{i(\epsilon' - \epsilon)t} -1}{i(\epsilon' - \epsilon)} d\tilde\mu(\epsilon)d\tilde\mu(\epsilon') \\
&=& \iint_{K\times K} \mbox{sinc} ((\epsilon' - \epsilon)t)d\tilde\mu(\epsilon)d\tilde\mu(\epsilon') + \underbrace{i\iint_{K\times K} \frac{\mbox{sin}^{2}((\epsilon' - \epsilon)t/2)}{(\epsilon' - \epsilon)t}}_{\mbox{nul par sym\'{e}trie}}
\end{eqnarray*}

D'o\`{u} finalement :
\begin{equation}
C(t) = \iint_{K\times K} \mbox{sinc} ((\epsilon' - \epsilon)t)d\tilde\mu(\epsilon)d\tilde\mu(\epsilon')
\end{equation}

Avec la d\'{e}finition de $d\mu$ et la propri\'{e}t\'{e} d'\'{e}chelle (1), on parvient \`{a} l'expression suivante (le d\'{e}tail du calcul est donn\'{e} en annexe 7.3) :

\begin{equation}
C(t) = \frac{t^{-d}}{\ln(3)}\sum_{n \in \mathbb{Z}}\epsilon_n \exp{-2i\pi n \ln(t)/\ln(3)} \int_0^t u^{d+\frac{2i\pi n}{\ln(3)}-1}\mbox{sinc} (u)du
\end{equation}
avec $d=\frac{\ln(2)}{\ln(3)}$ et $\epsilon_{n} = \int_{K\times K} \frac{d\mu(x) d\mu(y)}{|x-y+2|^{d+\frac{2i\pi n}{\ln(3)}}}$.

L'int\'{e}grale $\int_0^t u^{d+\frac{2i\pi n}{\ln(3)}-1}\mbox{sinc}(u) du$ converge vers $\int_0^{\infty} u^{d+\frac{2i\pi n}{\ln(3)}-1}\mbox{sinc}(u)du$ ; on peut donc, pour $t$ suffisamment grand, remplacer $\int_0^t$ par $\int_0^{\infty}$. Comme de plus 
$$\int_0^{\infty} u^{d+\frac{2i\pi n}{\ln(3)}-1}\mbox{sinc} (u)du = \sin\left(\frac{\pi}{2}(d+\frac{2i\pi n}{\ln(3)}-1)\right)\Gamma\left(d+\frac{2i\pi n}{\ln(3)}-1\right)$$
avec $\Gamma$ la fonction gamma de Euler, on obtient finalement :

\begin{equation}
 \boxed{C(t) = \frac{t^{-d}}{\ln(3)}\sum_{n \in \mbox{$\mathbb{Z}$}} \epsilon_{n} t^{-\frac{2i\pi n}{\ln(3)}}\sin\left(\frac{\pi}{2}(d+\frac{2i\pi n}{\ln(3)}-1)\right)\Gamma\left(d+\frac{2i\pi n}{\ln(3)}-1\right)}
 \end{equation}

dans le cas normalis\'{e} ($\hbar = 1$, \'{e}nergie maximale accessible $E = 1$), soit dans le cas g\'{e}n\'{e}ral :
\begin{equation}
 \boxed{C(t) =\left(\frac{E}{u.e.}\right)^{2}\left(\frac{Et}{\hbar}\right)^{-d} \sum_{n}\frac{\epsilon_{n}}{\ln(3)}\left(\frac{Et}{\hbar}\right)^{-\frac{2i\pi n}{\ln(3)}}\sin\left(\frac{\pi}{2}(d_{n}-1)\right)\Gamma(d_{n}-1)}
 \end{equation}
o\`{u} $u.e.$ d\'{e}signe une unit\'{e} d'\'{e}nergie, de sorte que $C(t)$ soit adimensionn\'{e}e.

\medskip

On obtient donc que $C(t)$ est de la forme : $C(t) = t^{-d_{c}}g(\ln(t/\tau))$ (voir graphe fig. (7)), avec $d_{c}=d=\frac{\ln(2)}{\ln(3)}$ la dimension fractale de $K$ et 
$$g(t)=\sum_{n \in \mbox{$\mathbb{Z}$}} \epsilon_{n} t^{-\frac{2i\pi n}{\ln(3)}}\sin\left(\frac{\pi}{2}(d+\frac{2i\pi n}{\ln(3)}-1)\right)\Gamma\left(d+\frac{2i\pi n}{\ln(3)}-1\right)$$
log-p\'{e}riodique. L'apparition de la dimension fractale $d$ peut \^{e}tre interpr\'{e}t\'{e}e par le fait que l'\'{e}nergie $\epsilon$ et le temps $t$ sont variables conjugu\'{e}es ; par ailleurs, l'expression () montre que $C(t)$, int\'{e}grale sur $K$ de l'ondelette $\mbox{sinc}((\epsilon' - \epsilon)t)$, est en quelques sortes une "loupe" au travers de laquelle on observe le spectre. 

\begin{figure}
\centering
\includegraphics[scale=0.5]{correlation_function_log.png}
\caption{Fonction de corr\'{e}lation dans le cas o\`{u} le spectre est un ensemble de Cantor triadique ; \'{e}chelle logarithmique. Abscisse : $\ln\left(\frac{t}{\hbar/E}\right)$, $E$ \'{e}tant l'\'{e}nergie maximale accessible. Ordonn\'{e}es : $\frac{C(t)}{(E/u.e)^{2}}$.}
\end{figure}


\medskip  

Une \'{e}tude analytique du comportement asymptotique des coefficients montre que l'on a au moins (voir annexe 7.3.1) : 
$$|\epsilon_{n}\sin(\frac{\pi}{2}(d+\frac{2i\pi n}{\ln(3)}-1))\Gamma(d+\frac{2i\pi n}{\ln(3)}-1)|=O\left(\frac{1}{n^{3/2-d}}\right)$$  
Cependant, bien que n'ayant pas encore de preuve rigoureuse, il semble que l'on puisse am\'{e}liorer la convergence et que $$|\epsilon_{n}\sin(\frac{\pi}{2}(d+\frac{2i\pi n}{\ln(3)}-1))\Gamma(d+\frac{2i\pi n}{\ln(3)}-1)|=O\left(\frac{1}{n^{5/2-d}}\right)$$ 
ce qu'une \'{e}tude num\'{e}rique semble confirmer. 

\medskip

Remarquons enfin que, bien que les graphes des fonctions de corr\'{e}lation dans le cas de la cavit\'{e} de Fibonacci (r\'{e}sultats num\'{e}riques) et dans le cas d'un syst\`{e}me dont le spectre est un ensemble de Cantor (r\'{e}sultats th\'{e}oriques) pr\'{e}sentent des similarit\'{e}s (loi de puissance modul\'{e}e par des oscillations log-p\'{e}riodiques pour $t$ suffisamment grand), l'allure des graphes n'est pas identique. Ceci provient du fait que, dans le cas de la cavit\'{e} de Fibonacci, le spectre est une superposition d'ensembles de type Cantor. 

Toutefois le but de la section pr\'{e}sente n'est pas d'\'{e}tudier analytiquement la dynamique du paquet d'onde pour la cavit\'{e} de Fibonacci, mais de comprendre pour un spectre plus simple (ensemble de Cantor triadique) quelles quantit\'{e}s portent la signature de la structure fractale du spectre, et d'\'{e}tablir leur expression analytique. Nous saurons ainsi quelles quantit\'{e}s observer dans les exp\'{e}riences \`{a} venir.

 
%\section{Rapport de participation (participation ratio)}
\subsection{Rapport de participation (participation ratio)}

Le rapport de participation (participation ratio) [8], [14]  est \'{e}galement une quantit\'{e} int\'{e}ressante pour l'\'{e}tude de la dynamique et de l'\'{e}talement d'un paquet d'onde.

