Figure 1 –

Dynamique quantique dans le cas d’un spectre fractal

Ariane SORET

encadrée par Eric AKKERMAN et Evgeni GUREVICH 18 août 2014

2

Table des matières

1 Introduction 5

2 Préliminaires mathématiques 7 2.1 Définition des fractales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.2 Ensemble de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.3 Dimension fractale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.4 Propriétés d’échelle et oscillations log-périodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 Exemple expérimental : potentiel de Fibonacci 9 3.1 Présentation de l’expérience . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3.2 Etude théorique - Résultats expérimentaux et numériques . . . . . . . . . . . . . . 9

4 Etude théorique dans le cas où le spectre est un ensemble de Cantor 13 4.1 Définition d’une mesure appropriée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 4.2 Densité d’états intégrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 4.3 Fonction de corrélation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4.3.1 Expression analytique de C(t) dans le cas où le spectre est un ensemble de

Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4.4 Rapport de participation (participation ratio) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4.4.1 Majoration de ∫ ϕ(x, ϵ)^{∗}ϕ(x′, ϵ)dμ(ϵ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4.4.2 Supposer \overline{ϕ(0, ϵ)^{∗}ϕ(x, ϵ)} = f ( \frac{x}{l_{n}} ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4.5 Emission spontannée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

5 Bilan et perspectives 21 5.0.1 Emission spontann’ee et superradiance dans un potentiel fractal . . . . . . 21

6 Annexes 23 6.1 Log-périodicité des fonctions vérifiant f(x) = \frac{1}{b}f(ax) + g(x) . . . . . . . . . . . . . 23 6.2 Calcul de la fonction de corrélation dans la cas où le spectre est un ensemble de

Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 6.2.1 Comportement asymptotique des coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

7 Bibliographie 29 4 TABLE DES MATIÈRES

Chapitre 1

Introduction

La dynamique et les propriétés de transport de systèmes quantiques dépendent de leur profil spectral. Or, un potentiel variant spatialement induit une modification de la densité d’états des modes propres du système. Selon la géométrie du potentiel, on peut obtenir un ensemble très riche de distributions spectrales, regroupées en trois catégories : spectre continu, discret ou continu singulier. Le cas des spectres continus et discrets sont plutôt bien connus (le cas du spectre d’un potentiel périodique, par exemple, est bien décrit par le théorème de Bloch). Le cas singulier continu, dont les fractales font partie, est un profil qui apparaît pour une large gamme de potentiels et constitue le cas générique, mais est beaucoup moins bien compris, quoique faisant l’objet de nombreux travaux, tant dans le domaine des mathématiques que de la physique [1],[2] (l’intérêt pour ce type de spectre est apparu notamment avec la découverte des quasi cristaux, structures quasi-périodiques associées à un spectre singulier continu [3]).

L’objet de mon stage est d’étudier la dynamique d’un système quantique dans le cas d’un spectre singulier continu fractal.

Un ensemble particulièrement intéressant et largement étudié de potentiels quasipériodiques dont le spectre est fractal sont les potentiels construits à partir d’une suite de Fibonacci [4]. Dans ce cas, il a été démontré qu’il est de type ensemble de Cantor [1], c’est-à-dire fractal.

Le point de départ de mon stage furent les expériences réalisées dans le Laboratoire de Photonique et de Nanostructures (France) en partenariat avec mon équipe de recherche d’accueil au Technion et l’étude numérique effectuée au Technion, sur la dynamique d’un paquet d’onde construit à partir des modes des polaritons confinés dans une cavité type Fibonacci ; le spectre des polaritons étant fractal, il possède une invariance d’échelle, ce qui devrait avoir un impact sur les propriétés physiques du système. Plus précisément, les manips visaient à démontrer l’existence d’oscillations log-périodiques pour certaines quantités spectrales et dynamiques, signature de la structure fractale du spectre ; pour la première fois, ce comportement particulier a été mis en évidence [4].

L’objectif de mon stage est de travailler sur la dynamique d’un système quantique dans le cas particulier où le spectre est un ensemble de Cantor (un cas particulier de fractale). Il s’agit de comprendre comment la structure fractale du spectre se répercute sur la dynamique du système, de déterminer quelles quantités physiques mesurables portent la trace de cette structure fractale et d’établir l’expression analytique des quantités pertinentes. Cette étude vient conforter les observations faites grâce aux expériences du LPN, et devrait donner de nouvelles pistes pour les expériences.

Après le rappel de quelques propriétés générales utiles sur les fractales et la présentation de l’expérience du LPN, je me concentrerai sur l’étude analytique et numérique dans le cas où le spectre est un ensemble de Cantor. Je tâcherai finalement de présenter les nouvelles perspectives de recherche au terme de ce travail.

6 CHAPITRE 1. INTRODUCTION

Préliminaires mathématiques

2.1 Définition des fractales

Il est assez difficile de définir précisément de qu’est une fractale. Le terme "fractal" (du latin brisé) a été introduit par Mandelbrot pour définir les objets tellement irréguliers qu’ils sortent du cadre de la géométrie classique ; selon sa formulation^{1} : "une fractale est une forme composée de parties similaires au tout d’une façon ou d’une autre". Dans ce rapport, nous nous intéresserons aux fractales vérifiant une propriété d’échelle : si l’on "zoom" sur une zone particuliè re, on retrouve, dans les mêmes proportions la figure de départ. On considérera de plus que les fractales sont plongées dans un espace euclidien.

Illustrons cette définition par un exemple : le "triangle de Sierpinski". Partant d’un triangle equilatéral plein, on joint deux à deux les milieux des côtés et l’on supprime le petit triangle central ainsi formé. En itérant ce processus dans chacun des trois triangles pleins restant, on obtient à la limite un objet vérifiant une propriété d’échelle : si l’on zoom sur l’un des triangles pleins, on observe la même structure (fig. 1).

2.2 Ensemble de Cantor

Un autre exemple classique de fractale est l’ensemble de Cantor triadique, sur lequel j’ai principalement travaillé (le lien avec la physique apparaîtra plus clairement ultérieurement).

Un ensemble de Cantor triadique se construit itérativement (fig. 2) : partant d’un segment [0, 1], on le divise en trois segments égaux et l’on retire la partie centrale. On itère cette opération sur les deux segments restants, et ainsi de suite. Après une infinité d’itérations, il reste un ensemble (de mesure nulle au sens de Lebesgue) composé de points isolés.

2.3 Dimension fractale

Afin de caractériser une fractale, l’une des premiès choses que l’on souhaite déterminer est sa dimension. Une méthode pour calculer les dimensions fractales [5] est résumée en annexe.

Intuitivement, la dimension d’un espace ou d’un objet géométrique peut s’interpréter comme le nombre réel (positif) d tel qu’un volume élémentaire v soit de la forme : v = l^{d}, où l est une longueur au sens euclidien.

Pour des structures fractales, la dimension n’est en général pas entière ; ceci a des conséquences profonde sur les propriétés physiques de systèmes présentant des structures fractales [6].

