\documentclass{beamer}

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\usetheme{Warsaw}

\title{Dynamique quantique dans le cas d'un spectre fractal}
\author{Ariane SORET}
\institute{Encadr\'{e}e par Eric AKKERMAN \& Evgeni GUREVICH  \\
ENS Cachan - Technion Institute of Technology}
\date{27 August 2014}

\begin{document}

\begin{frame}
\titlepage
\end{frame}

\begin{frame}
  \tableofcontents[option, option, ...]
\end{frame}

\AtBeginSection[]
{
  \begin{frame}
  \frametitle{Sommaire}
  \tableofcontents[currentsection, hideothersubsections, pausesubsections]
  \end{frame}
}

\section{Introduction}

\begin{frame}
%Fractales et physique. 

%Nombreux ex : diffusion, dynamique, quasi cristaux...
\end{frame}

\section{Pr\'{e}requis math\'{e}matiques}

\begin{frame}
\begin{block}{Origine du terme}
"Fractal" : introduit par Mandelbrot pour d\'{e}finir les objets tellement irr\'{e}guliers qu'ils sortent du cadre de la g\'{e}om\'{e}trie classique
\end{block}
\begin{block}{D\'{e}finition d'une fractale par Mandelbrot (1986)}
\textit{Une fractale est une forme compos\'{e}e de parties similaires au tout d'une fa\c{c}on ou d'une autre}\\
\end{block}

Ici : objet avec invariance d'\'{e}chelle.
\begin{columns}
\column{.5\textwidth}
\begin{exampleblock}{Exemple}
Triangle de Sierpinski 
\end{exampleblock}
\column{.5\textwidth}
\begin{block}{}
\begin{figure}
\includegraphics[scale=0.08]{sierpinski.png}
\caption{}
\end{figure}
\end{block}
\end{columns}
\end{frame}

\section{Exemple exp\'{e}rimental : cavit\'{e} de Fibonacci}

\begin{frame}

\begin{columns}
\column{.5\textwidth}
\begin{exampleblock}{\small{Cavit\'{e} de Fibonacci}}
 \small{potentiel variant spatialement -> modification de la densité d'états des modes propres du système.  
  \medskip
Cavit\'{e} longitudinale dont la largeur varie selon ordre de Fibonacci -> spectre fractal (type Cantor)}.
\end{exampleblock}
\column{.5\textwidth}
\begin{block}{}
\begin{figure}
\includegraphics[scale=0.3]{cavite-fibo.png}
\caption{Fibonacci cavity. Source : [1]}
\end{figure}
\end{block}
\end{columns}


R\'{e}sultats num\'{e}riques et exp\'{e}rimentaux \footnote{D. Tanese, E. Gurevich, A. Lemaitre, E. Galopin, I. Sagnes, A. Amo, J. Bloch, E. Akkermans, arxiv:1311.3453v1}: log-p\'{e}riodicit\'{e} de certaines quantit\'{e}s.

%\begin{figure}
%\includegraphics[scale=0.2]{idos.png}
%\caption{Source : [1]}
%\end{figure}

\end{frame}

\begin{frame}
\begin{columns}
\column{.5\textwidth}
\begin{figure}
\includegraphics[scale=0.4]{idos_im2.png}
\caption{\tiny{Cavit\'{e}de 144 lettres. Source :}}
\end{figure}
\column{.5\textwidth}
\begin{figure}
\includegraphics[scale=0.4]{idos_im3.png}
\caption{\tiny{Cavit\'{e}de 144 lettres. (a)Emission en champ lointain. (b) R\'{e}sultats num\'{e}rique avec potentiel effectif ; gaps en $[p,q]$ indiqu\'{e}s par fl\`{e}ches rouges. (c) Mesure de l'intensit'{e} totale \'{e}mise (int'{e}grale angulaire)$I(\epsilon')$. (d) Int\'{e}grale spectrale de l'intensit'{e} $\int_{E_{0}}^{\epsilon} I(\epsilon')d\epsilon'$ ($E_{0}$ \'{e}nergie minimale). (e) DOS liss\'{e} calcul\'{e} pour comparaison avec (c). (f) Calcul de IDOS normalis\'{e}. Source : [1]}}
\end{figure}
%\column{.5\textwidth}
%\begin{block}{}
%\begin{figure}
%\includegraphics[scale=0.6]{c_t_fibo.png}
%\caption{Fonction de corr\'{e}lation du paquet d'onde pour la cavit\'{e} de Fibonacci. Source : [1]}
%\end{figure}
%\end{block}
\end{columns}
\end{frame}