Par d\'{e}finition, le rapport de participation est :
\begin{equation}P_{\psi} = \frac{1}{\int_{espace} |\langle x|\psi\rangle
|^{4}dx} 
\end{equation}

Cette fonction renseigne sur l'\'{e}talement spatial du paquet d'onde, d\'{e}crit par $|\psi\rangle$. Si l'\'{e}tat est localis\'{e}, alors $P_{\psi}\simeq 0$ ; s'il est \'{e}tendu, alors $P_{\psi}\simeq 1$. Cette propri\'{e}t\'{e} n'est pas intuitive ; prenons un exemple simple pour clarifier [8] : une particule quantique dans un r\'{e}seau cristallin, dans le mod\`{e}le des liaisons fortes. Notons $\psi(r,t)$ l'amplitude, au point $r$, de la fonction d'onde de la particule  quantique \'{e}voluant sur un r\'{e}seau de $N$ sites. Le rapport de participation est alors (cas discret) :
$$ P_{\psi}=\frac{1}{N\sum_{\mbox{sites } r_{i}}|\psi(r_{i},t)|^{4}}$$
Supposons pour simplifier que $|\psi(r,t)\rangle$ est un \'{e}tat propre du syst\`{e}me, associ\'{e} \`{a} l'\'{e}nergie $\epsilon$. Supposons maintenant que  $\psi(r,t)$ s'\'{e}tend sur $m$ sites du r\'{e}seau, $\{r_{i}\}_{i \in \{1,...,m\}}$ de fa\c{c}on \'{e}quiprobable : $|\psi(r,t)|^{2}=\frac{1}{m}$, et s'annule partout ailleurs. Alors :
$$P_{\psi} = \frac{1}{N\sum_{1}^{m}|\psi(r_{i},t)|^{4}} =\frac{1}{N\sum_{1}^{m}\frac{1}{m^{2}}}= \frac{m}{N} $$
$P_{\psi}$ d\'{e}crit donc la proportion de sites sur lesquels l'amplitude de la fonction d'onde est non nulle. Si l'\'{e}tat d\'{e}crit par $\psi(r,t)$ est localis\'{e}, alors $P_{\psi}$ est faible ; si l'\'{e}tat est \'{e}tendu sur tous les sites disponibles, alors $P_{\psi}$ atteint son maximum, $1$.

\medskip

Dans le cas de la cavit\'{e} de Fibonacci, les r\'{e}sultats num\'{e}riques montrent que le rapport de participation moyenn\'{e} dans le temps pr\'{e}sente des oscillations log-p\'{e}riodiques dans le temps ; j'ai donc \'{e}tudi\'{e} cette fonction dans le cas d'un spectre de Cantor :
\begin{equation}
P_{\psi}(t) = \frac{1}{t}\int_0^t \frac{dt'}{\int_{espace} |\langle x|\psi(t')\rangle|^{4}dx} 
\end{equation}

L'id\'{e}e est de se ramener \`{a} une int\'{e}grale sur le spectre, qui a une structure fractale et qui serait \`{a} l'origine des oscillations log-p\'{e}riodiques s'il y a lieu.

On utilise pour cela le formalisme des fonctions de Green. On peut en effet relier la transform\'{e}e de Fourier de la fonction de Green \`{a} la densit\'{e} d'\'{e}tat locale [13] ; il s'av\`{e}re, apr\`{e}s v\'{e}rification, que les calculs d\'{e}taill\'{e}s dans [13] sont valables dans le cas d'un spectre fractal. Pour ne donner que les grandes lignes : 
\begin{eqnarray*}
\lefteqn{|\psi(x,t)| = |\langle x|\psi(t)\rangle|}\\
&=& \left|\langle x|e^{-iHt}|\psi(0)\rangle\right|\\
&=& \left|\int_{espace}\langle x|e^{-iHt}|x'\rangle\psi(x',0)dx'\rangle\right|\\
%&=& \left|\int\limits_{space}{\int\limits_{spectrum} e^{-i\epsilon t} Im G(x,x',\epsilon)\psi(0,t)dx'd\mu(\epsilon)}\right|\\
&=& \left|\int\limits_{espace}{\int\limits_{spectre} e^{-i\epsilon t} \phi(x,\epsilon)^{*}\phi(x',\epsilon)\psi(x',0)dx'd\mu(\epsilon)}\right|
\end{eqnarray*}

On obtient donc finalement :
\begin{equation}
 |\psi(x,t)|=\left|\int\limits_{espace}{\int\limits_{spectre} e^{-i\epsilon t} \phi(x,\epsilon)^{*}\phi(x',\epsilon)\psi(x',0)dx'd\mu(\epsilon)}\right|
 \end{equation}
 
 \`{A} ce stade, deux pistes sont envisageables pour poursuivre.
 
%\subsection{Majoration de $\int \phi(x,\epsilon)^{*}\phi(x',\epsilon)d\mu(\epsilon)$}
\subsubsection{Majoration de $\int \phi(x,\epsilon)^{*}\phi(x',\epsilon)d\mu(\epsilon)$}
 
 Un encadrement de la fonction de Green non-diagonale, i.e. en des 
 valeurs $x, x'$ diff\'{e}rentes $G(x,x',t)$, a \'{e}t\'{e} \'{e}tabli ([9], [10]) pour un grand nombre de processus de diffusion :
 \begin{equation}
 F_{t}(c_{1},c_{2},x,x') \leq G(x,x',t) \leq  F_{t}(c_{3},c_{4},x,x')
 \end{equation}
 avec 
 $$F_{t}(c_{i},c_{j},x,x') = \frac{c_{i}}{t^{d_{s}/2}}e^{-c_{j}\left(\frac{|x-x'|^{d_{w}}}{t}\right)^{\frac{1}{d_{w}-1}}}$$ 
 o\`{u} $c_{1}, c_{2},c_{3},c_{4}$ sont des constantes positives, $d_{w}$ la dimension de marche au hasard (walk dimension) intervenant dans la relation de dispersion $\langle x^{2}(t)\rangle = t^{2/d_{w}}$, $d_{s}$ la dimension spectrale telle que $d_{s}=\frac{2d_{f}}{d_{w}}$ et $d_{f}$ la dimension de Hausdorff [5] (\textit{cf.} 2.3) de l'espace dans lequel le ph\'{e}nom\`{e}ne diffusif a lieu. Il s'agit ici d'une majoration pour les probl\`{e}mes de diffusion ; toutefois, il semble possible de transposer cet encadrement dans le cas de l'\'{e}quation de Schr\"{o}dinger sans potentiel : en effet, la diff\'{e}rence avec l'\'{e}quation de la diffusion r\'{e}side dans le facteur $i$ dans la d\'{e}riv\'{e}e temporelle, mais dans les deux cas les fonctions propres intervenant dans la d\'{e}finition de la fonction de Green (ou propagateur) sont fonctions propres du Laplacien, et ne sont pas des fonctions du temps.  
 
 \medskip
 
 \textit{Remarque} : le cas des termes diagonaux est lui mieux connu ; il a m\^{e}me \'{e}t\'{e} prouv\'{e} ([10]) dans le cas de l'\'{e}quation de diffusion sur certaines classes de fractales que 
 $$G(x,x',t) = t^{-\frac{d_{f}}{d_{w}}}F\left(\frac{2\pi \ln(t)}{d_{w}\ln (l)}\right)$$ 
 Le cas des termes non-diagonaux est bien moins ma\^{i}tris\'{e} et fait l'objet de recherches actives actuellement.
 


