Introduction aux algorithmes de bandit (UCB1, Thompson Sampling)

Ce petit document est un notebook Jupyter, ayant pour but de présenter le concept de problèmes de bandit, comment les simuler et les résoudre, et deux algorithmes conçus dans ce but.

Je ne vais pas donner beaucoup d'explications mathématiques, je conseille plutôt ce petit article, datant de 2017, en français, écrit par Émilie Kaufmann.

Je préfère me focaliser sur une implémentation simple, claire et concise de chaque morceau nécessaire à la simulation de problèmes et d'algorithmes de bandit. J'utilise le langage de programmation Python.

Dans ce but, j'utilise une approche objet : chaque morceau sera une classe, et des instances (des objets) seront utilisées pour toutes les composantes.

In [3]:
# Dépendances
import numpy as np
import random as rd
In [4]:
import matplotlib as mpl
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns
sns.set(context="notebook", style="darkgrid", palette="hls", font="sans-serif", font_scale=1.4)
from tqdm import tqdm_notebook as tqdm

Problèmes de bandit

Je ne rentrerai pas trop dans les détails ici. Pour plus d'explications, cette page Wikipédia (en français)) est très bien faite.

"Dans le problème dit du bandit manchot, un utilisateur fait face à $K \geq 2$ machines à sou. Chacune donnant une récompense moyenne que l'utilisateur ne connait pas à priori. A chacune de ces actions, il va donc sélectionner une machine permettant de maximiser son gain."

Problèmes stochastiques

On se focalise ici sur des problèmes dits stochastiques : pour chaque bras, $k\in\{1,\dots,K\}$, une distribution de probabilité $\nu_k$ est supposée générer les récompense à chaque sélection. Les récompenses $r_k(t)$ venant du $k$ième bras sont donc "i.i.d." : indépendentes (les unes des autres) et identiquement distribuées, selon $\nu_k$ : $$ \forall t \geq 1, \;\; r_k(t) \sim \nu_k. $$

Un des exemples les plus simples sera de considérer des lois de Bernoulli, avec des récompenses binaires, par exemple pour un traitement médical $r_k(t) = 0$ signifie que le traitement a échoué, et $r_k(t) = 1$ que le traitement a réussi à guérir telle maladie : $$ \forall t \geq 1, r_k(t) \in \{0,1\}, \;\text{et}\; r_k(t) \sim \mathrm{B}(\mu_k). $$

Radio intelligente ?

Dans le contexte de la radio intelligente, le vocabulaire change un peu :

  • les bras sont des canaux radio,
  • les joueurs sont des objets communiquants,
  • et des récompenses binaires sont obtenues soit avant la communication (avec une écoute du spectre, "sensing", pour l'Accès Opportuniste au Spectre, "OSA"), soit après la communication (avec un "acknowledgement" reçu depuis une station de base),
  • ou bien des récompenses réelles, reflétant par exemple le SNR de la communication, le débit, la puissance reçue etc.

Simulation de problèmes de bandit

Une simple fonction suffira ici, pour initialiser un algorithme, le simuler durant $T$ étapes, et stocker les récompenses et les bras tirés.

Il est important de tout stocker pour ensuite pouvoir afficher différentes statistiques sur l'expérience, permettant d'évaluer l'efficacité des différentes algorithmes.

Je préfère donner directement cette fonction afin de fixer les signatures des différentes classes qu'on va écrire ensuite :

  • Les bras ont besoin d'une seule méthode, tire() qui donne $r_k(t) \sim \nu_k$ à l'instant $t$ pour la distribution $\nu_k$ du $k^{\text{ième}}$ bras, noté r_k_t.
  • Les algorithmes ont besoin de trois méthodes :
    • commence() pour initialiser l'algorithme, une fois,
    • A_t = choix() pour choisir un bras, à chaque instant $t$, noté $A(t) \in \{1,\dots,K\}$,
    • recompense(A_t, r_k_t) pour donner la récompense r_k_t tirée du bras A_t.
In [5]:
def simulation(bras, algorithme, horizon):
    """ Simule l'algorithme donné sur ces bras, durant horizon étapes."""
    choix, recompenses = np.zeros(horizon), np.zeros(horizon)
    # 1. Initialise l'algorithme
    algorithme.commence()
    # 2. Boucle en temps, pour t = 0 à horizon - 1
    for t in range(horizon):
        # 2.a. L'algorithme choisi son bras à essayer
        A_t = algorithme.choix()
        # 2.b. Le bras k donne une récompense
        r_k_t = bras[A_t].tire()
        # 2.c. La récompense est donnée à l'algorithme
        algorithme.recompense(A_t, r_k_t)
        # 2.d. On stocke les deux
        choix[t] = A_t
        recompenses[t] = r_k_t
    # 3. On termine en renvoyant ces deux vecteurs
    return recompenses, choix

