Introduction aux algorithmes de bandit (UCB1, Thompson Sampling)

Ce petit document est un notebook Jupyter, ayant pour but de présenter le concept de problèmes de bandit, comment les simuler et les résoudre, et deux algorithmes conçus dans ce but.

Je ne vais pas donner beaucoup d'explications mathématiques, je conseille plutôt ce petit article, datant de 2017, en français, écrit par Émilie Kaufmann.

Je préfère me focaliser sur une implémentation simple, claire et concise de chaque morceau nécessaire à la simulation de problèmes et d'algorithmes de bandit. J'utilise le langage de programmation Python.

Dans ce but, j'utilise une approche objet : chaque morceau sera une classe, et des instances (des objets) seront utilisées pour toutes les composantes.

In [1]:
# Dépendances
import numpy as np
import random as rd
In [2]:
import matplotlib as mpl
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns
sns.set(context="notebook", style="whitegrid", palette="hls", font="sans-serif", font_scale=1.4)
from tqdm import tqdm_notebook as tqdm
In [3]:
%load_ext watermark
%watermark -v -m -a "Lilian Besson (Naereen)" -p scipy,numpy,matplotlib,sympy,seaborn -g
Lilian Besson (Naereen) 

CPython 3.6.3
IPython 6.2.1

scipy 1.0.0
numpy 1.14.0
matplotlib 2.1.1
sympy 1.1.1
seaborn 0.8.1

compiler   : GCC 7.2.0
system     : Linux
release    : 4.13.0-21-generic
machine    : x86_64
processor  : x86_64
CPU cores  : 4
interpreter: 64bit
Git hash   :

Problèmes de bandit

Je ne rentrerai pas trop dans les détails ici. Pour plus d'explications, cette page Wikipédia (en français)) est très bien faite.

"Dans le problème dit du bandit manchot, un utilisateur fait face à $K \geq 2$ machines à sou. Chacune donnant une récompense moyenne que l'utilisateur ne connait pas à priori. A chacune de ces actions, il va donc sélectionner une machine permettant de maximiser son gain."

Problèmes stochastiques

On se focalise ici sur des problèmes dits stochastiques : pour chaque bras, $k\in\{1,\dots,K\}$, une distribution de probabilité $\nu_k$ est supposée générer les récompense à chaque sélection. Les récompenses $r_k(t)$ venant du $k$ième bras sont donc "i.i.d." : indépendentes (les unes des autres) et identiquement distribuées, selon $\nu_k$ : $$ \forall t \geq 1, \;\; r_k(t) \sim \nu_k. $$

Un des exemples les plus simples sera de considérer des lois de Bernoulli, avec des récompenses binaires, par exemple pour un traitement médical $r_k(t) = 0$ signifie que le traitement a échoué, et $r_k(t) = 1$ que le traitement a réussi à guérir telle maladie : $$ \forall t \geq 1, r_k(t) \in \{0,1\}, \;\text{et}\; r_k(t) \sim \mathrm{B}(\mu_k). $$

Radio intelligente ?

Dans le contexte de la radio intelligente, le vocabulaire change un peu :

  • les bras sont des canaux radio,
  • les joueurs sont des objets communiquants,
  • et des récompenses binaires sont obtenues soit avant la communication (avec une écoute du spectre, "sensing", pour l'Accès Opportuniste au Spectre, "OSA"), soit après la communication (avec un "acknowledgement" reçu depuis une station de base),
  • ou bien des récompenses réelles, reflétant par exemple le SNR de la communication, le débit, la puissance reçue etc.

Simulation de problèmes de bandit

Une simple fonction suffira ici, pour initialiser un algorithme, le simuler durant $T$ étapes, et stocker les récompenses et les bras tirés.

Il est important de tout stocker pour ensuite pouvoir afficher différentes statistiques sur l'expérience, permettant d'évaluer l'efficacité des différentes algorithmes.

Je préfère donner directement cette fonction afin de fixer les signatures des différentes classes qu'on va écrire ensuite :

  • Les bras ont besoin d'une seule méthode, tire() qui donne $r_k(t) \sim \nu_k$ à l'instant $t$ pour la distribution $\nu_k$ du $k^{\text{ième}}$ bras, noté r_k_t.
  • Les algorithmes ont besoin de trois méthodes :
    • commence() pour initialiser l'algorithme, une fois,
    • A_t = choix() pour choisir un bras, à chaque instant $t$, noté $A(t) \in \{1,\dots,K\}$,
    • recompense(A_t, r_k_t) pour donner la récompense r_k_t tirée du bras A_t.
In [4]:
def simulation(bras, algorithme, horizon):
    """ Simule l'algorithme donné sur ces bras, durant horizon étapes."""
    choix, recompenses = np.zeros(horizon), np.zeros(horizon)
    # 1. Initialise l'algorithme
    algorithme.commence()
    # 2. Boucle en temps, pour t = 0 à horizon - 1
    for t in range(horizon):
        # 2.a. L'algorithme choisi son bras à essayer
        A_t = algorithme.choix()
        # 2.b. Le bras k donne une récompense
        r_k_t = bras[A_t].tire()
        # 2.c. La récompense est donnée à l'algorithme
        algorithme.recompense(A_t, r_k_t)
        # 2.d. On stocke les deux
        choix[t] = A_t
        recompenses[t] = r_k_t
    # 3. On termine en renvoyant ces deux vecteurs
    return recompenses, choix