Figure 2.1 – Triangle de Sierpinski. Source : http ://commons.wikimedia.org Figure 2.2 – Construction d’un ensemble de Cantor triadique. Source : accromath.uqam.ca

1. Mandelbrot, correspondance, 1987

La dimension d’un ensemble de Cantor triadique, qui nous intéresse particulièrement, vaut d = \frac{ln(2)}{ln(3)} .

2.4 Propriétés d’échelle et oscillations log-périodiques

Ce paragraphe purement mathématique présente une méthode de calcul qui serq abondamment utilisée par la suite, pour démontrer la log-périodicité de diverses fonctions.

Les fractales auto-similaires, que l’on étudie ici, possèdent une invariance d’échelle, c’est-à-dire qu’en zoomant avec un certain facteur sur une partie de l’ensemble, on retrouve la même forme que le tout, dans les mêmes proportions.

Mathématiquement, une fonction f ayant une telle propriété d’échelle vérifie une relation de la forme :

f(x) = \frac{1}{b}f(ax)

pour un certain couple de réels (a, b), b ≠ 0. On vérifie facilement que cela implique que f soit de la forme :

f(x) = x^{ln(b)/ ln(a)} g ( \frac{ln(x)}{ln(a)})

avec g une fonction 1-périodique : g(x + 1) = g(x). En effet :

- si b = 1, on définit une fonction h telle que : h(x) = f(e^{x ln(a)} (changement de variable), et l’on vérifie que :

h(x + 1) = f(e^{(x+1) ln(a)} ) = f(e^{x}a) = f(e^{x}) = h(x)

f est donc bien de la forme : f(x) = h ( \frac{ln x}{ln a} ) avec h 1-périodique.

- si b ≠ 1, on se ramène au cas précédent en remarquant que k(x) = f(x)x^{− ln(b)/ ln(a)} vérifie k(ax) = k(x).

Il est également important de noter que les fonctions f vérifiant une relation du type :

f(x) = \frac{1}{b}f(ax) + g(x)

avec g ayant certaines propriétés (définies en annexe) est également de la forme :

f(x) = x^{ln(b)/ ln(a)} G ( \frac{lnx}{lna})

avec G 1-périodique.

La démonstration est un peu plus technique et fait appel aux transformées de Mellin ; elle est donnée en annexe.

Exemple expérimental : potentiel de Fibonacci

Le point de départ de mon stage fut les expériences réalisées par l’équipe de J. Bloch, au LPN (Laboratoire de Photonique et de Nanostructures, France) ; le détail du dispositif expérimental est fourni en annexe.

Le but de l’expérience est de réaliser et d’étudier un système physique présentant une structure fractale. A partir d’une cavité unidimensionnelle quasipériodique, décrite par une suite de Fibonacci, on étudie les modes d’un gaz de polaritons qui y sont confinés. Bien que de nombreuses expériences d’optique dans des cavit’es de Fibonacci aient déjà été réalisées dans le passé, la signature du spectre fractal au travers des oscillations log-périodiques de la densité d’états intégrée n’avait jusque là pas été observée.

3.1 Présentation de l’expérience

Un gaz de polaritons (quasiparticules issues du couplage fort entre un mode optique d’une cavité optique et une paire électron-trou, appelée exciton) est confiné dans une cavité longitudinale dont la largeur varie de façon quasipériodique, suivant une suite de Fibonacci (fig. 3.1). On peut considérer que la cavité est composée d’une série de blocs élémentaires ou "lettres" d’égales longueurs, mais de deux profondeurs différentes, A et B. Les lettres sont ordonnées suivant une suite de Fibonacci, grâce à la relation de récurrence suivante : S_{j⟩2} = [S_{j−1} S_{j−2} ] et S_{1} = B, S_{2} = A. A la limite, la séquence S_{∞} est quasipériodique. Le mouvement longitudinal des polaritons est ainsi modulé par un potentiel V (x) quasipériodique.

Expérimentalement, on fabrique une cavité finie selon une séquence S_{n}, mais les résultats expérimentaux sont en accord avec les simulations numériques issues de modèles théoriques pour un spectre fractal.

Figure 3.1 – (a) Image de trois cavités modulées selon une suite de Fibonacci. (b) Zoom sur une cavité, montrant la forme des lettres A et B. (c) Représentation schématique du potentiel correspondant à la forme de la cavité, modulée latéralement. Source : [4] Figure 3.2 – (a) Mesure de l’intensité totale émise (intégrale angulaire)I(ϵ′) de la cavité quasipériodique ; (b) Intégrale spectrale de l’intensité ∫_{E_{0}}^{ϵ} I(ϵ′)dϵ′ (E_{0} énergie minimale) ; Calcul de la densité d’états normalisée (DOS) (c) et de l’intégrale de la densité d’états (IDOS) (d) ; (e) Oscillations log-périodiques de l’IDOS au voisinnage de E_{0} : échelle log-log, courbe numérique (rouge) et expérimentale (bleue) (normalisée à E_{R} = \frac{ℏ^{2} π^{2}}{8a^{2} m_{p}} , m_{p} la masse du polariton. Source : [4]

3.2 Etude théorique - Résultats expérimentaux et numériques

Le Hamiltonien décrivant le systéme est de la forme : H = H_{0} + V (x) avec H_{0} = −\frac{ℏ^{2}}{2m_{ph}} Δ et m_{ph} la masse effective du photon.

Le spectre en énergie associé au potentiel quasi-périodique V (x) est singulier-continu et présente une structure de type Cantor [1].

Par ailleurs, le théorème de gap-labelling [7] permet de caractériser la densité des gaps et de prédire la valeur de l’intégrale de la densité d’états aux énergies de gap.

Ecrivons le potentiel quasipériodique V (x) sous la forme :

V (x) = ∑_{n} χ(nσ^{−1} )u_{b}(x − an)

où u_{b}(x) décrit la forme de la lettre B et χ, définie sur [0, 1] et prolongé par périodicité, décrit l’ordre quasipériodique. σ = \frac{1+\sqrt{5}}{2} est le nombre d’or.

La transformée de Fourier de V (x) donne les pics de Bragg :

Ṽ(k) = ũ_{b}(k) ∑_{p,q} χ_{q}δ(ka − 2π(p + qσ^{−1} ))

Comme σ est irrationnel, chaque pic peut être associé de façon biunivoque à un couple d’entiers [p, q] de telle sorte que le nombre d’onde correspondant soit k = Q_{p,q} = \frac{2π}{a} (p + qσ^{−1} ). Chaque pic de Bragg correspond à un gap dans le spectre (cf. annexe). De plus, on peut montrer [4] que Q_{p,q} \frac{a}{2π} = p + qσ^{−1} mod 1 est la proportion de modes propres non perturbés dont l’énergie est inférieure à E_{p,q} ; on obtient ainsi la relation suivante pour l’IDOS dans le gap [p, q] :

N(ϵ) = E_{Q_{p,q} /2} = p + qσ^{−1} mod 1

Le spectre en énergie, complémentaire de l’ensemble des gaps, est singulier-continu, car il existe une infinitéde couples (p, q) tels que p + qσ^{−1} mod 1 ∈ [0, 1]. Ces résultats, établis pour une cavité infinie, se véfient expérimentalement bien pour une cavité finie.