\section{Etude analytique dans le cas o\`{u} le spectre est un ensemble de Cantor}

\begin{frame}
Position du probl\'{e}me : Hamiltonien $H$, spectre = ensemble de Cantor triadique

\begin{columns}
\column{.5\textwidth}
\begin{block}{Probl\'{e}matiques - Objectifs}
\begin{itemize}
\item Dynamique du paquet d'onde ?
\item Quelles quantit\'{e}s physiques mettent en \'{e}vidence la structure fractale du spectre ?
\item Expression analytique ?
\item Inversement : quelles quantit\'{e}s donnent informations sur le spectre ?  
\end{itemize}
\end{block}
\column{.5\textwidth}
\begin{block}{Ensemble de Cantor triadique}
\begin{figure}
\includegraphics[scale=0.5]{cantor.png}
\caption{Ensemble de Cantor triadique}
\end{figure}
\end{block}
\end{columns}
\end{frame}

\subsection{Mesure appropri\'{e}e}


\begin{frame} 
Ensemble de Cantor $K$: de mesure (Lebesgue) nulle. Densit\'{e} d'\'{e}tats d\'{e}g\'{e}n\'{e}r\'{e}e.
D\'{e}finition d'une mesure appropri\'{e} :
$$\int_K f(x)d\mu(x) = \lim_{n \to + \infty} \left(\frac{3}{2}\right)^{n} \sum_{P_{n}} \int_{a_{j}}^{a_{j}+3^{-n}} f(x)dx$$
avec $P_{n} = \{a_{j}\}$ ensemble des extr\'{e}mit\'{e}s gauches des segments restant \`{a} l'\'{e}tape $n$ de la construction du Cantor.
\medskip 
V\'{e}rifie :
\begin{itemize}
\item $\int_K d\mu(x) = 1$ par construction
\item $ \int_K f(x)d\mu(x) = \frac{1}{2}\int_K f(\frac{x}{3})d\mu(x) + \frac{1}{2}\int_K f(\frac{x+2}{3})d\mu(x)$
\end{itemize} 
\textit{Remarque : on peut abusivement voir $d\mu$ comme $d\mu(\epsilon) \equiv \rho(\epsilon)d\epsilon$}

\end{frame}

\begin{frame}
Densit\'{e} d'\'{e}tats int\'{e}gr\'{e}e (IDOS) :
\tiny{$$
N(\epsilon)=\int_{spectre} \theta(\epsilon - \epsilon')d\mu(\epsilon')= \frac{1}{2}\int_{spectre} \theta\left(\epsilon - \frac{\epsilon'}{3}\right)d\mu(\epsilon') + \frac{1}{2}\int_{spectre} \theta\left(\epsilon - \frac{\epsilon'+2}{3}\right)d\mu(\epsilon')$$\\
$$ N(\epsilon)= \frac{1}{2}N(3\epsilon) + g(\epsilon)$$}


\begin{figure}
\includegraphics[scale=0.3]{idos_cantor.png}
\caption{IDOS quand le spectre est un enesemble de Cantor}
\end{figure}