Bras stochastiques, de Bernoulli

Les récompenses de tels bras, notées $r_k(t)$ pour le bras $k$ à l'instant $t$, sont tirées de façons identiquement distribuées et indépendantes, selon une loi de Bernoulli : $$ \forall t\in\mathbb{N}, \forall k\in\{1,\dots,K\}, r_k(t) \in \{0,1\}, \;\text{et}\; r_k(t) \sim \mathrm{B}(\mu_k). $$

In [5]:
class Bernoulli():
    """ Bras distribués selon une loi de Bernoulli."""

    def __init__(self, probabilite):
        assert 0 <= probabilite <= 1, "Erreur, probabilite doit être entre 0 et 1 pour un bras de Bernoulli."
        self.probabilite = probabilite

    def tire(self):
        """ Tire une récompense aléatoire."""
        return float(rd.random() <= self.probabilite)

Par exemple, on peut considérer le problème à trois bras ($K = 3$), caractérisé par ces paramètres $\boldsymbol{\mu} = [\mu_1,\dots,\mu_K] = [0.1, 0.5, 0.9]$ :

In [6]:
mus = [ 0.1, 0.5, 0.9 ]
bras = [ Bernoulli(mu) for mu in mus ]

On peut prendre 10 échantillons de chaque bras, et vérifier leurs moyennes :

In [7]:
rd.seed(10000)  # pour être reproductible.
T = 10
exemples_echantillons = [ [ bras_k.tire() for _ in range(T) ] for bras_k in bras ]
exemples_echantillons
Out[7]:
[[0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.0, 0.0, 0.0],
 [1.0, 0.0, 0.0, 1.0, 0.0, 1.0, 1.0, 1.0, 0.0, 0.0],
 [0.0, 1.0, 1.0, 1.0, 1.0, 1.0, 1.0, 1.0, 1.0, 1.0]]
In [8]:
np.mean(exemples_echantillons, axis=1)
Out[8]:
array([0.1, 0.5, 0.9])

C'est assez proche de $\boldsymbol{\mu} = [\mu_1,\dots,\mu_K] = [0.1, 0.5, 0.9]$...


Présentation des algorithmes de bandit

Comme on l'a dit plus haut, les algorithmes ont besoin de trois méthodes :

  • commence() pour initialiser l'algorithme, une fois. Généralement, il s'agit de remettre à zero les vecteurs de mémoires internes de l'algorithme, et de mettre $t = 0$.
  • A_t = choix() pour choisir un bras, à chaque instant $t$, noté $A(t) \in \{1,\dots,K\}$. C'est la partie "intelligente" qui doit être conçue avec soin.
  • recompense(A_t, r_k_t) pour donner la récompense r_k_t tirée du bras A_t. Souvent, il suffit de mettre à jour les deux ou trois vecteurs internes.

En fait, il faut aussi une méthode pour créer l'instance de la classe, i.e., une méthode __init__(K), qui demande de simplement connaître $K$, le nombre de bras.

Bien-sûr, les algorithmes ne doivent pas connaître $\boldsymbol{\mu} = [\mu_1,\dots,\mu_K]$ les paramètres du problème... Sinon l'apprentissage n'a aucun intérêt : il suffit de viser $k^* = \arg\max_k \mu_k$...


Deux algorithmes naïfs

On va commencer par donner deux exemples naïfs :

  1. Un algorithme "stupide" qui choisi un bras de façon complètement uniforme, $A^{1}(t) \sim U(1,\dots,K), \forall t$, à chaque instant $t \in \mathbb{N}$, via la classe ChoixUniforme.

  2. Un algorithme moins stupide, mais assez naïf, qui utilise un estimateur empirique $\widehat{\mu_k}(t) = \frac{X_k(t)}{N_k(t)}$ de la moyenne de chaque bras, et tire $A^{2}(t) \in \arg\max_k \widehat{\mu_k}(t)$ à chaque instant $t \in \mathbb{N}$. Ici, $X_k(t) = \sum_{\tau=0}^{t} \mathbb{1}(A(\tau) = k) r_k(\tau)$ compte les récompenses accumulées en tirant le bras $k$, sur les instants $t = 0,\dots,\tau$. Et $N_k(t) = \sum_{\tau=0}^{t} \mathbb{1}(A(\tau) = k)$ compte le nombre de sélections de ce bras $k$. Via la classe MoyenneEmpirique.

ChoixUniforme

C'est l'algorithme le plus naïf : à chaque instant, le bras choisi est tiré uniformément dans $\{0,\dots,K-1\}$ (notation Python, on indice à partir de $0$).

In [9]:
class ChoixUniforme(object):
    """Algorithme stupide, choix uniforme."""
    
    def __init__(self, K):
        """Crée l'instance de l'algorithme."""
        self.K = K
    
    def commence(self):
        """Initialise l'algorithme : rien à faire ici."""
        pass
    
    def choix(self):
        """Choix uniforme d'un indice A(t) ~ U(1...K)."""
        return rd.randint(0, self.K - 1)
        
    def recompense(self, k, r):
        """Donne une récompense r tirée sur le bras k à l'algorithme : rien à faire ici."""
        pass

MoyenneEmpirique

Voilà qui donne une bonne idée de la structure que vont devoir suivre les différentes algorithmes.