%\subsection{Supposer $\overline{\phi(0,\epsilon)^{*}\phi(x,\epsilon)} = f\left(\frac{x}{l_{n}}\right)$}
\subsubsection{Supposer $\overline{\phi(0,\epsilon)^{*}\phi(x,\epsilon)} = f\left(\frac{x}{l_{n}}\right)$}

Dans le cas d'une vari\'{e}t\'{e} euclidienne, les fonctions propres du Laplacien v\'{e}rifient
la relation suivante : $\overline{\phi(\textbf{r},\epsilon)^{*}\phi(\textbf{r'},\epsilon)} = f\left(\frac{|\textbf{r} - \textbf{r'}|}{l_{n}}\right)$. Ce r\'{e}sultat, bien que non d\'{e}montr\'{e} pour le cas d'un Laplacien d\'{e}fini sur une fractale, a n\'{e}anmoins \'{e}t\'{e} utilis\'{e} comme hypoth\`{e}se dans des travaux r\'{e}cents ([10]).

\medskip

On pourrait, dans notre cas, effectuer la m\^{e}me hypoth\`{e}se (en imposant donc de plus que le Hamiltonien soit r\'{e}duit \`{a} un Laplacien).

Cette hypoth\`{e}se m\`{e}ne \`{a} une expression analytique de la fonction de participation mettant en \'{e}vidence sa log-p\'{e}riodicit\'{e}.

Il serait donc int\'{e}ressant de v\'{e}rifier num\'{e}riquement cette conjecture. Il faut pour cela concevoir un syst\`{e}me tel que le spectre du Laplacien soit un ensemble de Cantor ; cette \'{e}tude num\'{e}rique n'est pour le moment pas termin\'{e}e mais fait partie de mon programme de recherche pour l'ann\'{e}e scolaire \`{a} venir (durant laquelle je prolonge mon stage de M1 dans le cadre d'une ann\'{e}e ARPE).

%\section{\'{E}mission spontan\'{e}e}
\subsection{\'{E}mission spontan\'{e}e}

Un autre probl\`{e}me int\'{e}ressant sur le plan th\'{e}orique et exp\'{e}rimental est celui de l'\'{e}mission spontan\'{e}e d'un syst\`{e}me discret (atome \`{a} deux niveaux par exemple) coupl\'{e} avec un spectre fractal. Exp\'{e}rimentalement, on peut concevoir une cavit\'{e} ayant la g\'{e}om\'{e}trie de la cavit\'{e} de Fibonacci d\'{e}crite \`{a} la section 2 ; par exemple, une cavit\'{e} di\'{e}lectrique compos\'{e}e de deux types de couches $A$ et $B$, de largeurs $d_{A}$ et $d_{B}$ et d'indices de r\'{e}fraction $n_{A}$ et $n_{B}$ respectivement ([11]). Pour \'{e}tudier la probabilit\'{e} d'\'{e}mission d'un photon par l'atome, la r\`egle d'or de Fermi doit \^{e}tre r\'{e}examin\'{e}e et l'on peut montrer [11] que, aux temps longs, il n'y a pas de d\'{e}croissance type Wigner-Weisskopf, comme c'est la cas pour un spectre continu.

Consid\'{e}rons le cas o\`{u} les modes de la cavit\'{e} forment un ensemble de Cantor $K$ par exemple. La probabilit\'{e} qu'un atome \`{a} deux niveaux, initialement dans l'\'{e}tat excit\'{e} d'\'{e}nergie $E_{i}$, quitte l'\'{e}tat initial sous l'effet du couplage avec la cavit\'{e} et qu'il y ait au bout d'un temps $t$ une transition vers un \'{e}tat d'\'{e}nergie $E_{f}$, avec un \'{e}cart de $\Delta E$ autour de $E_{f}$, est (en posant $\hbar = 1$):
$$P_{fi}(t) \propto \int_{\Delta E} \left( \frac{\sin{(E-E_{i})t}}{E-E_{i}}\right)^{2}d\mu(E)$$
Si de plus $E_{i} \in K$, alors, en raison de la sym\'{e}trie de $K$, un voisinage de $E_{i}$ conserve la m\^{e}me propri\'{e}t\'{e} d'\'{e}chelle. On peut donc effectuer un changement de variable $E' = E-E_{i}$ et  appliquer la formule (1) :

\begin{eqnarray*} 
 P_{fi}(t) \propto \int_{\Delta E + E_{i}} \left( \frac{\sin{E't}}{E'}\right)^{2}d\mu(E')\\
\propto \frac{1}{2}\int_{\Delta E + E_{i}} \left( \frac{\sin{E't/3}}{E'/3}\right)^{2}d\mu(E')+ \frac{1}{2}\int_{\Delta E + E_{i}} \left( \frac{\sin{(E'+2)t/3}}{(E'+2)/3}\right)^{2}d\mu(E') \\
\propto \frac{3^{2}}{2}P_{fi}\left(\frac{t}{3}\right) + \underbrace{\frac{3^{2}}{2}\int_{\Delta E + E_{i}} \left( \frac{\sin{(E'+2)t/3}}{(E'+2)/3}\right)^{2}d\mu(E')}_{g(t)}
\end{eqnarray*}

ce qui, en suivant les m\^{e}mes techniques de calcul que dans les paragraphes pr\'{e}c\'{e}dents, conduit \`{a} :
$$P_{fi}(t) \propto \sum_{n} M_{g}(s_{n}) t^{2-d-2i\pi / \ln{3}}$$
avec $d = \frac{\ln{2}}{\ln{3}}$, $s_{n} = d-2+\frac{2i\pi}{\ln{3}}$ et $M_{g}$ la transform\'{e}e de Mellin (\textit{cf.} annexe 7.1) de $g$. On n'obtient donc pas la r\`{e}gle d'or de Fermi pour $t\gg 1$, mais l'on observe que $P_{fi}$ se comporte comme une loi de puissance modul\'{e}e par des oscillations log-p\'{e}riodiques. 

%\chapter{Bilan et perspectives}
\section{Bilan et perspectives}

L'\'{e}tude analytique d'un mod\`{e}le th\'{e}orique o\`{u} le spectre du Hamiltonien est une fractale "simple" (un ensemble de Cantor triadique) a permis d'aboutir \`{a} une expression exacte de la fonction de corr\'{e}lation (ou retour \`{a} l'origine), mettant explicitement en \'{e}vidence les oscillations log-p\'{e}riodiques de cette quantit\'{e}. Nous devrions \'{e}galement parvenir sous peu \`{a} d\'{e}montrer rigoureusement la log-p\'{e}riodicit\'{e} pour la moyenne temporelle du rapport de participation. Une simulation num\'{e}rique pour tester la conjecture concernant le rapport de participation est en cours.

Ces r\'{e}sultats sont en accord avec les r\'{e}sultats et hypoth\`{e}ses th\'{e}oriques  formul\'{e}es sur le lien  de causalit\'{e} entre la structure fractale et les oscillations log-p\'{e}riodiques de certaines quantit\'{e}s, ainsi qu'avec les r\'{e}sultats exp\'{e}rimentaux et num\'{e}riques r\'{e}cents obtenus avec la cavit\'{e} de Fibonacci.

Notons qu'il est plus ais\'{e} exp\'{e}rimentalement d'observer des quantit\'{e}s dynamiques, bien qu'il soit \'{e}galement possible d'observer les oscillations log-p\'{e}riodiques de quatit\'{e}s purement spectrales. En effet, observer des oscillations log-p\'{e}riodiques pour des quantit\'{e}s spectrales suppose que l'on puisse effectuer des mesures jusqu'aux hautes \'{e}nergies, ce qui n'est pas toujours possible, avec une bonne r\'{e}solution, en utilisant les m\'{e}thodes dont nous disposons actuellement.

Cette \'{e}tude analytique a donc permis de comprendre plus en profondeur le lien entre la structure fractale du spectre et ce comportement particulier, et ouvre de nouvelles perspectives.