Bras stochastiques, de Bernoulli

Les récompenses de tels bras, notées $r_k(t)$ pour le bras $k$ à l'instant $t$, sont tirées de façons identiquement distribuées et indépendantes, selon une loi de Bernoulli : $$ \forall t\in\mathbb{N}, \forall k\in\{1,\dots,K\}, r_k(t) \in \{0,1\}, \;\text{et}\; r_k(t) \sim \mathrm{B}(\mu_k). $$

In [6]:
class Bernoulli():
    """ Bras distribués selon une loi de Bernoulli."""

    def __init__(self, probabilite):
        assert 0 <= probabilite <= 1, "Erreur, probabilite doit être entre 0 et 1 pour un bras de Bernoulli."
        self.probabilite = probabilite

    def tire(self):
        """ Tire une récompense aléatoire."""
        return float(rd.random() <= self.probabilite)

Par exemple, on peut considérer le problème à trois bras ($K = 3$), caractérisé par ces paramètres $\boldsymbol{\mu} = [\mu_1,\dots,\mu_K] = [0.1, 0.5, 0.9]$ :

In [7]:
mus = [ 0.1, 0.5, 0.9 ]
bras = [ Bernoulli(mu) for mu in mus ]

On peut prendre 10 échantillons de chaque bras, et vérifier leurs moyennes :

In [8]:
rd.seed(10000)
T = 10
exemples_echantillons = [ [ bras_k.tire() for _ in range(T) ] for bras_k in bras ]
exemples_echantillons
Out[8]:
[[0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.0, 0.0, 0.0],
 [1.0, 0.0, 0.0, 1.0, 0.0, 1.0, 1.0, 1.0, 0.0, 0.0],
 [0.0, 1.0, 1.0, 1.0, 1.0, 1.0, 1.0, 1.0, 1.0, 1.0]]
In [9]:
np.mean(exemples_echantillons, axis=1)
Out[9]:
array([ 0.1,  0.5,  0.9])

C'est assez proche de $\boldsymbol{\mu} = [\mu_1,\dots,\mu_K] = [0.1, 0.5, 0.9]$... Non ?


Présentation des algorithmes de bandit

Comme on l'a dit plus haut, les algorithmes ont besoin de trois méthodes :

  • commence() pour initialiser l'algorithme, une fois. Généralement, il s'agit de remettre à zero les vecteurs de mémoires internes de l'algorithme, et de mettre $t = 0$.
  • A_t = choix() pour choisir un bras, à chaque instant $t$, noté $A(t) \in \{1,\dots,K\}$. C'est la partie "intelligente" qui doit être conçue avec soin.
  • recompense(A_t, r_k_t) pour donner la récompense r_k_t tirée du bras A_t. Souvent, il suffit de mettre à jour les deux ou trois vecteurs internes.

En fait, il faut aussi une méthode pour créer l'instance de la classe, i.e., une méthode __init__(K), qui demande de simplement connaître $K$, le nombre de bras.

Bien-sûr, les algorithmes ne doivent pas connaître $\boldsymbol{\mu} = [\mu_1,\dots,\mu_K]$ les paramètres du problème... Sinon l'apprentissage n'a aucun intérêt : il suffit de viser $k^* = \arg\max_k \mu_k$...


Deux algorithmes naïfs

On va commencer par donner deux exemples naïfs :

  1. Un algorithme "stupide" qui choisi un bras de façon complètement uniforme, $A^{1}(t) \sim U(1,\dots,K), \forall t$, à chaque instant $t \in \mathbb{N}$, via la classe ChoixUniforme.

  2. Un algorithme moins stupide, mais assez naïf, qui utilise un estimateur empirique $\widehat{\mu_k}(t) = \frac{X_k(t)}{N_k(t)}$ de la moyenne de chaque bras, et tire $A^{2}(t) \in \arg\max_k \widehat{\mu_k}(t)$ à chaque instant $t \in \mathbb{N}$. Ici, $X_k(t) = \sum_{\tau=0}^{t} \mathbb{1}(A(\tau) = k) r_k(\tau)$ compte les récompenses accumulées en tirant le bras $k$, sur les instants $t = 0,\dots,\tau$. Et $N_k(t) = \sum_{\tau=0}^{t} \mathbb{1}(A(\tau) = k)$ compte le nombre de sélections de ce bras $k$. Via la classe MoyenneEmpirique.