L'algorithme suivant est un peu plus complexe. Il est aussi appelé "Follow the Leader" (FTL).

In [10]:
class MoyenneEmpirique(object):
    """Algorithme naïf, qui utilise la moyenne empirique."""
    
    def __init__(self, K):
        """Crée l'instance de l'algorithme."""
        self.K = K
        # Il nous faut de la mémoire interne
        self.recompenses = np.zeros(K)  # X_k(t) pour chaque k
        self.tirages = np.zeros(K)      # N_k(t) pour chaque k
        self.t = 0                      # Temps t interne
    
    def commence(self):
        """Initialise l'algorithme : remet à zeros chaque X_k et N_k, et t = 0."""
        self.recompenses.fill(0)
        self.tirages.fill(0)
        self.t = 0
    
    def choix(self):
        """Si on a vu tous les bras, on prend celui de moyenne empirique la plus grande."""
        # 1er cas : il y a encore des bras qu'on a jamais vu
        if np.min(self.tirages) == 0:
            k = np.min(np.where(self.tirages == 0)[0])
        # 2nd cas : tous les bras ont été essayé
        else:
            # Notez qu'on aurait pu ne stocker que ce vecteur moyennes_empiriques
            moyennes_empiriques = self.recompenses / self.tirages
            k = np.argmax(moyennes_empiriques)
        self.t += 1      # Inutile ici
        return k
        
    def recompense(self, k, r):
        """Donne une récompense r tirée sur le bras k à l'algorithme : met à jour les deux vecteurs internes."""
        self.recompenses[k] += r
        self.tirages[k] += 1

Approche fréquentiste, UCB1, "Upper Confidence Bound"

Il s'agit d'une amélioration de l'algorithme précédent, où on utilise un autre indice.

Au lieu d'utiliser la moyenne empirique $g_k(t) = \widehat{\mu_k}(t) = \frac{X_k(t)}{N_k(t)}$ et $A(t) = \arg\max_k g_k(t)$, on utilise une borne supérieure d'un intervalle de confiance autour de cette moyenne : $$g'_k(t) = \widehat{\mu_k}(t) + \sqrt{\alpha \frac{\log t}{N_k(t)}}.$$ Et cet indice est toujours utilisé pour décider le bras à essayer à chaque instant : $$A^{\mathrm{UCB}1}(t) = \arg\max_k g'_k(t).$$

Il faut une constante $\alpha \geq 0$, qu'on choisira $\alpha \geq \frac12$ pour avoir des performances raisonnables. $\alpha$ contrôle le compromis entre exploitation et exploration, et ne doit pas être trop grand. $\alpha = 1$ est un bon choix par défaut.

On va gagner du temps en héritant de la classe MoyenneEmpirique précédente. Ça permet de ne pas réécrire les méthodes qui sont déjà bien écrites.

In [11]:
class UCB1(MoyenneEmpirique):
    """Algorithme UCB1."""
    
    def __init__(self, K, alpha=1):
        """Crée l'instance de l'algorithme. Par défaut, alpha=1."""
        super(UCB1, self).__init__(K)  # On laisse la classe mère faire le travaille
        assert alpha >= 0, "Erreur : alpha doit etre >= 0."
        self.alpha = alpha
    
    def choix(self):
        """Si on a vu tous les bras, on prend celui d'indice moyenne empirique + UCB le plus grand."""
        self.t += 1      # Nécessaire ici
        # 1er cas : il y a encore des bras qu'on a jamais vu
        if np.min(self.tirages) == 0:
            k = np.min(np.where(self.tirages == 0)[0])
        # 2nd cas : tous les bras ont été essayé
        else:
            moyennes_empiriques = self.recompenses / self.tirages
            ucb = np.sqrt(self.alpha * np.log(self.t) / self.tirages)
            indices = moyennes_empiriques + ucb
            k = np.argmax(indices)
        return k

Variantes d'UCB : UCB-V et UCB-H

On peut rapidement implémenter deux variantes d'UCB, UCB-V qui utilise les carrés des récompenses pour estimer la variance de chaque bras et calculer un meilleur intervalle de confiance, et UCB-H qui utilise la connaissance de l'horizon $T$ de l'expérience pour utiliser $\sqrt{\log(T) / N_k(t)}$ à la place de $\sqrt{\log(t) / N_k(t)}$ et obtenir de meilleures performances.