Les résultats expérimentaux et numériques obtenus mettent en évidence l’existence d’oscillations log-périodiques pour la densité d’états intégrée, pour la fonction de corrélation, ainsi que pour le rapport de participation.

Les courbes présentées ont été obtnues pour une cavité de 233 lettres.

La figure (3.2) présente le graphe de la densité d’états intégrée. On note que la pédiction théorique de la valeur de N(ϵ) aux différents gaps s’accorde bien avec l’expérience.

Etude théorique dans le cas où le spectre est un ensemble de Cantor

La principale partie de mon travail a été d’étudier analytiquement le cas d’un système dont le spectre en énergie est un ensemble de Cantor. Les résultats théoriques et expérimentaux déjà obtenus indiquent notamment que la présence d’un spectre fractal se manifeste au travers du comportement log-périodique de certaines quantités, telle la densité d’états intégrée. Il s’agit de comprendre l’origine de ce comportement particulier, de déterminer quelles sont les quantités physiques qui en portent la trace et de parvenir à une expression analytique de ces quantités.

Cette étude permettra ensuite de faire des simulations numériques et de concevoir de nouvelles expériences pour étayer la théorie.

Dans la suite, on supposera donc que l’on étudie un système caractérisé par une fonction d’onde |ψ(t)⟩ et régi par un Hamiltonien H, inconnu, dont nous supposons uniquement que le spectre est un ensemble de Cantor. L’évolution temporelle du paquet d’onde, dont l’état initial est |ψ(t = 0)⟩ = |ψ_{0}⟩, est donnée par la relation :

|ψ(t)⟩ = e^{−iĤt} |ψ_{0}⟩

On utilisera également la décomposition spectrale de |ψ(t)⟩ sur les fonctions propres de H, {|ϕ(ϵ)⟩} (formant une base orthonormée) :

|ψ(t)⟩ = ∫_{C} g(ϵ)e^{−iϵt} |ϕ(ϵ)μ(ϵ)

où g(ϵ) est la projection de |ψ_{0}⟩ sur |ϕ(ϵ)⟩, et dμ(ϵ) est une mesure définie sur le spectre et prenant en compte la densité d’états.

4.1 Définition d’une mesure appropriée

La première difficulté est la définition d’une mesure adéquate pour caractériser le spectre. Un ensemble de Cantor est un ensemble de points isolés ; sa mesure au sens de Lebesgue est donc nulle. Toutefois, si l’on envisage un système dont le spectre est un ensemble de Cantor, la somme des énergies (avec dégénerescence) est non nulle, donc l’intégrale de la densité d’état sur le spectre doit être non nulle. On comprend cependant intuitivement que pour que l’intégrale de la densité d’état ρ(ϵ) sur un ensemble de mesure nulle (un ensemble de points ici) soit non nulle, cette densité d’état doit être infinie en les points du spectre. De fait, ρ n’est pas définie pour un ensemble de Cantor.

On suppose de plus ici que l’intégrale de la densité d’états sur le spectre est finie.

Afin de modéliser cette situation, j’ai défini une mesure dμ appropriée ; abusivement, dμ est une mesure qui vérifie la relation : dμ(ϵ) = ρ(ϵ)dϵ, c’est-à-dire que la densité d’état est contenue dans la définition de la mesure.

12CHAPITRE 4. ETUDE THÉORIQUE DANS LE CAS OÙ LE SPECTRE EST UN ENSEMBLE DE CANTOR

Figure 4.1 – Calcul numérique de la densité d’étas intégrée dans le cas où le spectre est un ensemble de Cantor triadique.

Supposons pour simplifier que l’intégrale de dμ sur un Cantor C soit égale à 1 : ∫_{C} dμ = 1. On procède par itération : partant d’un segment [0, 1], on pose ρ = 1 partout ; l’intégrale sur le segment vaut bien 1. On divise ensuite le segment en trois, on retire la partie centrale, et l’on définit ρ égal à \frac{3}{2} sur [0, \frac{1}{3}] et [\frac{2}{3}, 1] et 0 sur [\frac{1}{3}, \frac{2}{3}] ; on a encore ∫_{0}^{1} ρ(x)dx = 1.

On peut ainsi définir dμ comme une limite : pour toute fonction f définie sur [0, 1], l’intégrale de f sur le Cantor C est :

∫_{C} f(x)dμ(x) = lim_{n→∞} ( \frac{3}{2}) ^{n} ∑_{P_{n}} ∫_{a_{j}}^{a_{j} +3^{−n}} f(x)dx

où P_{n} désigne l’ensemble des bords gauche des segments restant après n itérations dans la construction de l’ensemble de Cantor.

On démontre facilement (cf. annexe) que cette mesure vérifie la propriété d’échelle suivante :

∫_{C} f(x)dμ(x) = \frac{1}{2} ∫_{C} f ( \frac{x}{3}) dμ(x) + \frac{1}{2} ∫_{C} f ( \frac{x + 2}{3} ) dμ(x)

Cette définition de dμ a permi d’effectuer le calcul analytique de fonctions intéressantes pour l’étude de systèmes présentant une structure fractale.

4.2 Densité d’états intégrée

Afin de tester si cette mesure était appropriée, je l’ai appliquée pour calculer numériquement, avec Matlab, l’intégrale de la densité d’états : N(ϵ) = ∫_{spectre} θ(ϵ − ϵ′)dμ(ϵ′), où θ est la fonction de Heaviside. J’ai obtenu le graphe suivant (fig. 4).

On démontre aisément que N(ϵ) est log-périodique :

N(ϵ) = ∫_{spectre} θ(ϵ − ϵ′)dμ(ϵ′)
= \frac{1}{2} ∫_{spectre} θ ( ϵ − \frac{ϵ′}{3}) dμ(ϵ′) + \frac{1}{2} ∫_{spectre} θ ( ϵ − \frac{ϵ′+ 2}{3} ) dμ(ϵ′)
= \frac{1}{2}N ( \frac{ϵ}{3}) + g(ϵ)

D’apres les préliminaires mathématiques, ceci prouve que N(ϵ) = ϵ^{α} G(ln(ϵ) avec G un fonction périodique. Le graphe de la fonction est à rapprocher des graphes numériques et expérimentaux obtenus pour la cavité de Fibonacci ; les similarités observées semblent indiquer que cette mesure est pertinente.

4.3 Fonction de corrélation

La première des quantités auxquelles je me suis intéressée est la fonction de corrélation, ou probabilté de retour à l’origine, C(t).

Il est naturel d’étudier cette fonction dans le cadre de problèmes de dynamique quantique, au même titre par exemple que le rapport de participation (qui sera discuté dans la section suivante) ou que le déplacement moyen quadratique ^{2}(t)⟩^{1}. Par définition, C(t) est la moyenne temporelle Figure 4.2 – Fonction de corrélation du paquet d’onde ; résultats numériques pour un paquet d’onde initial gaussien : ψ(x, t = 0) ∼ e^{−2(x−x_{0} )^{2} /w_{0}^{2}} . Les différentes courbes correspondent à des valeurs de w_{0} différentes, x_{0} étant identique.