\medskip

Une autre piste de recherche est notamment la suivante : la cavit\'{e} de Fibonacci permettrait d'\'{e}tudier l'\'{e}mission spontan\'{e}e pour un syst\`{e}me discret coupl\'{e} \`{a} un spectre fractal. On peut de plus pousser l'\'{e}tude plus loin et s'int\'{e}resser \`{a} l'interaction de deux atomes \`{a} deux niveaux coupl\'{e}s \`{a} un spectre fractal, introduisant le ph\'{e}nom\`{e}ne de superradiance. 

Ces perspectives font \'{e}galement partie de mon programme de recherche pour l'ann\'{e}e \`{a} venir.  

\newpage
%\chapter{Calendrier r\'{e}capitulatif}
%\section{Calendrier r\'{e}capitulatif}

%\textbf{Semaines 1-2} : lecture de [1], [2], [5], [6] ; manipulations simples sur les fractales (calcul de dimension, construction).

%\medskip

%\textbf{Semaine 3} : d\'{e}finition de la mesure $d\mu$, calculs num\'{e}riques pour tester la validit\'{e}.

%\medskip

%\textbf{Semaines 4-5} : premi\`{e}re expression analytique de $S(l)$ et \'{e}tude num\'{e}rique ; recherches bibliographiques [3], [11], [13].

%\medskip

%\textbf{Semaine 6-7 }: d\'{e}but de la recherche bibliographique sur l'\'{e}mission spontann\'{e}e, en vue de son \'{e}tude dans le cas d'un spectre fractal et d'une analogie avec la cavit\'{e} de Fibonacci [11], [18] ; d\'{e}rivation de la propri\'{e}t\'{e} d'\'{e}chelle de la mesure $d\mu$ : grande avanc\'{e}e dans les calculs.

%\medskip

%\textbf{Semaine 8} : d\'{e}rivation de l'expression de la fonction de corr\'{e}lation $C(t)$ telle que donn\'{e}e dans le rapport ; \'{e}tude de la vitesse de convergence des coefficients.

%\medskip

%\textbf{Semaines 9-12} : \'{e}tude du rapport de participation : bibliographie [14], [8]. En parall\`{e}le, continuation des travaux sur l'\'{e}mission spontann\'{e}e, \'{e}tablissement de la formule donn\'{e}e dans le rapport pour le taux d'\'{e}mission d'un syst\`{e}me \`{a} deux niveau coupl\'{e} \`{a} un spectre fractal.

%\medskip

%\textbf{Semaine 13} : rencontre avec A. Teplyaev, docteur en math\'{e}matiques \`{a} l'Universit\'{e} du Connecticut (Storrs, \'{E}tats-Unis), coll\`{e}gue de mon ma\^{i}tre de stage ; ils travaillent ensemble depuis de nombreuses ann\'{e}es sur des th\'{e}matiques intimement li\'{e}es, afin d'avoir un double \'{e}clairage, math\'{e}matique et physique, sur ces questions ([6]). Discussions fructueuses, desquelles aboutirent de nouvelles id\'{e}es pour poursuivre mon travail, tant sur le plan th\'{e}orique que num\'{e}rique ; de nombreuses r\'{e}f\'{e}rences \'{e}galement [19], [20].

%\medskip

%\textbf{Semaine 14} : pr\'{e}sentation devant le groupe de recherche des r\'{e}sultats que j'ai obtenus sur la fonction de corr\'{e}lation et le rapport de participation.

%\medskip

%\textbf{Semaine 15} : r\'{e}daction du rapport de stage ; poursuite des travaux sur le rapport de participation.

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\section{R\'{e}sum\'{e} - Abstract}

%Des exp\'{e}riences r\'{e}centes ont mis en \'{e}vidence que la densit\'{e} d'\'{e}tats int\'{e}gr\'{e}e ainsi que 
%certaines quantit\'{e}s dynamiques (notamment la fonction de corr\'{e}lation ou retour \`{a} l'origine) des syst\`{e}mes 
%quantiques \`{a} spectre en \'{e}nergie de type Cantor pr\'{e}sentent des oscillations log-p\'{e}riodiques. 
%On \'{e}tudie ici  analytiquement et num\'{e}riquement les quantit\'{e}s susceptibles de porter la trace de la 
%structure fractale dans le cas d'un syst\`{e}me dont le spectre est un ensemble de Cantor triadique. On \'{e}tablit 
%l'expression exacte de la fonction de corr\'{e}lation, et on \'{e}tudie le rapport de participation. %On explore enfin une analogie 

La dynamique d'un système quantique ayant un spectre en énergie fractal est étudiée analytiquement. La  
structure auto-similaire du spectre se traduit par des oscillations log-périodiques de la densité d'états intégrée ainsi 
que d'autres quantités physiques décrivant le système. On étudie précisément le cas particulier où le spectre est un ensemble de 
Cantor triadique. L'expression analytique exacte de la fonction de corrélation est établie, mettant en évidence son 
comportement log-périodique. On donne également des arguments en faveur d'un comportement log-périodique du rapport de 
participation. Le problème de l'émission spontanée dans une cavité ayant un spectre fractal
%, ainsi que sa réalisation expérimentale, sont 
est aussi abordé. Les méthodes développées se généralisent à toute fractale auto-similaire.     

\medskip

We study analytically the dynamics of a quantum system having a fractal energy spectrum. As a consequence of the 
auto-similarity of the spectrum, the integrated density of states as well as other physical quantities describing the system 
have a log-periodic behaviour. We study in particular the case of a triadic Cantor set spectrum. We derive the analytical 
expression of the correlation function, thus showing its log-periodic behaviour. We furthermore give arguments in favour of the 
log-periodicity of the participation ratio. The problem of spontaneous emission in a cavity having a fractal spectrum, 
and some ideas about how to observe it experimentally, are also discussed. The methods developed can be generalized 
to any auto-similar fractal.   
 
\newpage
%\chapter{Annexes}
\section{Annexes}

%\section{Log-p\'{e}riodicit\'{e} des fonctions v\'{e}rifiant $f(x) = \frac{1}{b}f(ax)+g(x)$}
\subsection{Log-p\'{e}riodicit\'{e} des fonctions v\'{e}rifiant $f(x) = \frac{1}{b}f(ax)+g(x)$}
Soit $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C}$ v\'{e}rifiant une \'{e}galit\'{e} du type :
\begin{equation}
f(x) = \frac{1}{b}f(ax)+g(x)
\end{equation}
Montrons que $f$ est de la forme :
$$ f(x) = x^{\ln(b)/\ln(a)}G\left(\frac{\ln{x}}{\ln{a}}\right)$$
avec $G$ $1$-p\'{e}riodique.

\medskip

On utilise pour cela la transform\'{e}e de Mellin :

Soit $]a;b[$ un intervalle ouvert non vide de $\mathbb{R}$ et soit $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C}$ int\'{e}grable au sens de Lebesgue, telle que pour tout $\sigma \in ]a;b[$, $\int_0^{\infty} |f(x)|x^{\sigma -1}dx < \infty$.