In [33]:
class UCBV(MoyenneEmpirique):
    """Algorithme UCBV."""
    
    def __init__(self, K, alpha=1):
        """Crée l'instance de l'algorithme. Par défaut, alpha=1."""
        super(UCBV, self).__init__(K)  # On laisse la classe mère faire le travaille
        assert alpha >= 0, "Erreur : alpha doit etre >= 0."
        self.alpha = alpha
        self.recompensesCarrees = np.zeros(K)  # somme des r_k(t)^2 pour chaque k
        
    def recompense(self, k, r):
        """Donne une récompense r tirée sur le bras k à l'algorithme : met à jour les deux vecteurs internes."""
        self.recompenses[k] += r
        self.recompensesCarrees[k] += r ** 2
        self.tirages[k] += 1

    def choix(self):
        """Si on a vu tous les bras, on prend celui d'indice moyenne empirique + UCB le plus grand."""
        self.t += 1      # Nécessaire ici
        # 1er cas : il y a encore des bras qu'on a jamais vu
        if np.min(self.tirages) == 0:
            k = np.min(np.where(self.tirages == 0)[0])
        # 2nd cas : tous les bras ont été essayé
        else:
            moyennes_empiriques = self.recompenses / self.tirages
            variance = (self.recompensesCarrees / self.tirages) - moyennes_empiriques ** 2  # Estimee de la variance

            ucb = np.sqrt(self.alpha * np.log(self.t) * variance / self.tirages) + 3.0 * np.log(self.t) / self.tirages
            
            indices = moyennes_empiriques + ucb
            k = np.argmax(indices)
        return k

Et pour UCBH :

In [13]:
class UCBH(MoyenneEmpirique):
    """Algorithme UCBH."""
    
    def __init__(self, K, horizon, alpha=1):
        """Crée l'instance de l'algorithme. Par défaut, alpha=1."""
        super(UCBH, self).__init__(K)  # On laisse la classe mère faire le travaille
        self.horizon = int(horizon)
        assert alpha >= 0, "Erreur : alpha doit etre >= 0."
        self.alpha = alpha
    
    def choix(self):
        """Si on a vu tous les bras, on prend celui d'indice moyenne empirique + UCB le plus grand."""
        self.t += 1      # Nécessaire ici
        # 1er cas : il y a encore des bras qu'on a jamais vu
        if np.min(self.tirages) == 0:
            k = np.min(np.where(self.tirages == 0)[0])
        # 2nd cas : tous les bras ont été essayé
        else:
            moyennes_empiriques = self.recompenses / self.tirages
            ucb = np.sqrt(self.alpha * np.log(self.horizon) / self.tirages)
            indices = moyennes_empiriques + ucb
            k = np.argmax(indices)
        return k

Approche fréquentiste optimale, KL-UCB, "Kullback-Leibler UCB"

KL binaire

Pour $x,y\in\{0,1\}$, $x,y\neq 0,1$, $\mathrm{kl}(x,y)$, on définit la divergence de Kullback-Leibler binaire de $x$ et $y$ comme la KL de deux lois de Bernoulli de moyennes $x$ et $y$, ce qui est défini comme : $$\mathrm{kl}(x,y) := x \log\left(\frac{x}{y}\right) + (1-x)\log\left(\frac{1-x}{1-y}\right).$$

Pour vous facilier la tâche, la fonction $\mathrm{kl}$ est déjà implémentée, ainsi qu'une fonction pour résoudre (de façon approchée) le probl_me d'optimisation contrainte qui définit l'indice $g_k''(t)$.

In [14]:
# Just forcing the ?? in Jupyter to be in the main document (to be saved) and not a floating window.
# Thanks to https://nbviewer.jupyter.org/gist/minrk/7715212
from __future__ import print_function
from IPython.core import page
def myprint(s):
    try:
        print(s['text/plain'])
    except (KeyError, TypeError):
        print(s)
page.page = myprint
In [15]:
from kullback import klBern
klBern?
Signature: klBern(x, y)
Docstring:
Kullback-Leibler divergence for Bernoulli distributions. https://en.wikipedia.org/wiki/Bernoulli_distribution#Kullback.E2.80.93Leibler_divergence

>>> klBern(0.5, 0.5)
0.0
>>> klBern(0.1, 0.9)  # doctest: +ELLIPSIS
1.757779...
>>> klBern(0.9, 0.1)  # And this KL is symetric  # doctest: +ELLIPSIS
1.757779...
>>> klBern(0.4, 0.5)  # doctest: +ELLIPSIS
0.020135...
>>> klBern(0.01, 0.99)  # doctest: +ELLIPSIS
4.503217...

- Special values:

>>> klBern(0, 1)  # Should be +inf, but 0 --> eps, 1 --> 1 - eps  # doctest: +ELLIPSIS
34.539575...
File:      ~/Bureau/Python_code_TP_Odalric/kullback.py
Type:      function

KLUCB

(Garivier & Cappé - COLT, 2011)

Il s'agit d'une autre amélioration de l'algorithme précédent, où on utilise un autre indice.

Au lieu d'utiliser une borne supérieure d'un intervalle de confiance autour de cette moyenne, on utilise la pseudo-distance de Kullback-Leibler afin d'obtenir l'intervale de confiance optimal : $$g''_k(t) = \sup\limits_{q \in [0,1]} \left\{ q : \mathrm{kl}(\hat{\mu}_k(t), q) \leq \frac{f(t)}{N_k(t)} \right\}.$$ Et cet indice est toujours utilisé pour décider le bras à essayer à chaque instant : $$A^{\mathrm{KLUCB}}(t) = \arg\max_k g''_k(t).$$

On utilise $$f(t) := \log(t) + c\log\log(t).$$ Il faut une constante $c \geq 0$, qu'on doit choisir $c > 0$ pour simplifier les preuves théoriques. En pratique, $c = 0$ est un bon choix par défaut.