\end{frame}

\subsection{Fonction de corr\'{e}lation}

\begin{frame}
%\begin{columns}
%\column{.5\textwidth}
\begin{block}{Fonction de corr\'{e}lation}
$C(t) = \frac{1}{t}\int_0^t |<\psi(0)|\psi(t')>|^{2} dt' $
\end{block}
%\column{.5\textwidth}
\begin{figure}
\includegraphics[scale=0.6]{c_t_fibo.png}
\caption{Fonction de corr\'{e}lation du paquet d'onde pour la cavit\'{e} de Fibonacci. Source : [1]}
\end{figure}
%\end{columns} 
Pour la cavit\'{e} de Fibonacci : oscillations log-p\'{e}riodiques.\\
M\^{e}me comportement quand le spectre est un ensemble de Cantor ? Pour toute fractale ?. \\
\medskip
($\psi(t)$ fonction d'onde.) \\
\end{frame}

\begin{frame}
D\'{e}composition sur une base orthonormale $\{|\phi(\epsilon)>\}$ des vecteurs propres de $H$ :
$$ |\psi(t)> = \int_{K} g(\epsilon) e^{-i\epsilon t} |\phi(\epsilon)>d\mu(\epsilon)$$
Puis :
\begin{eqnarray*}
\lefteqn{C(t) = \frac{1}{t}\int_0^t |<\psi(0)|\psi(t')>|^{2} dt'}\\
&=& \iint_{C\times C} sinc((\epsilon' - \epsilon)t)d\mu(\epsilon)d\mu(\epsilon')
\end{eqnarray*}

\small{\textit{Remarque} : $t$ et $\epsilon$ sont variables conjugu\'{e}es ; la structure fractale, contenue dans le spectre en \'{e}nergie, devrait donc se refl\'{e}ter dans la forme de $C(t)$}.

\end{frame}

\begin{frame}
$$ C(t) = \iint_{K\times K} sinc((\epsilon' - \epsilon)t)d\mu(\epsilon)d\mu(\epsilon')$$
\begin{columns}
\column{.5\textwidth}
\begin{block}{}
Changement de variable : $l = |\epsilon' - \epsilon|$ \\
$dS(l,\mu) = $aire au sens de $\mu$ du tapis de Cantor contenu dans les bandes rouges\\
\end{block}
\begin{alertblock}{La fonction de corr\'{e}lation devient }
$C(t) = \int_0^1 sinc(lt) dS(l,\mu)$
\end{alertblock}
\column{.5\textwidth}
\begin{block}{}
\includegraphics[scale=0.4]{cantor_carpet.PNG}
\end{block}
\end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}
Calcul de $dS(l)$ avec transformation de Mellin. Finalement :
\begin{block}{Fonction de corr\'{e}lation quand le spectre est un ensemble de Cantor}
\small{$$C(t) =  \frac{1}{ln(3)}\sum_{n}\epsilon_{n}t^{-\frac{2i\pi n}{ln(3)}}sin\left(\frac{\pi}{2}(d_{n}-1)\right)\Gamma(d_{n}-1)$$}
\small{$$C(t) =\left(\frac{E}{e.u.}\right)^{2}\left(\frac{Et}{\hbar}\right)^{-d} \sum_{n}\frac{\epsilon_{n}}{ln(3)}\left(\frac{Et}{\hbar}\right)^{-\frac{2i\pi n}{ln(3)}}sin\left(\frac{\pi}{2}(d_{n}-1)\right)\Gamma(d_{n}-1)$$}
\end{block}
$d_{n}=\frac{\ln(2)}{\ln(3)}+\frac{2i\pi n}{\ln(3)}$

\textit{Remarque} : r\'{e}sultat similaire pour tous les cas o\`{u} le spectre est une fractale auto-similaire, ie avec propri\'{e}t\'{e} d'\'{e}chelle.