1. Cette dernière quantité ne semble néanmoins pas pertinente pour mettre en évidence la structure fractale, ainsi que les résultats numériques obtenus avec la cavité de Fibonacci (chap. 2) le suggèrent.

de la probabilité p(t) = |⟨ψ(0)|ψ(t)⟩|^{2} d’observer le paquet d’onde dans sa configuration initiale après un temps t :

C(t) = \frac{1}{t} ∫_{0}^{t} |⟨ψ(0)|ψ(t′)⟩|^{2}dt′

On pourrait directement étudier p(t) pour obtenir des informations sur l’évolution temporelle du paquet d’onde, cependant cette quantité présente en général des oscillations rapides (presque périodiques) qui cacheraient les effets dus au spectre fractal, que l’on souhaite observer. Sa moyenne temporelle donne, en revanche, des résiltats intéressant comme nous le verrons plus loin.

Les résultats numériques dans le cas de la cavité de Fibonacci semblent de plus indiquer que cette fonction est de la forme : C(t) = t^{−d_{c}} g(ln(t/τ)), où g est périodique, τ une échelle de temps caractéristique et d_{c} est un réel positif. La figure ( ? ?) présente les résultats numériques obtenus pour une cavité de 233 lettres.

4.3.1 Expression analytique de C(t) dans le cas où le spectre est un ensemble de Cantor

Avec les notations introduites au début du paragraphe, on exprime |ψ(t)⟩ dans une base orthonormale d’états propres {|ϕ(ϵ)⟩} du Hamiltonien H :

|ψ(t)⟩ = ∫_{C} g(ϵ)e^{−iϵt} |ϕ(ϵ)μ(ϵ)

On suppose de plus ψ normalisée :

⟨ψ(t)|ψ(t)⟩ = ∫_{C×C} g(ϵ)^{∗}g(ϵ′)⟨ϕ(ϵ)|ϕ(ϵ′)^{i(ϵ−ϵ′)t} dμ(ϵ)dμ(ϵ′)
= ∫_{C} |g(ϵ)|^{2}dμ(ϵ)
= 1

On peut alors définir une nouvelle mesure dμ̃(ϵ) = |g(ϵ)|^{2}dμ(ϵ) ; pour simplifier, on considéra que cette mesure est celle définie à la section prédente.

Maintenant :

C(t) = \frac{1}{t} ∫_{0}^{t} |⟨ψ(0)|ψ(t′)⟩|^{2}dt′

= \frac{1}{t} ∫_{0}^{t} | ∫_{C} |g(ϵ|^{2}e^{−iϵt′} dμ(ϵ)|^{2}dt′
= \frac{1}{t} ∫_{0}^{t} ∫∫_{C×C} e^{i(ϵ′−ϵ)t′} dμ̃(ϵ)dμ̃(ϵ′)

= \frac{1}{t} ∫∫_{C×C} \frac{e^{i(ϵ′−ϵ)t} − 1}{i(ϵ′− ϵ)} dμ̃(ϵ)dμ̃(ϵ′)
= ∫∫_{C×C} sinc((ϵ′− ϵ)t)dμ̃(ϵ)dμ̃(ϵ′) + \underbrace{i ∫∫_{C×C} \frac{sin^{2}((ϵ′− ϵ)t/2)}{(ϵ′− ϵ)t}}_{nul par symétrie}

D’où finalement :

C(t) = ∫∫_{C×C} sinc((ϵ′− ϵ)t)dμ̃(ϵ)dμ̃(ϵ′)

Avec la définition de dμ et la propriété d’echelle ? ? ?, je suis parvenue à l’expression suivante (le détail du calcul est donné en annexe) :

C(t) = \frac{t^{−d}}{ln(3)} ∑_{n} ϵ_{n} exp−2iπn ln(t)/ ln(3) ∫_{0}^{t} u^{d+ \frac{2iπn}{ln (3)} −1} sinc(u)du  (4.1)

avec d = \frac{ln(2)}{ln(3)} et ϵ_{n} = ∫_{C×C} _{\frac{dμ(x)dμ(y)}{|x−y+2|^{d+ \frac{2iπn}{ln (3)}}}} .

L’intégrale ∫_{0}^{t} u^{d+ \frac{2iπn}{ln (3)} −1} sinc(u)du converge vers ∫_{0}^{∞} u^{d+ \frac{2iπn}{ln (3)} −1} sinc(u)du; on peut donc, pour t suffisamment grand, remplacer ∫_{0}^{t} par ∫_{0}^{∞} . Comme de plus ∫_{0}^{∞} u^{d+ \frac{2iπn}{ln (3)} −1} sinc(u)du = sin(\frac{π}{2} (d + \frac{2iπn}{ln(3)} − 1))Γ(d + \frac{2iπn}{ln(3)} − 1), on obtient finalement :

C(t) = \frac{t^{−d}}{ln(3)} ∑_{n} ϵ_{n}t^{− \frac{2iπn}{ln (3)}} sin(\frac{π}{2}(d + \frac{2iπn}{ln(3)} − 1))Γ(d + \frac{2iπn}{ln(3)} − 1)  (4.2)

dans le cas normalisé (ℏ = 1, énergie maximale accessible E = 1), soit dans le cas général :

C(t) = ( \frac{E}{e.u.}) ^{2} ( \frac{Et}{ℏ} ) ^{−d} ∑_{n} \frac{ϵ_{n}}{ln(3)} ( \frac{Et}{ℏ} ) ^{− \frac{2iπn}{ln (3)}} sin ( \frac{π}{2}(d_{n} − 1)) Γ(d_{n} − 1)  (4.3)

Une étude analytique du comportement asymptotique des coefficients montre que :

|ϵ_{n}sin(\frac{π}{2}(d + \frac{2iπn}{ln(3)} − 1))Γ(d + \frac{2iπn}{ln(3)} − 1)|

se comporte au moins comme O ( \frac{1}{n^{3/2−d}} ). Cependant, bien que n’ayant pas encore de preuve rigoureuse, il semble que l’on puisse améliorer la convergence et que |ϵ_{n}sin(\frac{π}{2} (d + \frac{2iπn}{ln(3)} − 1))Γ(d + \frac{2iπn}{ln(3)} − 1)| = O ( \frac{1}{n^{3/2−d}} ), ce qu’une étude numérique semble confirmer.

4.4 Rapport de participation (participation ratio)

Le rapport de participation (participation ratio) est également une quantité intéressante pour l’étude de la dynamique et de l’étalement d’un paquet d’onde.