In [16]:
from kullback import klucb
klucb?
# do klucb?? to see the code
Signature: klucb(x, d, kl, upperbound, lowerbound=-inf, precision=1e-06)
Docstring:
The generic KL-UCB index computation.

- x: value of the cum reward,
- d: upper bound on the divergence,
- kl: the KL divergence to be used (klBern, klGauss, etc),
- upperbound, lowerbound=float('-inf'): the known bound of the values x,
- precision=1e-6: the threshold from where to stop the research,


.. note:: It uses a bisection search.
File:      ~/Bureau/Python_code_TP_Odalric/kullback.py
Type:      function

In [17]:
from kullback import klucbBern
klucbBern?
# do klucbBern?? to see the code
Signature: klucbBern(x, d, precision=1e-06)
Docstring:
KL-UCB index computation for Bernoulli distributions, using :func:`klucb`.

- Influence of x:

>>> klucbBern(0.1, 0.2)  # doctest: +ELLIPSIS
0.378391...
>>> klucbBern(0.5, 0.2)  # doctest: +ELLIPSIS
0.787088...
>>> klucbBern(0.9, 0.2)  # doctest: +ELLIPSIS
0.994489...

- Influence of d:

>>> klucbBern(0.1, 0.4)  # doctest: +ELLIPSIS
0.519475...
>>> klucbBern(0.1, 0.9)  # doctest: +ELLIPSIS
0.734714...

>>> klucbBern(0.5, 0.4)  # doctest: +ELLIPSIS
0.871035...
>>> klucbBern(0.5, 0.9)  # doctest: +ELLIPSIS
0.956809...

>>> klucbBern(0.9, 0.4)  # doctest: +ELLIPSIS
0.999285...
>>> klucbBern(0.9, 0.9)  # doctest: +ELLIPSIS
0.999995...
File:      ~/Bureau/Python_code_TP_Odalric/kullback.py
Type:      function

C'est assez facile avec tout ça :

In [19]:
def f(t, c=0):
    return np.log(t) + c * np.log(np.maximum(0, np.log(t)))

class KLUCB(MoyenneEmpirique):
    """Algorithme KLUCB."""
    
    def __init__(self, K, c=0, tolerance=1e-4):
        """Crée l'instance de l'algorithme. Par défaut, c=0."""
        super(KLUCB, self).__init__(K)  # On laisse la classe mère faire le travaille
        assert c >= 0, "Erreur : c doit etre >= 0."
        self.c = c
        self.tolerance = tolerance
        # Version vectorisée
        self.klucb = np.vectorize(klucbBern)
    
    def choix(self):
        """Si on a vu tous les bras, on prend celui d'indice KLUCB le plus grand."""
        self.t += 1      # Nécessaire ici
        # 1er cas : il y a encore des bras qu'on a jamais vu
        if np.min(self.tirages) == 0:
            k = np.min(np.where(self.tirages == 0)[0])
        # 2nd cas : tous les bras ont été essayé
        else:
            indices = self.klucb(self.recompenses / self.tirages, f(self.t, self.c) / self.tirages, self.tolerance)
            k = np.argmax(indices)
        return k

Approche bayésienne, Thompson Sampling

Ce petit article explique très bien l'approche bayésienne.

On a besoin de savoir manipuler des posteriors, qui seront les posteriors conjugués des distributions des bras.

Pour des bras de Bernoulli, le posterior conjugué associé est une loi Beta, notée $\mathrm{Beta}(\alpha,\beta)$ pour deux paramètres $\alpha,\beta > 0$.

  • Les posteriors sont initialisés à $\mathrm{Beta}(1, 1) = U([0,1])$, c'est-à-dire qu'on met un a priori uniforme sur les $\mu_k$, comme on ne connaît que $\mu_k \in [0,1]$.
  • Comme les observations sont binaires, $r_k(t) \in \{0,1\}$, les paramètres $\alpha$,$\beta$ restent entiers.
In [20]:
from numpy.random import beta

class Beta():
    """Posteriors d'expériences de Bernoulli."""

    def __init__(self):
        self.N = [1, 1]

    def reinitialise(self):
        self.N = [1, 1]

    def echantillon(self):
        """Un échantillon aléatoire de ce posterior Beta."""
        return beta(self.N[1], self.N[0])

    def observe(self, obs):
        """Ajoute une nouvelle observation. Si 'obs'=1, augmente alpha, sinon si 'obs'=0, augmente beta."""
        self.N[int(obs)] += 1

Dès qu'on sait manipuler ces postériors Beta, on peut implémenter rapidement le dernier algorithme, Thompson Sampling.