\medskip
Comportement asymptotique : 
$$|\epsilon_{n}sin(\frac{\pi}{2}(d+\frac{2i\pi n}{ln(3)}-1))\Gamma(d+\frac{2i\pi n}{ln(3)}-1)| = O\left(\frac{1}{n^{5/2-d}}\right)$$


\end{frame}

\begin{frame}

\begin{figure}
\includegraphics[scale=0.3]{correlation_function_log.png}
\caption{Fonction de corr\'{e}lation $C(t)$ pour un ensemble de Cantor plong\'{e} dans [0,E], \'{e}chelle log}
\end{figure}

\end{frame}

\subsection{Rapport de participation (participation ratio)}

\begin{frame}
\begin{block}{Participation ratio}
$P_{r}(t) = \frac{1}{t}\int_0^t \frac{dt,}{|<x|\psi(t')>|^{4}} $
\end{block}



De m\^{e}me : oscillations log-periodiques pour cavit\'{e} de Fibonacci ; retrouve-t-on cela pour un spectre de Cantor ?\\
\end{frame}

\begin{frame}
Id\'{e}e : relier $|\psi(x,t)|$ \`{a} la densit\'{e} d'\'{e}tats gr\^{a}ce aux fonctions de Green.
\begin{eqnarray*}
\lefteqn{|\psi(x,t)| = |<x|\psi(t)>|}\\
&=& \left|<x|e^{-iHt}|\psi(0)>\right|\\
&=& \left|\int_{espace}<x|e^{-iHt}|x'>\psi(x',0)dx'>\right|\\
&=& \left|\int\limits_{espace}{\int\limits_{spectre} e^{-i\epsilon t} \phi(x,\epsilon)^{*}\phi(x',\epsilon)\psi(x',0)dx'd\mu(\epsilon)}\right|
\end{eqnarray*}

\begin{alertblock}{} 
Que dire de $\phi(x,\epsilon)^{*}\phi(x',\epsilon)d\mu(\epsilon)$ ?
\end{alertblock}
 Probl\`{e}me ouvert. 
\end{frame}

\section{Perspectives}
\subsection{Pistes pour prolonger l'\'{e}tude du participation ratio}

\begin{frame}
Pistes pour prolonger l'\'{e}tude du participation ratio :
\begin{enumerate}
\item Supposer $\overline{\phi(0,\epsilon)^{*}\phi(x,\epsilon)} = f\left(\frac{x}{l_{n}}\right)$ ?
\item Trouver une relation de dispersion et utiliser la th\'{e}orie de Fourier 
\item Montrer que $\int_{band} \phi(x,\epsilon)^{*}\phi(x',\epsilon)d\mu(\epsilon) < a||x-x'||^{-b}$
\end{enumerate}

\begin{block}{}
\textit{Remarques}
(1) est raisonnable pour le cas des fonctions propres du Laplacien ; une \'{e}tude num\'{e}rique sur un syst\`{e}me de forme (fractal ?) telle que le spectre du Laplacien soit fractal est en cours.\\
(2) Li\'{e} au probl\`{e}me de d\'{e}finition et de convergence des s\'{e}ries de Fourier sur des fractales.\\
(3) Etabli pour les prob\`{e}me de diffusion sur une fractale\footnote{E. Akkermans,O. Benichou,G. V. Dunne,A. Teplyaev,and Raphael Voituriez,Physical Review E86,061125(2012)} 
\end{block}

\end{frame} 

\subsection{Emission spontan\'{e}e - Superradiance - Thermodynamique - Rayonnement thermique}

\begin{frame}
On pourrait appliquer les m\^{e}mes m\'{e}thodes de calcul pour :
\begin{itemize}
\item  l'\'{e}mission spontan\'{e}e d'un syst\`{e}me discret coupl\'{e} avec un spectre fractal
\item la superradiance d'un syst\`{e}me de deux atomes coupl\'{e}s avec un continuum fractal 
\item continuer les travaux sur la thermodynamique et diffusion sur des structures fractales 
\item \'{e}tudier la statistiques des photons pour le rayonnement thermique de structures fractales. 
\end{itemize}
\end{frame}


\end{document}