La \textbf{transform\'{e}e de Mellin} de $f$ est alors d\'{e}finie par :
$$ M_{f}(s)=\int_0^{\infty}f(x)x^{s-1}dx$$
Si de plus il existe $c\in ]a;b[$ tel que $\tau \rightarrow M_{f}(c+i\tau)$ soit int\'{e}grable, alors la \textbf{transform\'{e}e de Mellin inverse} de $M_{f}$ redonne $f$ :
$$f(x)=\frac{1}{2i\pi}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty}M_{f}(s)x^{-s}ds$$

Appliquons la transform\'{e}e de Mellin \'{a} l'\'{e}galit\'{e} (10), en supposant que l'intersection des domaines d\'{e}finition de $M_{f}$ et de $M_{g}$ soit non vide :
\begin{eqnarray*}
\lefteqn{M_{f} = \int_0^{\infty}f(x)x^{s-1}dx}\\
&=& \frac{1}{b}\int_0^{\infty}f(ax)x^{s-1}dx +\int_0^{\infty}g(x)x^{s-1}dx\\
&=&\frac{1}{b}\int_0^{\infty}f(u)\left(\frac{u}{a}\right)^{s-1}\frac{du}{a} + M_{g}(s)
\end{eqnarray*}

Donc :
$$M_{f}(s) = \frac{M_{g}(s)}{1-\frac{a^{-s}}{b}}$$
puis en appliquant le transform\'{e}e de Mellin inverse :
\begin{eqnarray*}
\lefteqn{f(x)=\frac{1}{2i\pi}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty}M_{f}(s)x^{-s}ds}\\
&=&\frac{1}{2i\pi}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty}\frac{M_{g}(s)}{1-\frac{a^{-s}}{b}}ds
\end{eqnarray*}

En supposant maintenant que $M_{g}$ n'a pas de p\^{o}les, la formule des r\'{e}sidus donne finalement :
\begin{eqnarray*}
\lefteqn{f(x)=\sum_{n\in\mathbb{Z}}\left[\frac{(s-s_{n})M_{g}(s)}{1-\frac{a^{-s}}{b}}\right]_{s=s_{n}} \mbox{$s_{n}=-\frac{\ln{a}}{\ln{b}}-\frac{2i\pi n}{\ln{b}}$, p\^{o}les de $\frac{M_{g}(s)}{1-\frac{a^{-s}}{b}}$}}\\
&=& x^{\ln(b)/\ln(a)}\underbrace{\sum_{n\in\mathbb{Z}}c_{n}x^{2i\pi n/\ln{b}}}_{G(x)}
\end{eqnarray*}

On obtient donc la forme voulue.

%\section{Propri\'{e}t\'{e} d'\'{e}chelle de la mesure $d\mu$}
\subsection{Propri\'{e}t\'{e} d'\'{e}chelle de la mesure $d\mu$}

Soit $f$ une fonction int\'{e}grable sur $[0,1]$, \`{a} valeurs dans $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$.

On d\'{e}montre ici la relation : 
$$\int_{K} f(x)d\mu(x) = \frac{1}{2} \int_{K} f\left(\frac{x}{3}\right)d\mu(x) + \frac{1}{2} \int_{K} f\left(\frac{x+2}{3}\right)d\mu(x)$$

Par d\'{e}nition de $d\mu$ :
$$\int_{K} f(x)d\mu(x)=\lim_{n \to \infty}\underbrace{\left(\frac{2}{3}\right)^{n}\sum_{a_{j_{n}}\in P_{n}}\int_{a_{j_{n}}}^{a_{j_{n}}+3^{-n}}f(x)dx}_{I_{n}(f(x))}$$

avec $P_{n}$ l'ensemble des extr\'{e}mit\'{e}s gauches des segments restants \`{a} l'\'{e}tape $n$ de la construction de l'ensemble de Cantor triadique. On v\'{e}rifie imm\'{e}diatement que la suite $(P_{n})_{n}$ v\'{e}rifie la relation de r\'{e}currence suivante : 
$P_{n} = \frac{1}{3}P_{n-1}\cup\{\frac{2}{3}+\frac{1}{3}P_{n-1}\}$. 
Donc :  
\begin{flalign*}
    & I_{n}(f(x)) =\left(\frac{2}{3}\right)^{n}\sum_{a_{j_{n}}\in P_{n}}\int_{a_{j_{n}}}^{a_{j_{n}}+3^{-n}}f(x)dx& \\
    &= \left(\frac{2}{3}\right)^{n}\left[\sum_{a_{j_{n-1}}\in P_{n-1}}\int_{a_{j_{n-1}}/3}^{a_{j_{n-1}}/3+3^{-n}}f(x)dx + \sum_{a_{j_{n-1}}\in P_{n-1}}\int_{\frac{2}{3}+a_{j_{n-1}}/3}^{\frac{2}{3}+a_{j_{n-1}}/3+3^{-n}}f(x)dx\right]&\\
    &\mbox{changement de variable : $u=3x$, $v=3x-2$}&\\
    &=\left(\frac{2}{3}\right)^{n}\left[\sum_{a_{j_{n-1}}\in P_{n-1}}\int_{a_{j_{n-1}}}^{a_{j_{n-1}}+3^{-n+1}}f\left(\frac{u}{3}\right)\frac{du}{3} + \sum_{a_{j_{n-1}}\in P_{n-1}}\int_{a_{j_{n-1}}}^{a_{j_{n-1}}+3^{-n+1}}f\left(\frac{v+2}{3}\right)\frac{dv}{3}\right] &\\ 
   &= \frac{3}{2}\frac{1}{3}\left[I_{n-1}\left(f\left(\frac{u}{3}\right)\right)+I_{n-1}\left(f\left(\frac{2+v}{3}\right)\right)\right]&\\
\end{flalign*}

Or : $\lim_{n \to \infty}I_{n-1}\left(f\left(\frac{u}{3}\right)\right) = \int_{K}f\left(\frac{u}{3}\right)d\mu(u)$ et 
$\lim_{n \to \infty}I_{n-1}\left(f\left(\frac{2+v}{3}\right)\right) = \int_{K}f\left(\frac{2+v}{3}\right)d\mu(u)$, donc finalement :
$$\int_{K} f(x)d\mu(x) = \frac{1}{2} \int_{K} f\left(\frac{x}{3}\right)d\mu(x) + \frac{1}{2} \int_{K} f\left(\frac{x+2}{3}\right)d\mu(x)$$
ce qui est ce que l'on voulait d\'{e}montrer.

%\section{Calcul de la fonction de corr\'{e}lation dans la cas o\`{u} le spectre est un ensemble de Cantor}
\subsection{Calcul de la fonction de corr\'{e}lation dans la cas o\`{u} le spectre est un ensemble de Cantor}

Il s'agit de calculer :
$$ C(t) = \iint_{K\times K} \mbox{sinc} ((\epsilon' - \epsilon)t)d\tilde\mu(\epsilon)d\tilde\mu(\epsilon')$$
o\`{u} $K$ d\'{e}signe un ensemble de Cantor triadique.

\medskip 

L'id\'{e}e du calcul est d'abord de se ramener \`{a} une int\'{e}grale simple, puis d'utiliser les transform\'{e}es de Mellin et les propri\'{e}t\'{e}es d'\'{e}chelle de la mesure.  

\medskip

Effectuons le changement de variable $l=|\epsilon' - \epsilon|$ et notons $dS(l)$ la surface (pour la mesure $\mu$) du tapis de Cantor\footnote{ensemble de Cantor \`{a} deux dimensions, obtenu en it\'{e}rant l'algorithme suivant : \`{a} partir d'un carr\'{e} plein, le diviser en $9$ carr\'{e}s \'{e}gaux, et ne garder que les quatre petits carrés situ\'{e}s dans les coins du grand carr\'{e}.} contenu dans les deux bandes d'\'{e}paisseur infinit\'{e}simale situ\'{e}es en $\epsilon =  \epsilon' +l$ et $\epsilon =  \epsilon' - l$ (fig. 7). 

\begin{figure}
\centering
\includegraphics[scale=0.7]{cantor_carpet.PNG}
\caption{Tapis de Cantor (repr\'{e}sent\'{e} ici pour commodit\'{e} graphique \`{a} la deuxi\`{e}me \'{e}tape de construction) ; la surface infinit\'{e}simale $dS(l)$ correspond \`{a} la surface du tapis de Cantor, au sens de $d\mu$, contenue dans les deux bandes rouges.}
\end{figure}

Comme $\mbox{sinc} ((\epsilon' - \epsilon)t)$ peut \^{e}tre consid\'{e}r\'{e} constant sur ces deux bandes \'{e}l\'{e}mentaires, on obtient : 
$$ C(t) = \int_0^1 \mbox{sinc} (lt) dS(l) $$

Il s'agit donc de d\'{e}terminer $S(l)$.