Les paramètres du posterior sur $\mu_k$, i.e., $\alpha_k(t)$,$\beta_k(t)$ seront mis à jour à chaque étape pour compter le nombre d'observations réussies et échouées : $$ \alpha_k(t) = 1 + X_k(t) \\ \beta_k(t) = 1 + N_k(t) - X_k(t).$$

La moyenne empirique estimant $\mu_k$ sera, à l'instant $t$, $$ \widetilde{\mu_k}(t) = \frac{\alpha_k(t)}{\alpha_k(t) + \beta_k(t)} = \frac{1 + X_k(t)}{2 + N_k(t)} \simeq \frac{X_k(t)}{N_k(t)}.$$

La différence avec UCB1 est que la prise de décision de Thompson Sampling se fait sur un indice, tiré aléatoirement selon les posteriors. C'est une politique d'indice randomisée.

D'un point de vue bayésien, un modèle est tiré selon les posteriors, puis on joue selon le meilleur modèle : $$ g'''_k(t) \sim \mathrm{Beta}(\alpha_k(t), \beta_k(t)) \\ A^{\mathrm{TS}}(t) = \arg\max_k g'''_k(t). $$

In [21]:
class ThompsonSampling(MoyenneEmpirique):
    """Algorithme Thompson Sampling."""
    
    def __init__(self, K, posterior=Beta):
        """Crée l'instance de l'algorithme. Par défaut, alpha=1."""
        self.K = K
        # On créé K posteriors
        self.posteriors = [posterior() for k in range(K)]
    
    def commence(self):
        """Réinitialise les K posteriors."""
        for posterior in self.posteriors:
            posterior.reinitialise()
    
    def choix(self):
        """On tire K modèles depuis les posteriors, et on joue dans le meilleur."""
        moyennes_estimees = [posterior.echantillon() for posterior in self.posteriors]
        k = np.argmax(moyennes_estimees)
        return k

    def recompense(self, k, r):
        """Observe cette récompense r sur le bras k en mettant à jour le kième posterior."""
        self.posteriors[k].observe(r)

Exemples de simulations

On va comparer, sur deux problèmes, les 4 algorithmes définis plus haut.

Les problèmes sont caractérisés par les moyennes des bras de Bernoulli, $\boldsymbol{\mu} = [\mu_1,\dots,\mu_K]$, et on les suppose ordonnées par ordre décroissant : $\mu_1 > \mu_2 \ge \dots \ge \mu_K$.

On affichera plusieurs choses, dans des graphiques au cours du temps $t = 0, \dots, T$ pour un horizon $T = 1000$ ou $T = 5000$ étapes :

  1. leurs taux de sélection du meilleur bras $k^*$, (qui sera toujours $\mu_1$ le premier bras), i.e., $N_k(t) / t$ en $\%$, pour chaque algorithme,
  2. leurs récompenses accumulées, i.e., $R(t) = \sum_{\tau=0}^{t} \sum_{k=1}^{K} X_k(\tau) \mathbb{1}(A(t) = k)$, pour chaque algorithme,
  3. les récompenses moyennes, i.e., $R(t) / t$, qui devrait converger vers $\mu^* = \mu_{k^*} = \mu_1$,
  4. et enfin leurs regret. Cette notion est moins triviale, mais pour notre problème simple il se définit comme la perte, en récompenses accumulées, entre la meilleure stratégie (toujours sélectionner le meilleur bras $k^* = 1$) et la performance de l'algorithme : $$ \mathcal{R}(t) = \mu^* t - R(t) $$ On souhaite maximiser $R(t)$, donc minimiser $\mathcal{R}(t)$. Les algorithmes "efficaces" ont typiquement un regret logarithmique, i.e., $\mathcal{R}(T) = \mathcal{O}(\log T)$ asymptotiquement, ce qu'on souhaiterait vérifier.

Fonctions pour l'affichage

On définit 4 fonctions d'affichage pour ces quantités.

In [22]:
mpl.rcParams['figure.figsize'] = (15, 8)
In [23]:
def affiche_selections(choix, noms, kstar=0):
    plt.figure()
    for i, c in enumerate(choix):
        selection_kstar = 1.0 * (c == kstar)
        selection_moyenne = np.cumsum(selection_kstar) / np.cumsum(np.ones_like(c))
        plt.plot(selection_moyenne, label=noms[i])
    plt.legend()
    plt.xlabel("Temps discret, $t = 1, ..., T = {}$".format(len(choix[0])))
    plt.ylabel("Taux de sélection")
    plt.title("Sélection du meilleur bras #{} pour différents algorithmes".format(1 + kstar))
    plt.show()
In [24]:
def affiche_recompenses(recompenses, noms):
    plt.figure()
    for i, r in enumerate(recompenses):
        recompense_accumulee = np.cumsum(r)
        plt.plot(recompense_accumulee, label=noms[i])
    plt.legend()
    plt.xlabel("Temps discret, $t = 1, ..., T = {}$".format(len(recompenses[0])))
    plt.ylabel("Récompenses accumulées")
    plt.title("Récompenses accumulées pour différents algorithmes")
    plt.show()
In [25]:
def affiche_recompenses_moyennes(recompenses, noms):
    plt.figure()
    for i, r in enumerate(recompenses):
        recompense_moyenne = np.cumsum(r) / np.cumsum(np.ones_like(r))
        plt.plot(recompense_moyenne, label=noms[i])
    plt.legend()
    plt.xlabel("Temps discret, $t = 1, ..., T = {}$".format(len(recompenses[0])))
    plt.ylabel(r"Récompenses moyennes $\in [0, 1]$")
    plt.title("Récompenses moyennes pour différents algorithmes")
    plt.show()
In [26]:
def affiche_regret(recompenses, noms, mustar=1):
    plt.figure()
    for i, r in enumerate(recompenses):
        recompense_accumulee = np.cumsum(r)
        regret = mustar * np.cumsum(np.ones_like(r)) - recompense_accumulee
        plt.plot(regret, label=noms[i])
    plt.legend()
    plt.xlabel("Temps discret, $t = 1, ..., T = {}$".format(len(recompenses[0])))
    plt.ylabel("Regret")
    plt.title("Regret accumulé pour différents algorithmes")
    plt.show()