Par définition, le rapport de participation est :

P_{ψ} = \frac{1}{∫_{espace} ||ψ⟩|^{4}dx}  (4.4)

Cette fonction renseigne sur l’étalement spatial du paquet d’onde, décrit par |ψ⟩. Si l’état est localisé, alors P_{ψ} ≃ 0 ; s’il est étendu, alors P_{ψ} ≃ 1. Dans le cas de la cavitéde Fibonacci, les résultats numériques montrent que le rapport de participation moyenneé dans le temps présente des oscillations log-périodiques dans le temps ; j’ai donc étudié cette fonction dans le cas d’un spectre de Cantor :

P_{ψ} (t) = \frac{1}{t} ∫_{0}^{t} \frac{dt′}{∫_{espace} ||ψ(t′)⟩|^{4}dx}  (4.5)

L’idée est de se ramener à une intégrale sur le spectre, qui a une structure fractale et qui serait à l’origine des oscillations log-périodiques s’il y a lieu.

On utilise pour cela le formalisme des fonctions de Green. On peut en effet relier la transformée de Fourier de la fonction de Green à la densité d’état locale ([ ? ?]) ; les calculs sont de plus valables dans le cas d’un spectre fractal. Le détail des calculs est fourni en annexe. Pour ne donner que les grandes lignes :

|ψ(x, t)| = |⟨x|ψ(t)⟩|
= |⟨x|e^{−iHt} |ψ(0)⟩|
= |∫_{space} ⟨x|e^{−iHt} |x′⟩ψ(x′, 0)dx′⟩|

= | ∫_{space} ∫_{spectrum} e^{−iϵt} ImG(x, x′, ϵ)ψ(0, t)dx′dμ(ϵ) |

= | ∫_{space} ∫_{spectrum} e^{−iϵt} ϕ(x, ϵ)^{∗}ϕ(x′, ϵ)ψ(x′, 0)dx′dμ(ϵ) |

On obtient donc finalement :

|ψ(x, t)| = | ∫_{space} ∫_{spectrum} e^{−iϵt} ϕ(x, ϵ)^{∗}ϕ(x′, ϵ)ψ(x′, 0)dx′dμ(ϵ) |  (4.6)

A ce stade, deux pistes sont envisageables pour poursuivre.

4.4.1 Majoration de ∫ ϕ(x, ϵ)^{∗}ϕ(x′, ϵ)dμ(ϵ)

Un encadrement des termes non diagonaux de la résolvente, c’est-à-dire de la fonction de Green en des valeurs x, x′différentes G(x, x′, t), a ét’e établi ([9], [10]) pour un grand nombre de processus de diffusion :

F_{t}(c_{1}, c_{2}, x, x′) ≤ G(x, x′, t) ≤ F_{t}(c_{3}, c_{4}, x, x′)  (4.7)

avec

F_{t}(c_{i}, c_{j} , x, x′) = \frac{c_{i}}{t^{d_{s} /2}} exp−c_{j} ( \frac{|x − x′|^{d_{w}}}{t} ) ^{\frac{1}{dw −1}}

où c_{1}, c_{2}, c_{3}, c_{4} sont des constantes positives, d_{w} la dimension de marche (walk dimension) intervenant dans la relation de dispersion ⟨x^{2}(t)⟩ = t^{2/d_{w}} , d_{s} la dimension spectrale telle que d_{s} = \frac{2d_{f}}{d_{w}} et d_{f} la dimension de Hausdorff de l’espace dans lequel le phénomène diffusif a lieu. Il s’agit ici d’une majoration pour les problèmes de diffusion ; toutefois, il semble possible de transposer cet encadrement dans le cas de l’équation de Schrodinger sans potentiel : en effet, la différence avec léquation de la diffusion réside dans le facteur i dans la dérivée temporelle, mais dans les deux cas les fonctions propres intervenant dans la définition de la fonction de Green (ou propagateur) sont fonctions propres du Laplacien, et ne sont pas des fonctions du temps.

Remarque : le cas des termes diagonaux est lui mieux connu ; il a même été prouvé ([10]) dans le cas de l’équation de diffusion que

G(x, x′, t) = t^{− \frac{d_{f}}{dw}} F ( \frac{2π ln(t)}{d_{w} ln(l)})

. Le cas des termes non-diagonaux est bien moins maîtrisé et fait l’objet de recherches actives actuellement.

4.4.2 Supposer \overline{ϕ(0, ϵ)^{∗}ϕ(x, ϵ)} = f ( \frac{x}{l_{n}} )

Dans le cas d’une variété euclidienne, les fonctions propres du Laplacien vérifient la relation suivante : \overline{ϕ(r, ϵ)^{∗}ϕ(r’, ϵ)} = f ( \frac{|r−r’}{l_{n}} ). Ce résultat, bien que non démontré pour le cas d’un Laplacien défini sur une fractale, a néanmoins été utilisé comme hypothèse dans des travaux récents ([10]).

On pourrait, dans notre cas, effectuer la même hypothèse (en imposant donc de plus que le Hamiltonien soit réduit à un Laplacien).

Cette hypothèse mène à une expression analytique de la fonction de participation mettant en évidence sa log-périodicité.

Il serait donc intéressant de vérifier numériquement cette conjecture. Il faut pour cela concevoir un système tel que le spectre du Laplacien soit un ensemble de Cantor ; cette étude numérique n’est pour le moment pas terminée mais fait partie de mon programme de recherche pour l’année scolaire à venir, (durant laquelle je prolonge mon stage de M1 dans le cadre d’une année arpe).

4.5 Emission spontannée

Un autre problème intéressant sur le plan théorique et expérimental est celui de l’émission spontannée d’un système discret couplé avec un spectre fractal. Expérimentalement, on peut concevoir une cavité ayant la géométrie de la cavité de Fibonacci décrite au chapitre 2 ; par exemple, une cavité diélectrique composée de deux types de couches A et B, de largeurs d_{A} et d_{B} et d’indices de réfraction n_{A} et n_{B} respectivement ([11]). La règle d’or de Fermi doit être réexaminée et l’on peut montrer [11] que, aux temps longs, il n’y a pas de décroissance type Wigner-Weisskopf, comme c’est la cas pour un spectre continu.

Considérons le cas où les modes de la cavité forment un ensemble de Cantor K par exemple. La probabilité qu’un atome à deux niveaux, initialement dans l’état excité d’énergie E_{i}, quitte l’état initial sous l’effet du couplage avec la cavité et qu’il y ait au bout d’un temps t une transition vers un état d’énergie E_{f} du continuum, avec un écart de ΔE autour de E_{f} , est (en posant ℏ = 1) :

P_{fi} (t) ∝ ∫_{ΔE} ( \frac{sin(E − E_{i})t}{E − E_{i}} ) ^{2} dμ(E)

Si de plus E_{i} ∈ C, alors, en raison de la symétrie de C, un voisinnage de E_{i} conserve la même propriété d’échelle. On peut donc effectuer un changement de variable E′ = E − E_{i} et appliquer la formule ( ? ?) :

P_{fi} (t) ∝ ∫_{ΔE+E_{i}} ( \frac{sinE′t}{E′}) ^{2} dμ(E′)

∝ \frac{1}{2} ∫_{ΔE+E_{i}} ( \frac{sinE′t/3}{E′/3}) ^{2} dμ(E′) + \frac{1}{2} ∫_{ΔE+E_{i}} ( \frac{sin(E′+ 2)t/3}{(E′+ 2)/3} ) ^{2} dμ(E′)

∝ \frac{3^{2}}{2} P_{fi} ( \frac{t}{3}) + \underbrace{\frac{3^{2}}{2} ∫_{ΔE+E_{i}} ( \frac{sin(E′+ 2)t/3}{(E′+ 2)/3} ) ^{2} dμ(E′)}_{g(t)}

ce qui, en suivant les mêmes techniques de calculs que dans les paragraphes précédents, conduit à :

P_{fi} (t) ∝ ∑_{n} M_{g}(s_{n})t^{2−d−2iπ/ ln 3}

avec d = \frac{ln 2}{ln 3}, s_{n} = d − 2 + \frac{2iπ}{ln 3} et M_{g} la transformée de Mellin de g. On n’obtient donc pas la règle d’or de Fermi pour t ≫ 1. On observe que P_{fi} se comporte comme une loi de puissance modulée par des oscillations log-périodiques.