\medskip

Une premi\`{e}re approche consiste \`{a} calculer directement la surface du tapis de Cantor comprise entre les deux droites $\epsilon =  \epsilon' +l$ et $\epsilon =  \epsilon' - l$, puis de prendre la diff\'{e}rentielle de cette fonction. On proc\`{e}de en calculant la surface des carr\'{e}s compris entre ces deux droites \`{a} l'\'{e}tape $n$ de la construction du tapis de Cantor, puis l'on fait tendre $n$ vers l'infini. Ce calcul, assez laborieux et que nous ne d\'{e}taillerons pas, permet d'aboutir \`{a} une expression qui, quoique non exploitable pour le calcul de $C(t)$, est int\'{e}ressante car elle renseigne sur le comportement de $S(l)$ et permet de tracer le graphe de la fonction. 

Exprimons $l \in [0,1]$ en base trois, avec d\'{e}g\'{e}n\'{e}rescence : 
$l = \frac{1}{3^{N_{0}}}\left(1 + \sum_{i\in\{1,2,...\}}\frac{1}{3^{N_{i}}}\right)$, avec possiblement $N_{i} = N_{j}$ pour $i\not=j$. Alors :

$$ S(l) = \frac{1}{2^{N_{0}}}\left[1+ \frac{1}{2}\prod_{i = 1}^{k-1}\frac{1}{2^{2N_{i}}}  \times \left(\frac{1}{2^{N_{k}}} \mbox{si k pair, }\frac{1}{2^{2N_{k}}}\mbox{si k impair}\right) \right]$$
%\left\{\begin{array}{ll} 
%\frac{1}{2^{N_{k}}}& \mbox{, k pair}\\
%\frac{1}{2^{2N_{k}}}&\mbox{, k impair}
%\end{array}
%\right\.
%\right\]$$

Le graphe de cette fonction est donn\'{e}e fig. On v\'{e}rifie facilement que : $S(3^{n}l)=2^{n}S(l)$ pour tout $n \in \mathbb{Z}$. De plus, une \'{e}tude num\'{e}rique sugg\`{e}re que $S(l) = l^{\ln(2)/\ln(3)}g\left(\frac{\ln(x)}{\ln(3)}\right)$ avec $g$ p\'{e}riodique.

\begin{figure}
\centering
\includegraphics[scale=0.5]{c_mu_l.png}
\caption{Courbe bleue : graphe de la fonction $S(l)$, surface du tapis de Cantor situ\'{e} entre les deux bandes rouges de la figure 6.2. Courbe verte : graphe de $l \rightarrow l^{\ln(2)/\ln(3)} $. Les points de rencontre des deux courbes sont espac\'{e}s de fa\c{c}on log-p\'{e}riodique.}
\end{figure}

\medskip

Une autre m\'{e}thode pour obtenir $S(l)$ utilise les transform\'{e}es de Mellin (cf. annexe 7.1).

\medskip

Posons : $\zeta(\alpha) = \int_0^1 l^{-\alpha}dS(l,\mu)$. Il s'agit de la transform\'{e}e de Mellin de $dS(l)$ au point $1-\alpha$ : $M_{dS}(s) = \int_{0}^{1} l^{s-1}dS(l,\mu)$.  Il est usuel, dans les probl\`{e}mes 1D de calcul de produit de convolution avec des ondelettes, d'introduire la fonction $\zeta$ associ\'{e}e \`{a} la mesure $\nu$ du probl\`{e}me : 
$\zeta(s) = \int \frac{d\nu(x)}{x^{s}}$ ; nous transposons ici cette m\'{e}thode au cas 2D. 
\begin{eqnarray*}
\lefteqn{\zeta(\alpha) = \int_0^1 l^{-\alpha}dS(l,\mu)}\\
&=& \iint_{K\times K} \frac{d\mu(x)d\mu(y)}{|x-y|^{\alpha}} \\
&=& \frac{1}{2}\iint_{K\times K} \frac{d\mu(x)d\mu(y)}{3^{-\alpha}|x-y|^{\alpha}} + \iint_{K\times K} \frac{d\mu(x)d\mu(y)}{3^{-\alpha}|x-y+2|^{\alpha}} \\
&=& \frac{3^{\alpha}}{2}\zeta(\alpha) + \epsilon(\alpha)
\end{eqnarray*}

d'o\`{u} $$\zeta(\alpha) = \frac{\epsilon(\alpha)}{1-\frac{3^{\alpha}}{2}}$$

La transform\'{e}e de Mellin inverse permet alors d'obtenir $dS(l)$ :
\begin{eqnarray*}
\lefteqn{dS(l,\mu) = \frac{1}{2i\pi}\int_{\gamma -i\infty}^{\gamma +i\infty} M_{dS}(\alpha)l^{-\alpha}d\alpha}\\
&=&\frac{1}{2i\pi}\int_{\gamma -i\infty}^{\gamma +i\infty} \zeta(1-\alpha)l^{-\alpha}d\alpha\\
&=& \sum_{n} \left[\frac{\alpha - (1-\alpha_{n})}{1-\frac{3^{1-\alpha}}{2}}l^{-\alpha}\epsilon(\alpha)\right]_{\alpha=\alpha_{n}}
\end{eqnarray*}

avec $1-\alpha_{n} = \frac{\ln(2)}{\ln(3)}$ , $d=\frac{\ln(2)}{\ln(3)}$.

Finalement : $dS(l,\mu) = \frac{l^{d-1}}{\ln(3)}\sum_{n}l^{\frac{2i\pi n}{\ln(3)}}\epsilon\left(d+\frac{2i\pi n}{\ln(3)}\right)=\frac{l^{d-1}}{\ln(3)}\sum_{n}l^{\frac{2i\pi n}{\ln(3)}}\epsilon_{n}$.
D'o\`{u}, en intégrant et en faisant l'approximation : 
$$\int_0^{\infty} u^{d+\frac{2i\pi n}{\ln(3)}-1}\mbox{sinc} (u)du \approx \int_0^{\infty} u^{d+\frac{2i\pi n}{\ln(3)}-1}\mbox{sinc} (u)du $$
et avec
$$\int_0^{\infty} u^{d+\frac{2i\pi n}{\ln(3)}-1}\mbox{sinc} (u)du = \sin\left(\frac{\pi}{2}(d+\frac{2i\pi n}{\ln(3)}-1)\right)\Gamma\left(d+\frac{2i\pi n}{\ln(3)}-1\right)$$
 
avec $\Gamma$ la fonction gamma de Euler, on obtient :
\begin{eqnarray*}
\lefteqn{C(t) = \int_0^1 \mbox{\mbox{sinc} } (lt) dS(l,\mu)}\\
&=& \frac{1}{\ln(3)}\sum_{n}\epsilon_{n}t^{-\frac{2i\pi n}{\ln(3)}}\sin\left(\frac{\pi}{2}(d_{n}-1)\right)\Gamma(d_{n}-1)
\end{eqnarray*}

%\subsection{Comportement asymptotique des coefficients}
\subsubsection{Comportement asymptotique des coefficients}

On démontre ici la relation :
$$|\epsilon_{n}\sin\left(\frac{\pi}{2}(d+\frac{2i\pi n}{\ln(3)}-1)\right)\Gamma(d+\frac{2i\pi n}{\ln(3)}-1)| = O\left(\frac{1}{n^{3/2-d}}\right)$$ 
avec $d=\frac{\ln{2}}{\ln{3}}$ et on donne des arguments pour justifier (bien que cela ne soit pas rigoureusement d\'{e}montr\'{e}) que 
$$|\epsilon_{n}\sin\left(\frac{\pi}{2}(d+\frac{2i\pi n}{\ln(3)}-1)\right)\Gamma(d+\frac{2i\pi n}{\ln(3)}-1)| \overbrace{=}^{?} O\left(\frac{1}{n^{5/2-d}}\right)$$

