Table of Contents¶
Introduction aux algorithmes de bandit (UCB1, Thompson Sampling)¶
Ce petit document est un notebook Jupyter, ayant pour but de présenter le concept de problèmes de bandit, comment les simuler et les résoudre, et deux algorithmes conçus dans ce but.
Je ne vais pas donner beaucoup d'explications mathématiques, je conseille plutôt ce petit article, datant de 2017, en français, écrit par Émilie Kaufmann.
Je préfère me focaliser sur une implémentation simple, claire et concise de chaque morceau nécessaire à la simulation de problèmes et d'algorithmes de bandit. J'utilise le langage de programmation Python.
Dans ce but, j'utilise une approche objet : chaque morceau sera une classe, et des instances (des objets) seront utilisées pour toutes les composantes.
# Dépendances
import numpy as np
import random as rd
import matplotlib as mpl
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns
sns.set(context="notebook", style="whitegrid", palette="hls", font="sans-serif", font_scale=1.4)
from tqdm import tqdm_notebook as tqdm
%load_ext watermark
%watermark -v -m -a "Lilian Besson (Naereen)" -p scipy,numpy,matplotlib,sympy,seaborn -g
Problèmes de bandit¶
Je ne rentrerai pas trop dans les détails ici. Pour plus d'explications, cette page Wikipédia (en français)) est très bien faite.
"Dans le problème dit du bandit manchot, un utilisateur fait face à $K \geq 2$ machines à sou. Chacune donnant une récompense moyenne que l'utilisateur ne connait pas à priori. A chacune de ces actions, il va donc sélectionner une machine permettant de maximiser son gain."
Problèmes stochastiques¶
On se focalise ici sur des problèmes dits stochastiques : pour chaque bras, $k\in\{1,\dots,K\}$, une distribution de probabilité $\nu_k$ est supposée générer les récompense à chaque sélection. Les récompenses $r_k(t)$ venant du $k$ième bras sont donc "i.i.d." : indépendentes (les unes des autres) et identiquement distribuées, selon $\nu_k$ : $$ \forall t \geq 1, \;\; r_k(t) \sim \nu_k. $$
Un des exemples les plus simples sera de considérer des lois de Bernoulli, avec des récompenses binaires, par exemple pour un traitement médical $r_k(t) = 0$ signifie que le traitement a échoué, et $r_k(t) = 1$ que le traitement a réussi à guérir telle maladie : $$ \forall t \geq 1, r_k(t) \in \{0,1\}, \;\text{et}\; r_k(t) \sim \mathrm{B}(\mu_k). $$
Radio intelligente ?¶
Dans le contexte de la radio intelligente, le vocabulaire change un peu :
- les bras sont des canaux radio,
- les joueurs sont des objets communiquants,
- et des récompenses binaires sont obtenues soit avant la communication (avec une écoute du spectre, "sensing", pour l'Accès Opportuniste au Spectre, "OSA"), soit après la communication (avec un "acknowledgement" reçu depuis une station de base),
- ou bien des récompenses réelles, reflétant par exemple le SNR de la communication, le débit, la puissance reçue etc.
Simulation de problèmes de bandit¶
Une simple fonction suffira ici, pour initialiser un algorithme, le simuler durant $T$ étapes, et stocker les récompenses et les bras tirés.
Il est important de tout stocker pour ensuite pouvoir afficher différentes statistiques sur l'expérience, permettant d'évaluer l'efficacité des différentes algorithmes.
Je préfère donner directement cette fonction afin de fixer les signatures des différentes classes qu'on va écrire ensuite :
- Les bras ont besoin d'une seule méthode,
tire()qui donne $r_k(t) \sim \nu_k$ à l'instant $t$ pour la distribution $\nu_k$ du $k^{\text{ième}}$ bras, notér_k_t. - Les algorithmes ont besoin de trois méthodes :
commence()pour initialiser l'algorithme, une fois,A_t = choix()pour choisir un bras, à chaque instant $t$, noté $A(t) \in \{1,\dots,K\}$,recompense(A_t, r_k_t)pour donner la récompenser_k_ttirée du brasA_t.
def simulation(bras, algorithme, horizon):
""" Simule l'algorithme donné sur ces bras, durant horizon étapes."""
choix, recompenses = np.zeros(horizon), np.zeros(horizon)
# 1. Initialise l'algorithme
algorithme.commence()
# 2. Boucle en temps, pour t = 0 à horizon - 1
for t in range(horizon):
# 2.a. L'algorithme choisi son bras à essayer
A_t = algorithme.choix()
# 2.b. Le bras k donne une récompense
r_k_t = bras[A_t].tire()
# 2.c. La récompense est donnée à l'algorithme
algorithme.recompense(A_t, r_k_t)
# 2.d. On stocke les deux
choix[t] = A_t
recompenses[t] = r_k_t
# 3. On termine en renvoyant ces deux vecteurs
return recompenses, choix
Bras stochastiques, de Bernoulli¶
Les récompenses de tels bras, notées $r_k(t)$ pour le bras $k$ à l'instant $t$, sont tirées de façons identiquement distribuées et indépendantes, selon une loi de Bernoulli : $$ \forall t\in\mathbb{N}, \forall k\in\{1,\dots,K\}, r_k(t) \in \{0,1\}, \;\text{et}\; r_k(t) \sim \mathrm{B}(\mu_k). $$
class Bernoulli():
""" Bras distribués selon une loi de Bernoulli."""
def __init__(self, probabilite):
assert 0 <= probabilite <= 1, "Erreur, probabilite doit être entre 0 et 1 pour un bras de Bernoulli."
self.probabilite = probabilite
def tire(self):
""" Tire une récompense aléatoire."""
return float(rd.random() <= self.probabilite)
Par exemple, on peut considérer le problème à trois bras ($K = 3$), caractérisé par ces paramètres $\boldsymbol{\mu} = [\mu_1,\dots,\mu_K] = [0.1, 0.5, 0.9]$ :
mus = [ 0.1, 0.5, 0.9 ]
bras = [ Bernoulli(mu) for mu in mus ]
On peut prendre 10 échantillons de chaque bras, et vérifier leurs moyennes :
rd.seed(10000) # pour être reproductible.