Bilan et perspectives

L’étude analytique d’un modèle théorique où le spectre du Hamiltonien est une fractale "simple" (un ensemble de Cantor triadique) a permi d’aboutir à une expression exacte de la fonction de corrélation (ou retour à l’origne), mettant explicitement en évidence les oscillations log-p’eriodiques de cette quantité. On devrait également parvenir sous peu à démontrer rigoureusement la logpériodicité pour la moyenne temporelle du rapport de participation. Une simulation numérique pour tester la conjecture concernant le rapport de participation est en cours.

Ces résultats sont en accord avec les résultats et hypothèses théoriques formulées sur le lien de causalité entre la structure fractale et les oscillations log-périodiques de certaines quantités, ainsi qu’avec les résultats expérimentaux et numériques récents obtenus avec la cavitéde Fibonacci.

Notons qu’il est plus aisé expérimentalement d’observer des quantités temporelles, bien qu’il soit également possible d’observer les oscillations log-périodiques de quatités purement spectrales [ ? ?].

Cette étude analytique a donc permi de comprendre plus en profondeur le lien entre la structure fractale du spectre et ce comportement particulier, et ouvre de nouvelles pistes de recherche.

5.0.1 Emission spontann’ee et superradiance dans un potentiel fractal

La cavité de Fibonacci permettrait d’étudier l’émission spontannée pour un système discret couplé à un continuum. On peut de plus pousser l’étude plus loin et s’intéresser à l’interaction de deux atomes à deux niveaux couplés à un quasi-continuum fractal, introduisant le phénomène de superradiance.

Ces perspectives font également partie de mon programme de recherche pour l’année à venir.

18 CHAPITRE 5. BILAN ET PERSPECTIVES

Annexes

6.1 Log-périodicité des fonctions vérifiant f(x) = \frac{1}{b}f(ax) + g(x)

Soit f : ℝ → ℂ vérifiant une égalité du type :

f(x) = \frac{1}{b}f(ax) + g(x)

Montrons que f est de la forme :

f(x) = x^{ln(b)/ ln(a)} G ( \frac{lnx}{lna})

avec G 1-périodique.

On utilise pour cela la transformée de Mellin : Soit ]a; b[ un intervalle ouvert non vide de ℝ et soit f : ℝ → ℂ intégrable au sens de Lebesgue,

telle que pour tout σ ∈]a; b[, ∫_{0}^{∞} |f(x)|x^{σ−1} dx�∞.

La transformée de Mellin de f est alors définie par :

M_{f} (s) = ∫_{0}^{∞} f(x)x^{s−1} dx

Si de plus il existe c ∈]a; b[ tel que τ → M_{f} (c+iτ) soit intégrable, alors la transformée de Mellin inverse de M_{f} redonne f :

f(x) = \frac{1}{2iπ} ∫_{γ−i∞}^{γ+i∞} M_{f} (s)x^{−s} ds

Appliquons la transformée de Mellin á l’égalité (6.1), en supposant que l’intersection des domaines définition de M_{f} et de M_{g} soit non vide :

M_{f} = ∫_{0}^{∞} f(x)x^{s−1} dx
= \frac{1}{b}∫_{0}^{∞} f(ax)x^{s−1} dx + ∫_{0}^{∞} g(x)x^{s−1} dx
= \frac{1}{b}∫_{0}^{∞} f(u) ( \frac{u}{a})^{s−1} \frac{du}{a} + M_{g}(s)

Donc :

M_{f} (s) = \frac{M_{g}(s)}{1 − \frac{a^{−s}}{b}}

puis en appliquant le transformée de Mellin inverse :

f(x) = \frac{1}{2iπ} ∫_{γ−i∞}^{γ+i∞} M_{f} (s)x^{−s} ds

= \frac{1}{2iπ} ∫_{γ−i∞}^{γ+i∞} \frac{M_{g}(s)}{1 − \frac{a^{−s}}{b}} ds

En supposant maintenant que M_{g} n’a pas de pôles, la formule des résidus donne finalement :

f(x) = ∑_{n∈ℤ} [ \frac{(s − s_{n})M_{g}(s)}{1 − \frac{a^{−s}}{b}} ]_{s=s_{n}} s_{n} = −\frac{ln a}{ln b} − \frac{2iπn}{ln b} , pôles de \frac{M_{g} (s)}{1− \frac{a^{−s}}{b}}

= x^{ln(b)/ ln(a)} \underbrace{∑_{n∈ℤ} c_{n}x^{2iπn/ ln b}}_{G(x)}

On obtient donc la forme voulue.

6.2 Calcul de la fonction de corrélation dans la cas où le spectre est un ensemble de Cantor

Il s’agit de calculer :

C(t) = ∫∫_{C×C} sinc((ϵ′− ϵ)t)dμ̃(ϵ)dμ̃(ϵ′)

où C désigne un ensemble de Cantor triadique.

L’idée du calcul est d’abord de se ramener à une intégrale simple, puis d’utiliser les transformées de Mellin et les propri’etées d’échelle de la mesure.

Effectuons le changement de variable l = |ϵ′− ϵ| et notons dS(l) la surface (pour la mesure μ) du tapis de Cantor contenu dans les deux bandes d’épaisseur infinitésimale situées en ϵ = ϵ′+ l et ϵ = ϵ′ − l (cf fig.). Comme sinc((ϵ′ − ϵ)t) peut être considéré constante sur ces deux bandes élémentaires, on obtient :

C(t) = ∫_{0}^{1} sinc(lt)dS(l)

Il s’agit donc de déterminer S(l).

Une première approche consiste à calculer directement la surface du tapis de Cantor comprise entre les deux droites ϵ = ϵ′+ l et ϵ = ϵ′− l, puis de prendre la différentielle de cette fonction. On procède en calculant la surface des carres compris entre ces deux droites à l’étape n de la conctruction du tapis de Cantor, puis l’on fait tendre n vers l’infini. Ce calcul est assez laborieux et peu intéssant, et l’expression obtenue n’est pas exploitable pour le calcul de C(t). Toutefois, cette expression est intéressante car elle renseigne sur le comportement de C(t) et permet de tracer la fonction S(l).