Pour afficher un histogramme, c'est moins évident, mais voici :

In [93]:
def nrows_ncols(N):
    """(nrows, ncols) pour créer un subplots de N figures avec les bonnes dimensions."""
    nrows = int(np.ceil(np.sqrt(N)))
    ncols = N // nrows
    while N > nrows * ncols:
        ncols += 1
    nrows, ncols = max(nrows, ncols), min(nrows, ncols)
    return nrows, ncols
In [94]:
def affiche_hist_regret(recompenses, noms, horizon, mustar=1):
    nrows, ncols = nrows_ncols(len(noms))
    fig, axes = plt.subplots(nrows, ncols, sharex=False, sharey=False)
    fig.suptitle("Histogramme du regret à $t = T = {}$ pour différents algorithmes".format(len(choix[0])))

    # XXX See https://stackoverflow.com/a/36542971/
    ax0 = fig.add_subplot(111, frame_on=False)  # add a big axes, hide frame
    ax0.grid(False)  # hide grid
    ax0.tick_params(labelcolor='none', top='off', bottom='off', left='off', right='off')  # hide tick and tick label of the big axes
    # Add only once the ylabel, xlabel, in the middle
    ax0.set_ylabel("Distribution")
    ax0.set_xlabel("Regret")

    for i, r in enumerate(recompenses):
        x, y = i % nrows, i // nrows
        ax = axes[x, y] if ncols > 1 else axes[x]
        regret = mustar * horizon - r
        ax.hist(regret, normed=True, bins=25)
        ax.set_title(noms[i])
    plt.show()

Premier problème, à 3 bras

On reprend le problème donné plus haut :

In [28]:
horizon = 1000
mus = [0.9, 0.5, 0.1]
bras = [ Bernoulli(mu) for mu in mus ]
K = len(mus)
kstar = np.argmax(mus)  # = 0
In [29]:
horizon, mus, bras, K, kstar
Out[29]:
(1000,
 [0.9, 0.5, 0.1],
 [<__main__.Bernoulli at 0x7f1814c6ba90>,
  <__main__.Bernoulli at 0x7f1814c6b320>,
  <__main__.Bernoulli at 0x7f1814c6b1d0>],
 3,
 0)
In [34]:
algorithmes = [ChoixUniforme(K), MoyenneEmpirique(K),
               UCB1(K, alpha=1), UCBV(K, alpha=1), UCBH(K, horizon, alpha=1),
               KLUCB(K), ThompsonSampling(K)]
algorithmes
Out[34]:
[<__main__.ChoixUniforme at 0x7f1814bfa390>,
 <__main__.MoyenneEmpirique at 0x7f1814bfa3c8>,
 <__main__.UCB1 at 0x7f1814bfa400>,
 <__main__.UCBV at 0x7f1814bfa438>,
 <__main__.UCBH at 0x7f1814bfa470>,
 <__main__.KLUCB at 0x7f1814bfa4a8>,
 <__main__.ThompsonSampling at 0x7f1814bfa518>]

Pour les légendes, on a besoin des noms des algorithmes :

In [35]:
noms = ["ChoixUniforme", "MoyenneEmpirique",
        "UCB1(alpha=1)", "UCBV(alpha=1)", "UCBH(alpha=1)",
        "KLUCB", "ThompsonSampling"]

On peut commencer la simulation, pour chaque algorithme.

In [36]:
%%time
N = len(algorithmes)
recompenses, choix = np.zeros((N, horizon)), np.zeros((N, horizon))

for i, alg in tqdm(enumerate(algorithmes), desc="Algorithmes"):
    rec, ch = simulation(bras, alg, horizon)
    recompenses[i] = rec
    choix[i] = ch
CPU times: user 335 ms, sys: 0 ns, total: 335 ms
Wall time: 335 ms
In [37]:
recompenses, choix
Out[37]:
(array([[0., 0., 1., ..., 0., 0., 1.],
        [1., 1., 0., ..., 1., 1., 1.],
        [1., 0., 0., ..., 1., 1., 1.],
        ...,
        [1., 1., 0., ..., 1., 1., 1.],
        [1., 0., 0., ..., 1., 1., 1.],
        [0., 0., 0., ..., 1., 1., 1.]]), array([[2., 2., 1., ..., 1., 2., 0.],
        [0., 1., 2., ..., 0., 0., 0.],
        [0., 1., 2., ..., 0., 0., 0.],
        ...,
        [0., 1., 2., ..., 0., 0., 0.],
        [0., 1., 2., ..., 0., 0., 0.],
        [1., 0., 2., ..., 0., 0., 0.]]))