T = 10
exemples_echantillons = [ [ bras_k.tire() for _ in range(T) ] for bras_k in bras ]
exemples_echantillons
np.mean(exemples_echantillons, axis=1)
C'est assez proche de $\boldsymbol{\mu} = [\mu_1,\dots,\mu_K] = [0.1, 0.5, 0.9]$...
Présentation des algorithmes de bandit¶
Comme on l'a dit plus haut, les algorithmes ont besoin de trois méthodes :
commence()pour initialiser l'algorithme, une fois. Généralement, il s'agit de remettre à zero les vecteurs de mémoires internes de l'algorithme, et de mettre $t = 0$.A_t = choix()pour choisir un bras, à chaque instant $t$, noté $A(t) \in \{1,\dots,K\}$. C'est la partie "intelligente" qui doit être conçue avec soin.recompense(A_t, r_k_t)pour donner la récompenser_k_ttirée du brasA_t. Souvent, il suffit de mettre à jour les deux ou trois vecteurs internes.
En fait, il faut aussi une méthode pour créer l'instance de la classe, i.e., une méthode __init__(K), qui demande de simplement connaître $K$, le nombre de bras.
Bien-sûr, les algorithmes ne doivent pas connaître $\boldsymbol{\mu} = [\mu_1,\dots,\mu_K]$ les paramètres du problème... Sinon l'apprentissage n'a aucun intérêt : il suffit de viser $k^* = \arg\max_k \mu_k$...
- Lisez ce paragraphe sur la page Wikipédia précédemment citée#R.C3.A9solution_du_probl.C3.A8me), il est assez instructif.
Deux algorithmes naïfs¶
On va commencer par donner deux exemples naïfs :
Un algorithme "stupide" qui choisi un bras de façon complètement uniforme, $A^{1}(t) \sim U(1,\dots,K), \forall t$, à chaque instant $t \in \mathbb{N}$, via la classe
ChoixUniforme.Un algorithme moins stupide, mais assez naïf, qui utilise un estimateur empirique $\widehat{\mu_k}(t) = \frac{X_k(t)}{N_k(t)}$ de la moyenne de chaque bras, et tire $A^{2}(t) \in \arg\max_k \widehat{\mu_k}(t)$ à chaque instant $t \in \mathbb{N}$. Ici, $X_k(t) = \sum_{\tau=0}^{t} \mathbb{1}(A(\tau) = k) r_k(\tau)$ compte les récompenses accumulées en tirant le bras $k$, sur les instants $t = 0,\dots,\tau$. Et $N_k(t) = \sum_{\tau=0}^{t} \mathbb{1}(A(\tau) = k)$ compte le nombre de sélections de ce bras $k$. Via la classe
MoyenneEmpirique.
ChoixUniforme¶
C'est l'algorithme le plus naïf : à chaque instant, le bras choisi est tiré uniformément dans $\{0,\dots,K-1\}$ (notation Python, on indice à partir de $0$).
class ChoixUniforme(object):
"""Algorithme stupide, choix uniforme."""
def __init__(self, K):
"""Crée l'instance de l'algorithme."""
self.K = K
def commence(self):
"""Initialise l'algorithme : rien à faire ici."""
pass
def choix(self):
"""Choix uniforme d'un indice A(t) ~ U(1...K)."""
return rd.randint(0, self.K - 1)
def recompense(self, k, r):
"""Donne une récompense r tirée sur le bras k à l'algorithme : rien à faire ici."""
pass
MoyenneEmpirique¶
Voilà qui donne une bonne idée de la structure que vont devoir suivre les différentes algorithmes.
L'algorithme suivant est un peu plus complexe. Il est aussi appelé "Follow the Leader" (FTL).
class MoyenneEmpirique(object):
"""Algorithme naïf, qui utilise la moyenne empirique."""
def __init__(self, K):
"""Crée l'instance de l'algorithme."""
self.K = K
# Il nous faut de la mémoire interne
self.recompenses = np.zeros(K) # X_k(t) pour chaque k
self.tirages = np.zeros(K) # N_k(t) pour chaque k
self.t = 0 # Temps t interne
def commence(self):
"""Initialise l'algorithme : remet à zeros chaque X_k et N_k, et t = 0."""
self.recompenses.fill(0)
self.tirages.fill(0)
self.t = 0
def choix(self):
"""Si on a vu tous les bras, on prend celui de moyenne empirique la plus grande."""
# 1er cas : il y a encore des bras qu'on a jamais vu
if np.min(self.tirages) == 0:
k = np.min(np.where(self.tirages == 0)[0])
# 2nd cas : tous les bras ont été essayé
else:
# Notez qu'on aurait pu ne stocker que ce vecteur moyennes_empiriques
moyennes_empiriques = self.recompenses / self.tirages
k = np.argmax(moyennes_empiriques)
self.t += 1 # Inutile ici
return k
def recompense(self, k, r):
"""Donne une récompense r tirée sur le bras k à l'algorithme : met à jour les deux vecteurs internes."""
self.recompenses[k] += r
self.tirages[k] += 1
Approche fréquentiste, UCB1, "Upper Confidence Bound"¶
Il s'agit d'une amélioration de l'algorithme précédent, où on utilise un autre indice.
Au lieu d'utiliser la moyenne empirique $g_k(t) = \widehat{\mu_k}(t) = \frac{X_k(t)}{N_k(t)}$ et $A(t) = \arg\max_k g_k(t)$, on utilise une borne supérieure d'un intervalle de confiance autour de cette moyenne : $$g'_k(t) = \widehat{\mu_k}(t) + \sqrt{\alpha \frac{\log t}{N_k(t)}}.$$ Et cet indice est toujours utilisé pour décider le bras à essayer à chaque instant : $$A^{\mathrm{UCB}1}(t) = \arg\max_k g'_k(t).$$
Il faut une constante $\alpha \geq 0$, qu'on choisira $\alpha \geq \frac12$ pour avoir des performances raisonnables. $\alpha$ contrôle le compromis entre exploitation et exploration, et ne doit pas être trop grand. $\alpha = 1$ est un bon choix par défaut.