Exprimons l ∈ [0, 1] en base trois, avec dégénérescence : l = \frac{1}{3^{N_{0}}} ( 1 + ∑ _{i∈\{1,2,...\}} \frac{1}{3^{N_{i}}} ) , avec possiblement N_{i} = N_{j} pour i ≠ j. Alors :

S(l) = \frac{1}{2^{N_{0}}} (1 + \frac{1}{2} ∏ \frac{1}{2^{2N_{i}}} )×) \{ \begin{matrix}\frac{1}{2^{N_{k}}} & , k pair \\ \frac{1}{2^{2N_{k}}} & , k impair \end{matrix} \}

Le graphe de cette fonction est donnée fig. On vérifie facilement que : S(3^{n}l) = 2^{n}S(l) pour tout n ∈ /mathbbZ. De plus, une étude numérique suggére que S(l) = l^{ln(2)/ ln(3)} g ( \frac{ln(x)}{ln(3)} ) avec g périodique.

Une autre méthode pour obtenir S(l) utilise les transformées de Mellin (cf. annexe A).

6.2. CALCUL DE LA FONCTION DE CORRÉLATION DANS LA CAS OÙ LE SPECTRE EST UN ENSEMBLE DE CANTOR21

Posons : ζ(α) = ∫_{0}^{1} l^{−α} dS(l, μ). Il s’agit de la transformée de Mellin de dS(l) au point 1 − α : M_{dS} (s) = ∫_{0}^{1} l^{s−1} dS(l, μ). Il est usuel, dans les problèmes 1D de calcul de produit de convolution avec des ondelettes, d’introduire la fonction zeta associée à la mesure ν du problème : ζ(s) = ∫ \frac{dν(x)}{x^{s}} ; nous transposons ici cette méthode au cas 2D.

ζ(α) = ∫_{0}^{1} l^{−α} dS(l, μ)
= ∫∫_{C×C} \frac{dμ(x)dμ(y)}{|x − y|^{α}}
= \frac{1}{2} ∫∫_{C×C} \frac{dμ(x)dμ(y)}{3^{−α} |x − y|^{α}} + ∫∫_{C×C} \frac{dμ(x)dμ(y)}{3^{−α} |x − y + 2|^{α}}
= \frac{3^{α}}{2} ζ(α) + ϵ(α)

d’où

ζ(α) = \frac{ϵ(α)}{1 − \frac{3^{α}}{2}}

.

La transformée de Mellin inverse permet alors d’obtenir dS(l) :

dS(l, μ) = \frac{1}{2iπ} ∫_{γ−i∞}^{γ+i∞} M_{dS} (α)l^{−α} dα

= \frac{1}{2iπ} ∫_{γ−i∞}^{γ+i∞} ζ(1 − α)l^{−α} dα

= ∑_{n} [ \frac{α − (1 − α_{n})}{1 − \frac{3^{1−α}}{2}} l^{−α} ϵ(α)] _{α=α_{n}}

avec 1 − α_{n} = \frac{ln(2)}{ln(3)} , d = \frac{ln(2)}{ln(3)} .

Finalement : dS(l, μ) = \frac{l^{d−1}}{ln(3)} ∑ _{n} l^{\frac{2iπn}{ln (3)}} ϵ ( d + \frac{2iπn}{ln(3)} ) = \frac{l^{d−1}}{ln(3)} ∑ _{n} l^{\frac{2iπn}{ln (3)}} ϵ_{n}. D’où

C(t) = ∫_{0}^{1} sinc (lt)dS(l, μ)
= \frac{1}{ln(3)} ∑_{n} ϵ_{n}t^{− \frac{2iπn}{ln (3)}} sin ( \frac{π}{2}(d_{n} − 1)) Γ(d_{n} − 1)

6.2.1 Comportement asymptotique des coefficients

On démontre ici la relation :

|ϵ_{n}sin(\frac{π}{2}(d + \frac{2iπn}{ln(3)} − 1))Γ(d + \frac{2iπn}{ln(3)} − 1)| = O ( \frac{1}{n^{3/2−d}} )

, avec d = \frac{ln 2}{ln 3} et donne des arguments pour justifier (bien que cela ne soit rigoureusement démontré) que

|ϵ_{n}sin(\frac{π}{2}(d + \frac{2iπn}{ln(3)} − 1))Γ(d + \frac{2iπn}{ln(3)} − 1)| \overbrace{=}^{?}O ( \frac{1}{n^{5/2−d}} )

Commençons par |sin(\frac{π}{2} (d + \frac{2iπn}{ln(3)} − 1))Γ(d + \frac{2iπn}{ln(3)} − 1)| : lorsque n → ∞, on a le comportement asymptotique suivant pour |Γ(d + \frac{2iπn}{ln(3)} − 1)| [12] :

lim_{n→∞} |Γ(d + \frac{2iπn}{ln(3)} − 1)| = \sqrt{(}2π)e^{−(d−1)} e^{− \frac{2π^{2} n}{2ln(3)}} ( \frac{2πn}{ln(3)}) ^{d− \frac{3}{2}}

Comme de plus : |sin(\frac{π}{2} (d + \frac{2iπn}{ln(3)} − 1))| ∼ e^{\frac{2π^{2} n}{2ln(3)}} e^{1−d} /2 quand n tend vers l’infini, on obtient finalement :

|sin(\frac{π}{2}(d + \frac{2iπn}{ln(3)} − 1))Γ(d + \frac{2iπn}{ln(3)} − 1)| = O ( \frac{1}{n^{3/2−d}} )

Intéressons-nous maintenant à ϵ_{n}.

Par définition :

ϵ_{n} = ∫∫_{C×C} \frac{dμ(x)dμ(y)}{|2 − x + y|^{d_{n}}} = lim_{k→∞} ( \frac{3}{2}) ^{2k} ∑_{(a_{j_{k}} ,a_{j′k} )∈P_{k} ×P_{k}} ∫_{a_{j_{k}}}^{a_{j_{k}} +3^{−k}} ∫_{a_{j{′ \atop k}}}^{a_{j{′ \atop k}} +3^{−k}}  \frac{dxdy}{|2 − x + y|^{d_{n}}}

avec d_{n} = \frac{ln 2}{ln 3} + \frac{2iπn}{ln 3} et P_{k} = \{a_{j_{k}} \} l’ensemble des extrémités gauches des segments présents à létape k de la construction de l’ensemble de Cantor triadique. Comme l’ensemble de Cantor est inclu dans le segment [0, 1], et que l’on a pour tout x, y [0, 1] l’inégalité : 2⟩x−y, on peux supprimer les valeurs absolues dans les intégrales.