Commen\c{c}ons par $|\sin(\frac{\pi}{2}\left(d+\frac{2i\pi n}{\ln(3)}-1)\right)\Gamma(d+\frac{2i\pi n}{\ln(3)}-1)|$ :

lorsque $n\rightarrow \infty$, on a le comportement asymptotique suivant pour $|\Gamma(d+\frac{2i\pi n}{\ln(3)}-1)|$ [12] :
$$\lim_{n \to \infty} |\Gamma(d+\frac{2i\pi n}{ln(3)}-1)| = \sqrt(2\pi)e^{-(d-1)}e^{-\frac{2\pi^{2} n}{2ln(3)}}\left(\frac{2\pi n}{ln(3)}\right)^{d-\frac{3}{2}}$$
Comme de plus : $|\sin(\frac{\pi}{2}(d+\frac{2i\pi n}{ln(3)}-1))| \sim e^{\frac{2\pi^{2} n}{2ln(3)}}e^{1-d}/2$ quand $n$ tend vers l'infini, on obtient finalement :
$$|\sin(\frac{\pi}{2}(d+\frac{2i\pi n}{ln(3)}-1))\Gamma(d+\frac{2i\pi n}{ln(3)}-1)| = O\left(\frac{1}{n^{3/2-d}}\right)$$

Int\'{e}ressons-nous maintenant \`{a} $\epsilon_{n}$.

Par définition : 
$$ \epsilon_{n} = \iint_{K \times K} \frac{d\mu(x)d\mu(y)}{|2-x+y|^{d_{n}}} = \lim_{k \to \infty}\left(\frac{3}{2}\right)^{2k}\sum_{(a_{j_{k}},a_{j'{k}})\in P_{k}\times P_{k}}\int_{a_{j_{k}}}^{a_{j_{k}}+3^{-k}}{\int_{a_{j_{k}'}}^{a_{j_{k}'}+3^{-k}}\frac{dxdy}{|2-x+y|^{d_{n}}}}$$
avec $d_{n} = \frac{\ln{2}}{\ln{3}}+\frac{2i\pi n}{\ln{3}}$ et $P_{k}=\{a_{j_{k}}\}$ l'ensemble des extr\'{e}mit\'{e}s gauches des segments pr\'{e}sents \`{a} l'\'{e}tape $k$ de la construction de l'ensemble de Cantor triadique. Comme l'ensemble de Cantor est inclus dans le segment $[0,1]$, et que l'on a pour tout $x,y$ $[0,1]$ l'in\'{e}galit\'{e} : $2 \rangle x-y$, on peux supprimer les valeurs absolues dans les int\'{e}grales.

On voit imm\'{e}diatement que $|\epsilon_{n}|$ est born\'{e}e : pour tout $x,y \in[0,1]$, on a $1<2-x+y<3$ donc $|\frac{1}{|2-x+y|^{d_{n}}}| = \frac{1}{|2-x+y|^{d}} < 1$. Donc : 
$$|\epsilon_{n}| < \iint_{K \times K} \frac{d\mu(x)d\mu(y)}{|(2-x+y)^{d_{n}}|} < \iint_{K \times K} d\mu(x)d\mu(y)=1$$

\medskip

Il semble cependant que l'on puisse am\'{e}liorer ce comportement asymptotique en $|\epsilon_{n}|=O\left(\frac{1}{n}\right)$. 

\medskip

L'id\'{e}e est d'int\'{e}grer par partie, en int\'{e}grant le terme oscillant (inspir\'{e} du th\'{e}or\`{e}me de Riemann-Lebesgue \footnote{Th\'{e}or\`{e}me de Riemann-Lebesgue : soit $f$ une fonction int\'{e}grable sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$, \`{a} valeurs dans $\mathbb{C}$ ou $\mathbb{R}$ ; alors : 
$$ \int_{I} f(x)e^{-isx}dx \rightarrow 0 \mbox{  quand $s$ tend vers $\pm\infty$}$$})

Effectuons le changement de variable $t=\ln(2-x+y)$, $y=e^{t} -2+x$ ; alors :
$$\int_{a_{j_{k}}}^{a_{j_{k}}+3^{-k}}{\int_{a_{j_{k}'}}^{a_{j_{k}'}+3^{-k}}\frac{dxdy}{|2-x+y|^{d_{n}}}}=\int_{a_{j_{k}}}^{a_{j_{k}}+3^{-k}}dx{\int_{\ln(2-x+a_{j'_{k}})}^{\ln(2-x+a_{j'_{k}}+3^{-k})}e^{-td_{n}}e^{t}dt}$$
Int\'{e}grons par parties :
%\begin{eqnarray*}
% \begin{aligned}
%\int_{\ln(2-x+a_{j'_{k}})}^{\ln(2-x+a_{j'_{k}}+3^{-k})}e^{-t2i\pi n/\ln(3)}e^{t-\ln(2)/\ln(3)}dt &=&\\ \left[\frac{e^{-t2i\pi n/\ln(3)}}{-2i\pi n/\ln(3)}e^{t(1-\ln(2)/\ln(3))}\right]_{\ln(2-x+a_{j'_{k}})}^{\ln(2-x+a_{j'_{k}}+3^{-k})}
%+\frac{1-\ln(2)/\ln(3)}{2i\pi n/\ln(3)}\int_{\ln(2-x+a_{j'_{k}})}^{\ln(2-x+a_{j'_{k}}+3^{-k})}e^{-td_{n}}e^{t}dt
%\end{aligned}
%\end{eqnarray*}
\begin{flalign*}
    &\int_{\ln(2-x+a_{j'_{k}})}^{\ln(2-x+a_{j'_{k}}+3^{-k})}e^{-t2i\pi n/\ln(3)}e^{t-\ln(2)/\ln(3)}dt =& \\
    &\left[\frac{e^{-t2i\pi n/\ln(3)}}{-2i\pi n/\ln(3)}e^{t(1-\ln(2)/\ln(3))}\right]_{\ln(2-x+a_{j'_{k}})}^{\ln(2-x+a_{j'_{k}}+3^{-k})} %&\\ 
    +\frac{1-\ln(2)/\ln(3)}{2i\pi n/\ln(3)}\int_{\ln(2-x+a_{j'_{k}})}^{\ln(2-x+a_{j'_{k}}+3^{-k})}e^{-td_{n}}e^{t}dt&\\
    &= \frac{1}{-2i\pi n/\ln(3)}\left[(2-x+a_{j'_{k}}+3^{-k})^{1-d_{n}} - (2-x+a_{j'_{k}})^{1-d_{n}}\right]+\frac{1-d}{2i\pi n/\ln(3)}\int_{\ln(2-x+a_{j'_{k}})}^{\ln(2-x+a_{j'_{k}}+3^{-k})}e^{-td_{n}}e^{t}dt&\\ 
\end{flalign*}

Comme : $|e^{(1-d_{n})t} = e^{(d-1)t}| < 3^{d-1}$ pour tout $t$ ($t=\ln(2-x+y)$ avec $x,y \in[0,1]$ donc $t\in[0,\ln{3}]$), on a : 
$$\left\|\int_{\ln(2-x+a_{j'_{k}})}^{\ln(2-x+a_{j'_{k}}+3^{-k})}e^{(1-d_{n})t}dt\right\| < \int_{\ln(2-x+a_{j'_{k}})}^{\ln(2-x+a_{j'_{k}}+3^{-k})}3^{1-d}dt $$
puis : 
$$\int_{\ln(2-x+a_{j'_{k}})}^{\ln(2-x+a_{j'_{k}}+3^{-k})}3^{1-d}dt \approx 3^{1-d}\frac{3^{-k}}{2-x+a_{j'_{k}}} < 3^{1-d}3^{-k}$$