On va gagner du temps en héritant de la classe
MoyenneEmpiriqueprécédente. Ça permet de ne pas réécrire les méthodes qui sont déjà bien écrites.
class UCB1(MoyenneEmpirique):
"""Algorithme UCB1."""
def __init__(self, K, alpha=1):
"""Crée l'instance de l'algorithme. Par défaut, alpha=1."""
super(UCB1, self).__init__(K) # On laisse la classe mère faire le travaille
assert alpha >= 0, "Erreur : alpha doit etre >= 0."
self.alpha = alpha
def choix(self):
"""Si on a vu tous les bras, on prend celui d'indice moyenne empirique + UCB le plus grand."""
self.t += 1 # Nécessaire ici
# 1er cas : il y a encore des bras qu'on a jamais vu
if np.min(self.tirages) == 0:
k = np.min(np.where(self.tirages == 0)[0])
# 2nd cas : tous les bras ont été essayé
else:
moyennes_empiriques = self.recompenses / self.tirages
ucb = np.sqrt(self.alpha * np.log(self.t) / self.tirages)
indices = moyennes_empiriques + ucb
k = np.argmax(indices)
return k
Variantes d'UCB : UCB-V et UCB-H¶
On peut rapidement implémenter deux variantes d'UCB, UCB-V qui utilise les carrés des récompenses pour estimer la variance de chaque bras et calculer un meilleur intervalle de confiance, et UCB-H qui utilise la connaissance de l'horizon $T$ de l'expérience pour utiliser $\sqrt{\log(T) / N_k(t)}$ à la place de $\sqrt{\log(t) / N_k(t)}$ et obtenir de meilleures performances.
class UCBV(MoyenneEmpirique):
"""Algorithme UCBV."""
def __init__(self, K, alpha=1):
"""Crée l'instance de l'algorithme. Par défaut, alpha=1."""
super(UCBV, self).__init__(K) # On laisse la classe mère faire le travaille
assert alpha >= 0, "Erreur : alpha doit etre >= 0."
self.alpha = alpha
self.recompensesCarrees = np.zeros(K) # somme des r_k(t)^2 pour chaque k
def recompense(self, k, r):
"""Donne une récompense r tirée sur le bras k à l'algorithme : met à jour les deux vecteurs internes."""
self.recompenses[k] += r
self.recompensesCarrees[k] += r ** 2
self.tirages[k] += 1
def choix(self):
"""Si on a vu tous les bras, on prend celui d'indice moyenne empirique + UCB le plus grand."""
self.t += 1 # Nécessaire ici
# 1er cas : il y a encore des bras qu'on a jamais vu
if np.min(self.tirages) == 0:
k = np.min(np.where(self.tirages == 0)[0])
# 2nd cas : tous les bras ont été essayé
else:
moyennes_empiriques = self.recompenses / self.tirages
variance = (self.recompensesCarrees / self.tirages) - moyennes_empiriques ** 2 # Estimee de la variance
ucb = np.sqrt(self.alpha * np.log(self.t) * variance / self.tirages) + 3.0 * np.log(self.t) / self.tirages
indices = moyennes_empiriques + ucb
k = np.argmax(indices)
return k
Et pour UCBH :
class UCBH(MoyenneEmpirique):
"""Algorithme UCBH."""
def __init__(self, K, horizon, alpha=1):
"""Crée l'instance de l'algorithme. Par défaut, alpha=1."""
super(UCBH, self).__init__(K) # On laisse la classe mère faire le travaille
self.horizon = int(horizon)
assert alpha >= 0, "Erreur : alpha doit etre >= 0."
self.alpha = alpha
def choix(self):
"""Si on a vu tous les bras, on prend celui d'indice moyenne empirique + UCB le plus grand."""
self.t += 1 # Nécessaire ici
# 1er cas : il y a encore des bras qu'on a jamais vu
if np.min(self.tirages) == 0:
k = np.min(np.where(self.tirages == 0)[0])
# 2nd cas : tous les bras ont été essayé
else:
moyennes_empiriques = self.recompenses / self.tirages
ucb = np.sqrt(self.alpha * np.log(self.horizon) / self.tirages)
indices = moyennes_empiriques + ucb
k = np.argmax(indices)
return k
Approche fréquentiste optimale, KL-UCB, "Kullback-Leibler UCB"¶
KL binaire¶
Pour $x,y\in\{0,1\}$, $x,y\neq 0,1$, $\mathrm{kl}(x,y)$, on définit la divergence de Kullback-Leibler binaire de $x$ et $y$ comme la KL de deux lois de Bernoulli de moyennes $x$ et $y$, ce qui est défini comme : $$\mathrm{kl}(x,y) := x \log\left(\frac{x}{y}\right) + (1-x)\log\left(\frac{1-x}{1-y}\right).$$
Pour vous facilier la tâche, la fonction $\mathrm{kl}$ est déjà implémentée, ainsi qu'une fonction pour résoudre (de façon approchée) le probl_me d'optimisation contrainte qui définit l'indice $g_k''(t)$.
# Just forcing the ?? in Jupyter to be in the main document (to be saved) and not a floating window.
# Thanks to https://nbviewer.jupyter.org/gist/minrk/7715212
from __future__ import print_function
from IPython.core import page
def myprint(s):
try:
print(s['text/plain'])
except (KeyError, TypeError):
print(s)
page.page = myprint
from kullback import klBern
klBern?
KLUCB¶
Il s'agit d'une autre amélioration de l'algorithme précédent, où on utilise un autre indice.
Au lieu d'utiliser une borne supérieure d'un intervalle de confiance autour de cette moyenne, on utilise la pseudo-distance de Kullback-Leibler afin d'obtenir l'intervale de confiance optimal : $$g''_k(t) = \sup\limits_{q \in [0,1]} \left\{ q : \mathrm{kl}(\hat{\mu}_k(t), q) \leq \frac{f(t)}{N_k(t)} \right\}.$$ Et cet indice est toujours utilisé pour décider le bras à essayer à chaque instant : $$A^{\mathrm{KLUCB}}(t) = \arg\max_k g''_k(t).$$
On utilise $$f(t) := \log(t) + c\log\log(t).$$ Il faut une constante $c \geq 0$, qu'on doit choisir $c > 0$ pour simplifier les preuves théoriques. En pratique, $c = 0$ est un bon choix par défaut.
from kullback import klucb
klucb?