ChoixUniforme

In [10]:
class ChoixUniforme(object):
    """Algorithme stupide, choix uniforme."""
    
    def __init__(self, K):
        """Crée l'instance de l'algorithme."""
        self.K = K
    
    def commence(self):
        """Initialise l'algorithme : rien à faire ici."""
        pass
    
    def choix(self):
        """Choix uniforme d'un indice A(t) ~ U(1...K)."""
        return rd.randint(0, self.K - 1)
        
    def recompense(self, k, r):
        """Donne une récompense r tirée sur le bras k à l'algorithme : rien à faire ici."""
        pass

MoyenneEmpirique

Voilà qui donne une bonne idée de la structure ("API") que vont devoir suivre les différentes algorithmes.

L'algorithme suivant est un peu plus complexe.

In [11]:
class MoyenneEmpirique(object):
    """Algorithme naïf, qui utilise la moyenne empirique."""
    
    def __init__(self, K):
        """Crée l'instance de l'algorithme."""
        self.K = K
        # Il nous faut de la mémoire interne
        self.recompenses = np.zeros(K)  # X_k(t) pour chaque k
        self.tirages = np.zeros(K)      # N_k(t) pour chaque k
        self.t = 0                      # Temps t interne
    
    def commence(self):
        """Initialise l'algorithme : remet à zeros chaque X_k et N_k, et t = 0."""
        self.recompenses.fill(0)
        self.tirages.fill(0)
        self.t = 0
    
    def choix(self):
        """Si on a vu tous les bras, on prend celui de moyenne empirique la plus grande."""
        # 1er cas : il y a encore des bras qu'on a jamais vu
        if np.min(self.tirages) == 0:
            k = np.min(np.where(self.tirages == 0)[0])
        # 2nd cas : tous les bras ont été essayé
        else:
            # Notez qu'on aurait pu ne stocker que ce vecteur moyennes_empiriques
            moyennes_empiriques = self.recompenses / self.tirages
            k = np.argmax(moyennes_empiriques)
        self.t += 1      # Inutile ici
        return k
        
    def recompense(self, k, r):
        """Donne une récompense r tirée sur le bras k à l'algorithme : met à jour les deux vecteurs internes."""
        self.recompenses[k] += r
        self.tirages[k] += 1

Approche fréquentiste, UCB1, "Upper Confidence Bound"

Il s'agit d'une amélioration de l'algorithme précédent, où on utilise un autre indice.

Au lieu d'utiliser la moyenne empirique $g_k(t) = \widehat{\mu_k}(t) = \frac{X_k(t)}{N_k(t)}$ et $A(t) = \arg\max_k g_k(t)$, on utilise une borne supérieure d'un intervalle de confiance autour de cette moyenne : $$g'_k(t) = \widehat{\mu_k}(t) + \sqrt{\alpha \frac{\log t}{N_k(t)}}.$$ Et cet indice est toujours utilisé pour décider le bras à essayer à chaque instant : $$A^{\mathrm{UCB}1}(t) = \arg\max_k g'_k(t).$$

Il faut une constante $\alpha \geq 0$, qu'on choisira $\alpha \geq \frac12$ pour avoir des performances raisonnables. $\alpha$ contrôle le compromis entre exploitation et exploration, et ne doit pas être trop grand. $\alpha = 1$ est un bon choix par défaut.

On va gagner du temps en héritant de la classe MoyenneEmpirique précédente. Ça permet de ne pas réécrire les méthodes qui sont déjà bien écrites.

In [12]:
class UCB1(MoyenneEmpirique):
    """Algorithme UCB1."""
    
    def __init__(self, K, alpha=1):
        """Crée l'instance de l'algorithme. Par défaut, alpha=1."""
        super(UCB1, self).__init__(K)  # On laisse la classe mère faire le travaille
        assert alpha >= 0, "Erreur : alpha doit etre >= 0."
        self.alpha = alpha
    
    def choix(self):
        """Si on a vu tous les bras, on prend celui d'indice moyenne empirique + UCB le plus grand."""
        self.t += 1      # Nécessaire ici
        # 1er cas : il y a encore des bras qu'on a jamais vu
        if np.min(self.tirages) == 0:
            k = np.min(np.where(self.tirages == 0)[0])
        # 2nd cas : tous les bras ont été essayé
        else:
            moyennes_empiriques = self.recompenses / self.tirages
            ucb = np.sqrt(self.alpha * np.log(self.t) / np.log(self.tirages))
            indices = moyennes_empiriques + ucb
            k = np.argmax(indices)
        return k

Approche bayésienne, Thompson Sampling

Ce petit article explique très bien l'approche bayésienne.