Avec l'approximation suppl\'{e}mentaire : $\int_{a_{j_{k}}}^{a_{j_{k}}+3^{-k}}(2-x+a_{j'_{k}})^{1-d_{n}}dx\approx 3^{-k}(2-a_{j_{k}}+a_{j'_{k}})^{1-d_{n}}$, il vient :
\begin{flalign*}
	&\int_{a_{j_{k}}}^{a_{j_{k}}+3^{-k}}{\int_{a_{j_{k}'}}^{a_{j_{k}'}+3^{-k}}\frac{dxdy}{|2-x+y|^{d_{n}}}}&\\
	&\approx 3^{-k}\frac{1}{-2i\pi n/\ln(3)}[(2-a_{j_{k}}+a_{j'_{k}}+3^{-k})^{1-d_{n}}-(2-a_{j_{k}}+a_{j'_{k}})^{1-d_{n}}]
	+ \frac{(1-d)\ln{3}}{2i\pi n} 3^{1-d} 3^{-2k}&\\
\end{flalign*}

Puis, tenant compte du fait que $\mbox{Card}P_{k}=2^{k}$, et donc que $\sum_{\frac{1}{2^{k}}P_{k}\times P_{k}}O\left(\frac{1}{n}\right)=O\left(\frac{1}{n}\right)$, il vient :
\begin{flalign*}
	&\epsilon_{n} \approx \lim_{k \to \infty}\left(\frac{3}{2}\right)^{2k}\sum_{P_{k}\times P_{k}}3^{-k}\frac{1}{-2i\pi n/\ln(3)}[(2-a_{j_{k}}+a_{j'_{k}}+3^{-k})^{1-d_{n}}-(2-a_{j_{k}}+a_{j'_{k}})^{1-d_{n}}]&\\
	&+ \lim_{k \to \infty}\left(\frac{3}{2}\right)^{2k}\sum_{P_{k}\times P_{k}}3^{-k}\frac{(1-d)\ln{3}}{2i\pi n} 3^{1-d} 3^{-2k}&\\
	&\approx \lim_{k \to \infty}\left(\frac{3}{2}\right)^{2k}\sum_{P_{k}\times P_{k}}3^{-k}\frac{1}{-2i\pi n/\ln(3)}[(2-a_{j_{k}}+a_{j'_{k}}+3^{-k})^{1-d_{n}}-(2-a_{j_{k}}+a_{j'_{k}})^{1-d_{n}}] + O\left(\frac{1}{n}\right) &\\
\end{flalign*}

Il reste \`{a} prouver que, pour tout $n$, $\left(\frac{3}{2}\right)^{2k}\sum_{P_{k}\times P_{k}}3^{-k}[(2-a_{j_{k}}+a_{j'_{k}}+3^{-k})^{1-d_{n}}-(2-a_{j_{k}}+a_{j'_{k}})^{1-d_{n}}]$ converge lorsque $k\rightarrow\infty$, et que la limite est born\'{e}e par une quantit\'{e} ind\'{e}pendante de $n$. Cela semble raisonnable, mais je n'ai pas encore de preuve rigoureuse.

\medskip

Une autre piste \`{a} explorer est la suivante : en utilisant l'identit\'{e} 
$$\frac{1}{\lambda^{s}} = \frac{1}{\Gamma{s}}\int_0^{\infty}t^{s-1}e^{-\lambda t}dt$$
on peut r\'{e}\'{e}crire $\epsilon_{n}$ sous la forme :
$$\epsilon_{n} = \frac{1}{\Gamma(d_{n})}\int_0^{\infty}\left(\iint_{K \times K}e^{(x-y)t}d\mu(x)d\mu(y)\right)e^{-2t}t^{d_{n}-1}dt$$
On pourrait alors appliquer une m\'{e}thode type m\'{e}thode de Laplace.
%\section{D\'{e}tail du calcul du rapport de participation}

%On donne ici le d\'{e}tail du calcul du rapport de participation, et \'{e}tablissons le lien entre la fonction de Green non diagonale et la densit\'{e} d'\'{e}tat locale [13].

\newpage

%\chapter{Bibliographie}
\section{Bibliographie}

[1] Tanese, E. Gurevich, A. Lemaıtre, E. Galopin, I. Sagnes, A. Amo, J. Bloch, E. Akkermans, arxiv:1311.3453, 2013 

\medskip

[2] For a recent review, E. Akkermans, Contemporary Math-
ematics 601, 1-22 (2013), arXiv:1210.6763.

\medskip

[3] C. Janot, "Quasicristals, a primer", Carendon press Oxford, 1994

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[4] A. Suto, J. Star. Phys. 56:525 (1989). ; For a review, D. Damanik and A. Gorodetski, Commun. Math. Phys.
305, 221 (2011) 

\medskip

[5] J. Feder, "Fractals", Plenum Press - New York and London, 1988

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[6] E. Akkermans, O. Benichou, G. Dunne, A. Teplyaev and
R. Voituriez, Phys. Rev. E 86, 061125 (2012).

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[7] J. Bellissard, A. Bovier and J.M. Ghez, Reviews in Math.
Physics, Vol. 4, No. 1, 1-37 (1992)

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[8] F. Wegner, Z. Physik B 36, 209-214 (1980) 

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[9] M. T. Barlow and E. A. Perkins, Prob. Theor. Rel. Fields 79, 543
(1988); M. T. Barlow, Lect. Notes Math. 1690, 1 (1998).

\medskip

[10] E. Akkermans, O. Benichou, G. V. Dunne,3 A. Teplyaev, and R. Voituriez, 
"Spatial log-periodic oscillations of first-passage observables in fractals", PHYSICAL REVIEW E 86, 061125 (2012)

\medskip

[11]E. Akkermans, E. Gurevich "Spontaneous emission from a fractal vacuum",EPL, 103 (2013) 30009

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[12]A. A. Kilbas, M. Saigo, "A remark on asymptotics of the gamma function at infinity" in \textit{Study on Applications for Fractional Calculus Operators in Univalent Function Theory}, RIMS Kokyuroku, 1363 . pp. 33-36

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[13] E. Akkermans, G. Montambaux, \textit{Mesoscopic Physics of Electrons and Photons}, (Cambridge University Press, 2007)

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[14] T. Nakayama, K. Yakubo, "Fractal concepts in condensed matter physics", Springer Science \& Business Media, 11 juil. 2003 

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[15] Hopfield, J. J., 1958, Phys. Rev. 112, 1555.

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[16] I. Carusotto, C. Ciuti, Reviews of modern physics, vol. 85, January-March 2013

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[17] for a review, E. Macia Barber, "Aperiodic Structures in Condensed Matter - Fundamentals and Applications", CRC Press, 2009

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[18] C. Cohen-Tannoudji, J. Dupont-Roc, G. Grynberg, "Atom-photons interactions - Basic processes and applications", WILEY-VCI-IVerlag GmhH \& Co, 2004

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[19] F. V. Atkinson, "Discrete and continuous boundary problems" in \textit{Mathematics in science and engineering}, vol. 8 (New York/London Academic Press, 1964)

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[20] L. G. Rogers, \textit{Estimates for the resolvent kernel of the Laplacian on P.C.F. self similar fractals and blowups} ; M. Ionescu, E. P. J. Pearse, L. G. Rogers, H.-J. Ruan, R. S. Strichartz, "The resolvent kernel for PCF self similar fractals" Trans. Amer. Math. Soc. 362 (2010), 4451-4479  

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[21] Halmos, Paul R., "Measure Theory", Graduate Texts in Mathematics 18, New York, Heidelberg, Berlin: Springer-(1974) 

\end{document}