# do klucb?? to see the code
from kullback import klucbBern
klucbBern?
# do klucbBern?? to see the code
C'est assez facile avec tout ça :
def f(t, c=0):
return np.log(t) + c * np.log(np.maximum(0, np.log(t)))
class KLUCB(MoyenneEmpirique):
"""Algorithme KLUCB."""
def __init__(self, K, c=0, tolerance=1e-4):
"""Crée l'instance de l'algorithme. Par défaut, c=0."""
super(KLUCB, self).__init__(K) # On laisse la classe mère faire le travaille
assert c >= 0, "Erreur : c doit etre >= 0."
self.c = c
self.tolerance = tolerance
# Version vectorisée
self.klucb = np.vectorize(klucbBern)
def choix(self):
"""Si on a vu tous les bras, on prend celui d'indice KLUCB le plus grand."""
self.t += 1 # Nécessaire ici
# 1er cas : il y a encore des bras qu'on a jamais vu
if np.min(self.tirages) == 0:
k = np.min(np.where(self.tirages == 0)[0])
# 2nd cas : tous les bras ont été essayé
else:
indices = self.klucb(self.recompenses / self.tirages, f(self.t, self.c) / self.tirages, self.tolerance)
k = np.argmax(indices)
return k
Approche bayésienne, Thompson Sampling¶
Ce petit article explique très bien l'approche bayésienne.
On a besoin de savoir manipuler des posteriors, qui seront les posteriors conjugués des distributions des bras.
Pour des bras de Bernoulli, le posterior conjugué associé est une loi Beta, notée $\mathrm{Beta}(\alpha,\beta)$ pour deux paramètres $\alpha,\beta > 0$.
- Les posteriors sont initialisés à $\mathrm{Beta}(1, 1) = U([0,1])$, c'est-à-dire qu'on met un a priori uniforme sur les $\mu_k$, comme on ne connaît que $\mu_k \in [0,1]$.
- Comme les observations sont binaires, $r_k(t) \in \{0,1\}$, les paramètres $\alpha$,$\beta$ restent entiers.
from numpy.random import beta
class Beta():
"""Posteriors d'expériences de Bernoulli."""
def __init__(self):
self.N = [1, 1]
def reinitialise(self):
self.N = [1, 1]
def echantillon(self):
"""Un échantillon aléatoire de ce posterior Beta."""
return beta(self.N[1], self.N[0])
def observe(self, obs):
"""Ajoute une nouvelle observation. Si 'obs'=1, augmente alpha, sinon si 'obs'=0, augmente beta."""
self.N[int(obs)] += 1
Dès qu'on sait manipuler ces postériors Beta, on peut implémenter rapidement le dernier algorithme, Thompson Sampling.
Les paramètres du posterior sur $\mu_k$, i.e., $\alpha_k(t)$,$\beta_k(t)$ seront mis à jour à chaque étape pour compter le nombre d'observations réussies et échouées : $$ \alpha_k(t) = 1 + X_k(t) \\ \beta_k(t) = 1 + N_k(t) - X_k(t).$$
La moyenne empirique estimant $\mu_k$ sera, à l'instant $t$, $$ \widetilde{\mu_k}(t) = \frac{\alpha_k(t)}{\alpha_k(t) + \beta_k(t)} = \frac{1 + X_k(t)}{2 + N_k(t)} \simeq \frac{X_k(t)}{N_k(t)}.$$
La différence avec UCB1 est que la prise de décision de Thompson Sampling se fait sur un indice, tiré aléatoirement selon les posteriors. C'est une politique d'indice randomisée.
D'un point de vue bayésien, un modèle est tiré selon les posteriors, puis on joue selon le meilleur modèle : $$ g'''_k(t) \sim \mathrm{Beta}(\alpha_k(t), \beta_k(t)) \\ A^{\mathrm{TS}}(t) = \arg\max_k g'''_k(t). $$
class ThompsonSampling(MoyenneEmpirique):
"""Algorithme Thompson Sampling."""
def __init__(self, K, posterior=Beta):
"""Crée l'instance de l'algorithme. Par défaut, alpha=1."""
self.K = K
# On créé K posteriors
self.posteriors = [posterior() for k in range(K)]
def commence(self):
"""Réinitialise les K posteriors."""
for posterior in self.posteriors:
posterior.reinitialise()
def choix(self):
"""On tire K modèles depuis les posteriors, et on joue dans le meilleur."""
moyennes_estimees = [posterior.echantillon() for posterior in self.posteriors]
k = np.argmax(moyennes_estimees)
return k
def recompense(self, k, r):
"""Observe cette récompense r sur le bras k en mettant à jour le kième posterior."""
self.posteriors[k].observe(r)
Exemples de simulations¶
On va comparer, sur deux problèmes, les 4 algorithmes définis plus haut.
Les problèmes sont caractérisés par les moyennes des bras de Bernoulli, $\boldsymbol{\mu} = [\mu_1,\dots,\mu_K]$, et on les suppose ordonnées par ordre décroissant : $\mu_1 > \mu_2 \ge \dots \ge \mu_K$.
On affichera plusieurs choses, dans des graphiques au cours du temps $t = 0, \dots, T$ pour un horizon $T = 1000$ ou $T = 5000$ étapes :
- leurs taux de sélection du meilleur bras $k^*$, (qui sera toujours $\mu_1$ le premier bras), i.e., $N_k(t) / t$ en $\%$, pour chaque algorithme,
- leurs récompenses accumulées, i.e., $R(t) = \sum_{\tau=0}^{t} \sum_{k=1}^{K} X_k(\tau) \mathbb{1}(A(t) = k)$, pour chaque algorithme,
- les récompenses moyennes, i.e., $R(t) / t$, qui devrait converger vers $\mu^* = \mu_{k^*} = \mu_1$,
- et enfin leurs regret. Cette notion est moins triviale, mais pour notre problème simple il se définit comme la perte, en récompenses accumulées, entre la meilleure stratégie (toujours sélectionner le meilleur bras $k^* = 1$) et la performance de l'algorithme : $$ \mathcal{R}(t) = \mu^* t - R(t) $$ On souhaite maximiser $R(t)$, donc minimiser $\mathcal{R}(t)$. Les algorithmes "efficaces" ont typiquement un regret logarithmique, i.e., $\mathcal{R}(T) = \mathcal{O}(\log T)$ asymptotiquement, ce qu'on souhaiterait vérifier.