On voit immédiatement que |ϵ_{n}| est bornée : pour tout x, y ∈ [0, 1], on a 1 < 2 − x + y < 3 donc |\frac{1}{|2−x+y|^{dn}} | = \frac{1}{|2−x+y|^{d}} < 1. Donc :

|ϵ_{n}| < ∫∫_{C×C} \frac{dμ(x)dμ(y)}{|(2 − x + y)^{d_{n}} |} < ∫∫_{C×C} dμ(x)dμ(y) = 1

Il semble cependant que l’on puisse améliorer ce comportement asymptotique en |ϵ_{n} = O ( \frac{1}{n} ).

L’idée est d’intégrer par partie, en intégrant le terme oscillant (inspiré du théorème de Riemann-Lebesgue^{1}

Effectuons le changement de variable t = ln(2 − x + y), y = e^{t} − 2 + x; alors :

∫_{a_{j_{k}}}^{a_{j_{k}} +3^{−k}} ∫_{a_{j{′ \atop k}}}^{a_{j{′ \atop k}} +3^{−k}} \frac{dxdy}{|2 − x + y|^{d_{n}}} = ∫_{a_{j_{k}}}^{a_{j_{k}} +3^{−k}} dx∫_{ln(2−x+a_{j{′ \atop k}} )}^{ln(2−x+a_{j{′ \atop k}} +3^{−k} )} e^{−td_{n}} e^{t}dt

Intégrons par parties :

∫_{ln(2−x+a_{j{′ \atop k}} )}^{ln(2−x+a_{j{′ \atop k}} +3^{−k} )} e^{−t2iπn/ ln(3)} e^{t−ln(2)/ ln(3)} dt =

[ \frac{e^{−t2iπn/ ln(3)}}{−2iπn/ ln(3)} e^{t(1−ln(2)/ ln(3))} ] _{ln(2−x+a_{j{′ \atop k}} )}^{ln(2−x+a_{j{′ \atop k}} +3^{−k} )} + \frac{1 − ln(2)/ ln(3)}{2iπn/ ln(3)} ∫_{ln(2−x+a_{j{′ \atop k}} )}^{ln(2−x+a_{j{′ \atop k}} +3^{−k} )} e^{−td_{n}} e^{t}dt

= \frac{1}{−2iπn/ ln(3)} [(2 − x + a_{j′_{k}} + 3^{−k} )^{1−d_{n}} − (2 − x + a_{j′_{k}} )^{1−d_{n}} ] + \frac{1 − d}{2iπn/ ln(3)} ∫_{ln(2−x+a_{j{′ \atop k}} )}^{ln(2−x+a_{j{′ \atop k}} +3^{−k} )} e^{−td_{n}} e^{t}dt

Comme : |e^{(1−d_{n} )t} = e^{(d−1)t} < 3^{d−1} pour tout t (t = ln(2 − x + y) avec x, y ∈ [0, 1] donc t ∈ [0, ln3]), on a :

| ∫_{ln(2−x+a_{j{′ \atop k}} )}^{ln(2−x+a_{j{′ \atop k}} +3^{−k} )} e^{(1−d_{n} )t} dt| < ∫_{ln(2−x+a_{j{′ \atop k}} )}^{ln(2−x+a_{j{′ \atop k}} +3^{−k} )} 3^{1−d} dt

puis :

∫_{ln(2−x+a_{j{′ \atop k}} )}^{ln(2−x+a_{j{′ \atop k}} +3^{−k} )} 3^{1−d} dt ≈ 3^{1−d} \frac{3^{−k}}{2 − x + a_{j′_{k}}} < 3^{1−d} 3^{−k}

1. Théorème de Riemann-Lebesgue : soit f une fonction intégrable sur un intervalle I de ℝ, à valeurs dans ℂ ou ℝ; alors :

∫_{I} f(x)e^{−isx} dx → 0 quand s tend vers ±∞

6.2. CALCUL DE LA FONCTION DE CORRÉLATION DANS LA CAS OÙ LE SPECTRE EST UN ENSEMBLE DE CANTOR23

Avec l’approximation supplémentaire : ∫_{a_{j_{k}}}^{a_{j_{k}} +3^{−k}} (2 − x + a_{j′_{k}} )^{1−d_{n}} dx ≈ 3^{−k} (2 − a_{j_{k}} + a_{j′_{k}} )^{1−d_{n}} , il vient :

∫_{a_{j_{k}}}^{a_{j_{k}} +3^{−k}} ∫_{a_{j{′ \atop k}}}^{a_{j{′ \atop k}} +3^{−k}}  \frac{dxdy}{|2 − x + y|^{d_{n}}}

≈ 3^{−k} \frac{1}{−2iπn/ ln(3)} [(2 − a_{j_{k}} + a_{j′_{k}} + 3^{−k} )^{1−d_{n}} − (2 − a_{j_{k}} + a_{j′_{k}} )^{1−d_{n}} ] + \frac{(1 − d) ln3}{2iπn} 3^{1−d} 3^{−2k}

Puis, tenant compte du fait que CardP_{k} = 2^{k}, et donc que ∑ _{\frac{1}{2^{k}} P_{k} ×P_{k}} O ( \frac{1}{n} ) = O ( \frac{1}{n} ), il vient :

ϵ_{n} ≈ lim_{k→∞} ( \frac{3}{2}) ^{2k} ∑_{P_{k} ×P_{k}} 3^{−k} \frac{1}{−2iπn/ ln(3)} [(2 − a_{j_{k}} + a_{j′_{k}} + 3^{−k} )^{1−d_{n}} − (2 − a_{j_{k}} + a_{j′_{k}} )^{1−d_{n}} ]

+ lim_{k→∞} ( \frac{3}{2}) ^{2k} ∑_{P_{k} ×P_{k}} 3^{−k} \frac{(1 − d) ln3}{2iπn} 3^{1−d} 3^{−2k}

≈ lim_{k→∞} ( \frac{3}{2}) ^{2k} ∑_{P_{k} ×P_{k}} 3^{−k} \frac{1}{−2iπn/ ln(3)} [(2 − a_{j_{k}} + a_{j′_{k}} + 3^{−k} )^{1−d_{n}} − (2 − a_{j_{k}} + a_{j′_{k}} )^{1−d_{n}} ] + O ( \frac{1}{n})

Il reste à prouver que, pour tout n, ( \frac{3}{2})^{2k} ∑ _{P_{k} ×P_{k}} 3^{−k} [(2 − a_{j_{k}} + a_{j′_{k}} + 3^{−k} )^{1−d_{n}} − (2 − a_{j_{k}} + a_{j′_{k}} )^{1−d_{n}} ] converge lorsque k → ∞, et que la limite est bornée par une quantité indépendante de n. Cela semble raisonnable, mais je n’ai pas encore de preuve rigoureuse.

Une autre piste à explorer est la suivante : utilisant l’odentité

\frac{1}{λ^{s}} = \frac{1}{Γs} ∫_{0}^{∞} t^{s−1} e^{−λt} dt

on peut réécrire ϵ_{n} sous la forme :

ϵ_{n} = \frac{1}{Γ(d_{n})} ∫_{0}^{∞} ( ∫∫_{C×C} e^{(x−y)t} dμ(x)dμ(y)) e^{−2t} t^{d_{n} −1} dt

24 CHAPITRE 6. ANNEXES

Bibliographie

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