On affiche et vérifie les résultats attendus :

In [38]:
affiche_selections(choix, noms, kstar)
In [39]:
affiche_recompenses(recompenses, noms)
In [40]:
affiche_recompenses_moyennes(recompenses, noms)
In [41]:
affiche_regret(recompenses, noms, mustar=mus[kstar])

$\implies$ L'algorithme uniforme est, bien évidemment, très inefficace ! Il empêche de visualiser le regret des trois autres algorithmes.

Et sur ce problème simple à trois bras, avec une seule simulation (donc une variance immense), difficile de savoir lequel des trois algorithmes est le plus efficace...

Second problème, à 9 bras

In [42]:
horizon = 5000
mus = [0.9, 0.8, 0.7, 0.6, 0.5, 0.4, 0.3, 0.2, 0.1]
bras = [ Bernoulli(mu) for mu in mus ]
K = len(mus)
kstar = np.argmax(mus)  # = 0
In [43]:
horizon, mus, bras, K, kstar
Out[43]:
(5000,
 [0.9, 0.8, 0.7, 0.6, 0.5, 0.4, 0.3, 0.2, 0.1],
 [<__main__.Bernoulli at 0x7f1814a146a0>,
  <__main__.Bernoulli at 0x7f1814a141d0>,
  <__main__.Bernoulli at 0x7f1814a14a20>,
  <__main__.Bernoulli at 0x7f1814a14b38>,
  <__main__.Bernoulli at 0x7f1814a14390>,
  <__main__.Bernoulli at 0x7f1814a14358>,
  <__main__.Bernoulli at 0x7f1814a14dd8>,
  <__main__.Bernoulli at 0x7f1814a148d0>,
  <__main__.Bernoulli at 0x7f1814a14748>],
 9,
 0)

On va comparer différents choix de $\alpha$ pour l'algorithme UCB : $\alpha = 4, 1, 0.5, 0.1$.

In [44]:
algorithmes = [MoyenneEmpirique(K),
               UCB1(K, alpha=4), UCB1(K, alpha=1), UCB1(K, alpha=0.5), UCB1(K, alpha=0.1),
               UCBV(K, alpha=1), UCBH(K, horizon, alpha=1),
               KLUCB(K), ThompsonSampling(K)]
algorithmes
Out[44]:
[<__main__.MoyenneEmpirique at 0x7f1814a14630>,
 <__main__.UCB1 at 0x7f1814a14eb8>,
 <__main__.UCB1 at 0x7f1814a14400>,
 <__main__.UCB1 at 0x7f1814a146d8>,
 <__main__.UCB1 at 0x7f1814a14668>,
 <__main__.UCBV at 0x7f1814a14550>,
 <__main__.UCBH at 0x7f1814a14160>,
 <__main__.KLUCB at 0x7f1814a14198>,
 <__main__.ThompsonSampling at 0x7f1814a14208>]

Pour les légendes, on a besoin des noms des algorithmes :

In [45]:
noms = ["MoyenneEmpirique",
        "UCB1(alpha=4)", "UCB1(alpha=1)", "UCB1(alpha=0.5)", "UCB1(alpha=0.1)",
        "UCBV(alpha=1)", "UCBH(alpha=1)",
        "KLUCB", "ThompsonSampling"]

On peut commencer la simulation, pour chaque algorithme.

In [46]:
%%time
N = len(algorithmes)
recompenses, choix = np.zeros((N, horizon)), np.zeros((N, horizon))

for i, alg in tqdm(enumerate(algorithmes), desc="Algorithmes"):
    rec, ch = simulation(bras, alg, horizon)
    recompenses[i] = rec
    choix[i] = ch
CPU times: user 2.75 s, sys: 45 ms, total: 2.79 s
Wall time: 2.76 s
In [47]:
recompenses, choix
Out[47]:
(array([[1., 1., 1., ..., 1., 1., 1.],
        [1., 1., 1., ..., 1., 1., 1.],
        [1., 1., 1., ..., 1., 0., 1.],
        ...,
        [1., 1., 0., ..., 1., 1., 1.],
        [1., 1., 1., ..., 1., 1., 1.],
        [0., 0., 1., ..., 1., 1., 1.]]), array([[0., 1., 2., ..., 0., 0., 0.],
        [0., 1., 2., ..., 1., 1., 1.],
        [0., 1., 2., ..., 0., 0., 0.],
        ...,
        [0., 1., 2., ..., 0., 0., 0.],
        [0., 1., 2., ..., 0., 0., 0.],
        [6., 8., 3., ..., 0., 0., 0.]]))

On affiche et vérifie les résultats attendus :

In [48]:
affiche_selections(choix, noms, kstar)

On commence à voir une différence de vitesse de convergence, pour l'identification du meilleur bras.

In [49]:
affiche_recompenses(recompenses, noms)

Difficile de différence quel algorithme est le plus efficace, même si clairement les plus grandes valeurs de $\alpha = 4, 1$ pour UCB semblent avoir moins bien fonctionné.

In [50]:
affiche_recompenses_moyennes(recompenses, noms)