Fonctions pour l'affichage¶
On définit 4 fonctions d'affichage pour ces quantités.
mpl.rcParams['figure.figsize'] = (15, 8)
def affiche_selections(choix, noms, kstar=0):
plt.figure()
for i, c in enumerate(choix):
selection_kstar = 1.0 * (c == kstar)
selection_moyenne = np.cumsum(selection_kstar) / np.cumsum(np.ones_like(c))
plt.plot(selection_moyenne, label=noms[i])
plt.legend()
plt.xlabel("Temps discret, $t = 1, ..., T = {}$".format(len(choix[0])))
plt.ylabel("Taux de sélection")
plt.title("Sélection du meilleur bras #{} pour différents algorithmes".format(1 + kstar))
plt.show()
def affiche_recompenses(recompenses, noms):
plt.figure()
for i, r in enumerate(recompenses):
recompense_accumulee = np.cumsum(r)
plt.plot(recompense_accumulee, label=noms[i])
plt.legend()
plt.xlabel("Temps discret, $t = 1, ..., T = {}$".format(len(recompenses[0])))
plt.ylabel("Récompenses accumulées")
plt.title("Récompenses accumulées pour différents algorithmes")
plt.show()
def affiche_recompenses_moyennes(recompenses, noms):
plt.figure()
for i, r in enumerate(recompenses):
recompense_moyenne = np.cumsum(r) / np.cumsum(np.ones_like(r))
plt.plot(recompense_moyenne, label=noms[i])
plt.legend()
plt.xlabel("Temps discret, $t = 1, ..., T = {}$".format(len(recompenses[0])))
plt.ylabel(r"Récompenses moyennes $\in [0, 1]$")
plt.title("Récompenses moyennes pour différents algorithmes")
plt.show()
def affiche_regret(recompenses, noms, mustar=1):
plt.figure()
for i, r in enumerate(recompenses):
recompense_accumulee = np.cumsum(r)
regret = mustar * np.cumsum(np.ones_like(r)) - recompense_accumulee
plt.plot(regret, label=noms[i])
plt.legend()
plt.xlabel("Temps discret, $t = 1, ..., T = {}$".format(len(recompenses[0])))
plt.ylabel("Regret")
plt.title("Regret accumulé pour différents algorithmes")
plt.show()
Pour afficher un histogramme, c'est moins évident, mais voici :
def nrows_ncols(N):
"""(nrows, ncols) pour créer un subplots de N figures avec les bonnes dimensions."""
nrows = int(np.ceil(np.sqrt(N)))
ncols = N // nrows
while N > nrows * ncols:
ncols += 1
nrows, ncols = max(nrows, ncols), min(nrows, ncols)
return nrows, ncols
def affiche_hist_regret(recompenses, noms, horizon, mustar=1):
nrows, ncols = nrows_ncols(len(noms))
fig, axes = plt.subplots(nrows, ncols, sharex=False, sharey=False)
fig.suptitle("Histogramme du regret à $t = T = {}$ pour différents algorithmes".format(len(choix[0])))
# XXX See https://stackoverflow.com/a/36542971/
ax0 = fig.add_subplot(111, frame_on=False) # add a big axes, hide frame
ax0.grid(False) # hide grid
ax0.tick_params(labelcolor='none', top='off', bottom='off', left='off', right='off') # hide tick and tick label of the big axes
# Add only once the ylabel, xlabel, in the middle
ax0.set_ylabel("Distribution")
ax0.set_xlabel("Regret")
for i, r in enumerate(recompenses):
x, y = i % nrows, i // nrows
ax = axes[x, y] if ncols > 1 else axes[x]
regret = mustar * horizon - r
ax.hist(regret, normed=True, bins=25)
ax.set_title(noms[i])
plt.show()
Premier problème, à 3 bras¶
On reprend le problème donné plus haut :
horizon = 1000
mus = [0.9, 0.5, 0.1]
bras = [ Bernoulli(mu) for mu in mus ]
K = len(mus)
kstar = np.argmax(mus) # = 0
horizon, mus, bras, K, kstar
algorithmes = [ChoixUniforme(K), MoyenneEmpirique(K),
UCB1(K, alpha=1), UCBV(K, alpha=1), UCBH(K, horizon, alpha=1),
KLUCB(K), ThompsonSampling(K)]
algorithmes
Pour les légendes, on a besoin des noms des algorithmes :
noms = ["ChoixUniforme", "MoyenneEmpirique",
"UCB1(alpha=1)", "UCBV(alpha=1)", "UCBH(alpha=1)",
"KLUCB", "ThompsonSampling"]
On peut commencer la simulation, pour chaque algorithme.
%%time
N = len(algorithmes)
recompenses, choix = np.zeros((N, horizon)), np.zeros((N, horizon))
for i, alg in tqdm(enumerate(algorithmes), desc="Algorithmes"):
rec, ch = simulation(bras, alg, horizon)
recompenses[i] = rec
choix[i] = ch
recompenses, choix
On affiche et vérifie les résultats attendus :
affiche_selections(choix, noms, kstar)
affiche_recompenses(recompenses, noms)
affiche_recompenses_moyennes(recompenses, noms)
affiche_regret(recompenses, noms, mustar=mus[kstar])
$\implies$ L'algorithme uniforme est, bien évidemment, très inefficace ! Il empêche de visualiser le regret des trois autres algorithmes.
Et sur ce problème simple à trois bras, avec une seule simulation (donc une variance immense), difficile de savoir lequel des trois algorithmes est le plus efficace...
Second problème, à 9 bras¶
horizon = 5000
mus = [0.9, 0.8, 0.7, 0.6, 0.5, 0.4, 0.3, 0.2, 0.1]
bras = [ Bernoulli(mu) for mu in mus ]
K = len(mus)
kstar = np.argmax(mus) # = 0
horizon, mus, bras, K, kstar
On va comparer différents choix de $\alpha$ pour l'algorithme UCB : $\alpha = 4, 1, 0.5, 0.1$.
algorithmes = [MoyenneEmpirique(K),
UCB1(K, alpha=4), UCB1(K, alpha=1), UCB1(K, alpha=0.5), UCB1(K, alpha=0.1),
UCBV(K, alpha=1), UCBH(K, horizon, alpha=1),
KLUCB(K), ThompsonSampling(K)]
algorithmes
Pour les légendes, on a besoin des noms des algorithmes :
noms = ["MoyenneEmpirique",
"UCB1(alpha=4)", "UCB1(alpha=1)", "UCB1(alpha=0.5)", "UCB1(alpha=0.1)",
"UCBV(alpha=1)", "UCBH(alpha=1)",
"KLUCB", "ThompsonSampling"]
On peut commencer la simulation, pour chaque algorithme.
%%time
N = len(algorithmes)
recompenses, choix = np.zeros((N, horizon)), np.zeros((N, horizon))
for i, alg in tqdm(enumerate(algorithmes), desc="Algorithmes"):
rec, ch = simulation(bras, alg, horizon)
recompenses[i] = rec
choix[i] = ch
recompenses, choix
On affiche et vérifie les résultats attendus :
affiche_selections(choix, noms, kstar)
On commence à voir une différence de vitesse de convergence, pour l'identification du meilleur bras.
affiche_recompenses(recompenses, noms)
Difficile de différence quel algorithme est le plus efficace, même si clairement les plus grandes valeurs de $\alpha = 4, 1$ pour UCB semblent avoir moins bien fonctionné.
affiche_recompenses_moyennes(recompenses, noms)
En terme de récompenses moyennes au cours du temps, les 4 algorithmes les plus efficaces convergent vers $\mu^* = \mu_1 = 0.9$.
affiche_regret(recompenses, noms, mustar=mus[kstar])
Encore une fois, une seule simulation ne permet pas vraiment de conclure...
Mais on voit quand même :
- KLUCB, UCBH et Thompson Sampling sont tous les trois très efficaces,
- UCBV ne semble pas meilleur que UCB,
- Et FTL (MoyenneEmpirique) est pas si mauvais !
Troisième problème, simulé 100 fois¶
On s'intéresse au même problème, mais simulé 100 fois et sur un horizon plus long ($T = 10000$).
On s'intéressera ensuite aux statistiques moyennes (du regret cumulé) sur ces 100 répétitions pour les graphiques. On doit aussi considérer la distribution du regret (par exemple à $t=T$ fixé), afin de vérifier que chaque répétition de l'expérience a donné des résultats similaires (la moyenne efface les valeurs extrêmes si elles sont peu présentes).
horizon = 10000
repetitions = 100
mus = [0.9, 0.8, 0.7, 0.6, 0.5, 0.4, 0.3, 0.2, 0.1]
bras = [ Bernoulli(mu) for mu in mus ]
K = len(mus)
kstar = np.argmax(mus) # = 0
horizon, repetitions, mus, bras, K, kstar
On va comparer différents choix de $\alpha$ pour l'algorithme UCB : $\alpha = 4, 1, 0.5, 0.1$.
algorithmes = [MoyenneEmpirique(K),
UCB1(K, alpha=4), UCB1(K, alpha=1), UCB1(K, alpha=0.5), UCB1(K, alpha=0.1),
UCBV(K, alpha=1), UCBH(K, horizon, alpha=1),
KLUCB(K), ThompsonSampling(K)]
algorithmes
Pour les légendes, on a besoin des noms des algorithmes :
noms = ["MoyenneEmpirique",
"UCB1(alpha=4)", "UCB1(alpha=1)", "UCB1(alpha=0.5)", "UCB1(alpha=0.1)",
"UCBV(alpha=1)", "UCBH(alpha=1)",
"KLUCB", "ThompsonSampling"]
On peut commencer la simulation, pour chaque algorithme.
%%time
N = len(algorithmes)
recompenses, choix = np.zeros((N, repetitions, horizon)), np.zeros((N, repetitions, horizon))
# Pour chaque répétitions
for rep in tqdm(range(repetitions), desc="Répétitions"):
for i, alg in enumerate(algorithmes):
rec, ch = simulation(bras, alg, horizon)
recompenses[i, rep] = rec
choix[i, rep] = ch
# On moyenne
recompenses_moy = np.mean(recompenses, axis=1)
choix_moy = np.mean(choix, axis=1)
print("Dimension de 'recompenses_moy' =", np.shape(recompenses_moy)) # juste pour vérifier
# On garde la distribution à t=T
recompenses_fin = np.sum(recompenses, axis=2)
choix_fin = np.sum(choix, axis=2)
print("Dimension de 'recompenses_fin' =", np.shape(recompenses_fin)) # juste pour vérifier
Cette fois, les statistiques accumulées ne sont plus entières.
recompenses_moy, choix_moy
recompenses_fin
On affiche et vérifie les résultats attendus :
choix_moy = np.floor(choix_moy)
affiche_selections(choix_moy, noms, kstar)
On commence à voir une différence de vitesse de convergence, pour l'identification du meilleur bras.
affiche_recompenses(recompenses_moy, noms)
Difficile de différence quel algorithme est le plus efficace, même si clairement les plus grandes valeurs de $\alpha = 4, 1$ pour UCB semblent avoir moins bien fonctionner.
affiche_recompenses_moyennes(recompenses_moy, noms)
En terme de récompenses moyennes au cours du temps, les 4 algorithmes les plus efficaces convergent vers $\mu^* = \mu_1 = 0.9$.
affiche_regret(recompenses_moy, noms, mustar=mus[kstar])
affiche_hist_regret(recompenses_fin, noms, horizon, mustar=mus[kstar])
Attention, l'axe $x$ est différent pour chaque histogramme !
Cette fois, ces 100 simulations permet de conclure quelques points :
MoyenneEmpiriqueconverge rapidement au début, mais son regret $\mathcal{R}(t)$ ne semble pas avoir un profil logarithmique (il faudrait essayer de plus grands horizons pour le confirmer),- Les différents
UCBsemblent tous avoir un regret logarithmique, i.e., $\mathcal{R}(t) = \mathcal{O}(\log t)$, et plus le $\alpha$ est petit, plus le regret est bas, ThompsonSamplingetKLUCBfonctionnent très bien, sans avoir à choisir de constante $\alpha$.
Dernier problème¶
On s'intéresse enfin à un problème bien plus difficile.
horizon = 10000
repetitions = 10
mus = [0.3, 0.05, 0.05, 0.05, 0.05, 0.05, 0.05, 0.02, 0.02, 0.02, 0.01, 0.01, 0.005, 0.005, 0.001, 0.001]
bras = [ Bernoulli(mu) for mu in mus ]
K = len(mus)
kstar = np.argmax(mus)
horizon, repetitions, mus, bras, K, kstar
On va comparer différents choix de $\alpha$ pour l'algorithme UCB : $\alpha = 4, 1, 0.5, 0.1, 0.01, 0.001$.
algorithmes = [MoyenneEmpirique(K),
UCB1(K, alpha=4), UCB1(K, alpha=1), UCB1(K, alpha=0.5),
UCB1(K, alpha=0.1), UCB1(K, alpha=0.01), UCB1(K, alpha=0.001),
UCBV(K, alpha=1), UCBH(K, horizon, alpha=1),
KLUCB(K), ThompsonSampling(K)]
algorithmes
Pour les légendes, on a besoin des noms des algorithmes :
noms = ["MoyenneEmpirique",
"UCB1(alpha=4)", "UCB1(alpha=1)", "UCB1(alpha=0.5)",
"UCB1(alpha=0.1)", "UCB1(alpha=0.01)", "UCB1(alpha=0.001)",
"UCBV(alpha=1)", "UCBH(alpha=1)",
"KLUCB", "ThompsonSampling"]
On peut commencer la simulation, pour chaque algorithme.
%%time
N = len(algorithmes)
recompenses, choix = np.zeros((N, repetitions, horizon)), np.zeros((N, repetitions, horizon))
# Pour chaque répétitions
for rep in tqdm(range(repetitions), desc="Répétitions"):
for i, alg in enumerate(algorithmes):
rec, ch = simulation(bras, alg, horizon)
recompenses[i, rep] = rec
choix[i, rep] = ch
# On moyenne
recompenses_moy = np.mean(recompenses, axis=1)
choix_moy = np.mean(choix, axis=1)
print("Dimension de 'recompenses_moy' =", np.shape(recompenses_moy)) # juste pour vérifier
# On garde la distribution à t=T
recompenses_fin = np.sum(recompenses, axis=2)
choix_fin = np.sum(choix, axis=2)
print("Dimension de 'recompenses_fin' =", np.shape(recompenses_fin)) # juste pour vérifier
Cette fois, les statistiques accumulées ne sont plus entières.
recompenses_moy, choix_moy
On affiche et vérifie les résultats attendus :
choix_moy = np.floor(choix_moy)
affiche_selections(choix_moy, noms, kstar)
On commence à voir une différence de vitesse de convergence, pour l'identification du meilleur bras.
affiche_recompenses(recompenses_moy, noms)
Difficile de différence quel algorithme est le plus efficace, même si clairement les plus grandes valeurs de $\alpha = 4, 1$ pour UCB semblent avoir moins bien fonctionner.
affiche_recompenses_moyennes(recompenses_moy, noms)
En terme de récompenses moyennes au cours du temps, les 4 algorithmes les plus efficaces convergent vers $\mu^* = \mu_1 = 0.9$.
affiche_regret(recompenses_moy, noms, mustar=mus[kstar])
affiche_hist_regret(recompenses_fin, noms, horizon, mustar=mus[kstar])
Cette fois, cette autre simulation permet de renforcer les conclusions précédentes :
MoyenneEmpiriqueconverge rapidement au début, mais son regret $\mathcal{R}(t)$ ne semble pas avoir un profil logarithmique (il faudrait essayer de plus grands horizons pour le confirmer). De plus, sur l'histogramme on voit que pour certaines expériences ses performances sont très mauvaises.- Les différents
UCB1semblent tous avoir un regret logarithmique, i.e., $\mathcal{R}(t) = \mathcal{O}(\log t)$, et plus le $\alpha$ est petit, plus le regret est bas, - Mais si $\alpha$ est trop petit (e.g., $\alpha = 10^{-3}$),
UCB1(alpha)n'est pas assez exploiteur, et pour ce problème à $K=15$ bras, il ne fonctionne plus bien, ThompsonSamplingetKLUCBfonctionnent généralement aussi bien qu'unUCB1avec "la bonne constante".
Une autre politique d'indice : ApproximatedFHGittins¶
Je propose de terminer par l'implémentation d'un dernier algorithme, ressemblant beaucoup à UCB1, mais qui utilise des indices un peu plus compliqués à calculer.
Il s'agit de l'algorithme proposé en 2016 par Tor Lattimore, dans cet article (et sa présentation à COLT'16), nommé ApproximatedFHGittins, pour Approximated Finite-Horizon Gittins index, ou Approximation des Indices de Gittins à Horizon Fini en français.
Cet algorithme exige de connaître l'horizon $T$, et calcule l'indice suivant, au temps $t$ et après $N_k(t)$ sélections du bras $k$ : $$ I_k(t) = \frac{X_k(t)}{N_k(t)} + \sqrt{\frac{\alpha}{2 N_k(t)} \log\left( \frac{m}{N_k(t) \log^{1/2}\left( \frac{m}{N_k(t)} \right)} \right)}, \\ \text{où}\;\; m = T - t + 1.$$
- Notez que ce terme $\log^{1/2}(\dots) = \sqrt(\log(\dots))$ peut être indéfini, dès que $m < N_k(t)$, donc en pratique, $\sqrt(\max(0, \log(\dots))$ est préférable, ou alors un horizon un peu plus grand peut être utilisé à la place, pour rendre $m$ un peu plus grand (e.g., $T' = 1.1 T$).
- Si besoin, voir mon implémentation.
class ApproximatedFHGittins(MoyenneEmpirique):
"""Algorithme ApproximatedFHGittins de Tor Lattimore."""
def __init__(self, K, horizon, alpha=1):
"""Crée l'instance de l'algorithme. Par défaut, alpha=1."""
super(ApproximatedFHGittins, self).__init__(K) # On laisse la classe mère faire le travaille
self.horizon = horizon
assert alpha >= 0, "Erreur : alpha doit etre >= 0."
self.alpha = alpha
def choix(self):
"""Si on a vu tous les bras, on prend celui d'indice le plus grand."""
self.t += 1 # Nécessaire ici
# 1er cas : il y a encore des bras qu'on a jamais vu
if np.min(self.tirages) == 0:
k = np.min(np.where(self.tirages == 0)[0])
# 2nd cas : tous les bras ont été essayé
else:
# D'abord les moyennes
moyennes_empiriques = self.recompenses / self.tirages
# Puis le terme supplémentaire
m = self.horizon - self.t + 1
m_sur_Nk = m / self.tirages
logdemi = np.sqrt(np.maximum(0, np.log(m_sur_Nk)))
terme_sup = np.sqrt(self.alpha * np.log(m_sur_Nk / logdemi) / (2. * self.tirages))
indices = moyennes_empiriques + terme_sup
k = np.argmax(indices)
return k
Comparaison de ApproximatedFHGittins avec les autres algorithmes¶
Sur le même problème que précédemment, on va vérifier que ce dernier algorithme est plus efficace que les autres.
horizon = 10000
repetitions = 10
mus = [0.3, 0.05, 0.05, 0.05, 0.05, 0.05, 0.05, 0.02, 0.02, 0.02, 0.01, 0.01, 0.005, 0.005, 0.001, 0.001]
bras = [ Bernoulli(mu) for mu in mus ]
K = len(mus)
kstar = np.argmax(mus)
horizon, repetitions, mus, bras, K, kstar
algorithmes = [UCB1(K, alpha=1), UCB1(K, alpha=0.5),
UCBV(K, alpha=1), UCBH(K, horizon, alpha=1),
KLUCB(K), ThompsonSampling(K),
ApproximatedFHGittins(K, 1.1 * T, alpha=4),
ApproximatedFHGittins(K, 1.1 * T, alpha=1),
ApproximatedFHGittins(K, 1.1 * T, alpha=0.5)
]
algorithmes
noms = ["UCB1(alpha=1)", "UCB1(alpha=0.5)",
"UCBV(alpha=1)", "UCBH(alpha=1)",
"KLUCB", "ThompsonSampling",
"ApproximatedFHGittins(T, alpha=4)",
"ApproximatedFHGittins(T, alpha=1)",
"ApproximatedFHGittins(T, alpha=0.5)"
]
On peut commencer la simulation, pour chaque algorithme.
%%time
N = len(algorithmes)
recompenses, choix = np.zeros((N, repetitions, horizon)), np.zeros((N, repetitions, horizon))
# Pour chaque répétitions
for rep in tqdm(range(repetitions), desc="Répétitions"):
for i, alg in enumerate(algorithmes):
rec, ch = simulation(bras, alg, horizon)
recompenses[i, rep] = rec
choix[i, rep] = ch
# On moyenne
recompenses_moy = np.mean(recompenses, axis=1)
choix_moy = np.mean(choix, axis=1)
print("Dimension de 'recompenses_moy' =", np.shape(recompenses_moy)) # juste pour vérifier
# On garde la distribution à t=T
recompenses_fin = np.sum(recompenses, axis=2)
choix_fin = np.sum(choix, axis=2)
print("Dimension de 'recompenses_fin' =", np.shape(recompenses_fin)) # juste pour vérifier
Cette fois, les statistiques accumulées ne sont plus entières.
recompenses_moy, choix_moy
On affiche et vérifie les résultats attendus :
choix_moy = np.floor(choix_moy)
affiche_selections(choix_moy, noms, kstar)
On commence à voir une différence de vitesse de convergence, pour l'identification du meilleur bras.
affiche_recompenses(recompenses_moy, noms)
Difficile de différence quel algorithme est le plus efficace, même si clairement les plus grandes valeurs de $\alpha = 4, 1$ pour UCB semblent avoir moins bien fonctionner.
affiche_recompenses_moyennes(recompenses_moy, noms)
En terme de récompenses moyennes au cours du temps, les 4 algorithmes les plus efficaces convergent vers $\mu^* = \mu_1 = 0.9$.
affiche_regret(recompenses_moy, noms, mustar=mus[kstar])
Note : un regret négatif n'est pas possible, mais sur peu d'expériences, on a une forte variance, et les échantillons tirés peuvent être suffisamment favorables pour avoir un regret faiblement négatif (comme c'est le cas ici pour un des
ApproximatedFHGittins).
affiche_regret(recompenses_moy[2:], noms[2:], mustar=mus[kstar])
affiche_hist_regret(recompenses_fin, noms, horizon, mustar=mus[kstar])
Conclusion¶
J'espère que ce petit document a pu vous aider à mieux comprendre les bases de la simulation et l'implémentation de problèmes et d'algorithmes de bandits.
J'ai adopté une approche très modulaire, pour chaque composant de la simulation (bras, algorithmes, fonctions de simulation, d'affichages etc). C'est une façon de faire, bien-sûr ce n'est pas nécessaire, mais ça me semble clair, efficace et facile à lire et à compléter (si vous voulez rajouter un algorithme de plus).
- Pour plus de détails, je recommande de lire en détails ce petit article, datant de 2017, en français, écrit par Émilie Kaufmann.
- Cette petite simulation s'inspire de mon environnement plus lourd et plus complet, AlgoBandits.