On a besoin de savoir manipuler des posteriors, qui seront les posteriors conjugués des distributions des bras.

Pour des bras de Bernoulli, le posterior conjugué associé est une loi Beta, notée $\mathrm{Beta}(\alpha,\beta)$ pour deux paramètres $\alpha,\beta > 0$.

  • Les posteriors sont initialisés à $\mathrm{Beta}(1, 1) = U([0,1])$, c'est-à-dire qu'on met un a priori uniforme sur les $\mu_k$, comme on ne connaît que $\mu_k \in [0,1]$.
  • Comme les observations sont binaires, $r_k(t) \in \{0,1\}$, les paramètres $\alpha$,$\beta$ restent entiers.
In [13]:
from numpy.random import beta

class Beta():
    """Posteriors d'expériences de Bernoulli."""

    def __init__(self):
        self.N = [1, 1]

    def reinitialise(self):
        self.N = [1, 1]

    def echantillon(self):
        """Un échantillon aléatoire de ce posterior Beta."""
        return beta(self.N[1], self.N[0])

    def observe(self, obs):
        """Ajoute une nouvelle observation. Si 'obs'=1, augmente alpha, sinon si 'obs'=0, augmente beta."""
        self.N[int(obs)] += 1

Dès qu'on sait manipuler ces postériors Beta, on peut implémenter rapidement le dernier algorithme, Thompson Sampling.

Les paramètres du posterior sur $\mu_k$, i.e., $\alpha_k(t)$,$\beta_k(t)$ seront mis à jour à chaque étape pour compter le nombre d'observations réussies et échouées : $$ \alpha_k(t) = 1 + X_k(t) \\ \beta_k(t) = 1 + N_k(t) - X_k(t).$$

La moyenne empirique estimant $\mu_k$ sera, à l'instant $t$, $$ \widetilde{\mu_k}(t) = \frac{\alpha_k(t)}{\alpha_k(t) + \beta_k(t)} = \frac{1 + X_k(t)}{2 + N_k(t)} \simeq \frac{X_k(t)}{N_k(t)}.$$

La différence avec UCB1 est que la prise de décision de Thompson Sampling se fait sur un indice, tiré aléatoirement selon les posteriors. C'est une politique d'indice randomisée.

D'un point de vue bayésien, un modèle est tiré selon les posteriors, puis on joue selon le meilleur modèle : $$ g''_k(t) \sim \mathrm{Beta}(\alpha_k(t), \beta_k(t)) \\ A^{\mathrm{TS}}(t) = \arg\max_k g''_k(t). $$

In [14]:
class ThompsonSampling(MoyenneEmpirique):
    """Algorithme Thompson Sampling."""
    
    def __init__(self, K, posterior=Beta):
        """Crée l'instance de l'algorithme. Par défaut, alpha=1."""
        self.K = K
        # On créé K posteriors
        self.posteriors = [posterior() for k in range(K)]
    
    def commence(self):
        """Réinitialise les K posteriors."""
        for posterior in self.posteriors:
            posterior.reinitialise()
    
    def choix(self):
        """On tire K modèles depuis les posteriors, et on joue dans le meilleur."""
        moyennes_estimees = [posterior.echantillon() for posterior in self.posteriors]
        k = np.argmax(moyennes_estimees)
        return k

    def recompense(self, k, r):
        """Observe cette récompense r sur le bras k en mettant à jour le kième posterior."""
        self.posteriors[k].observe(r)

Exemples de simulations

On va comparer, sur deux problèmes, les 4 algorithmes définis plus haut.

Les problèmes sont caractérisés par les moyennes des bras de Bernoulli, $\boldsymbol{\mu} = [\mu_1,\dots,\mu_K]$, et on les suppose ordonnées par ordre décroissant : $\mu_1 > \mu_2 \ge \dots \ge \mu_K$.

On affichera plusieurs choses, dans des graphiques au cours du temps $t = 0, \dots, T$ pour un horizon $T = 1000$ ou $T = 5000$ étapes :

  1. leurs taux de sélection du meilleur bras $k^*$, (qui sera toujours $\mu_1$ le premier bras), i.e., $N_k(t) / t$ en $\%$, pour chaque algorithme,
  2. leurs récompenses accumulées, i.e., $R(t) = \sum_{\tau=0}^{t} \sum_{k=1}^{K} X_k(\tau) \mathbb{1}(A(t) = k)$, pour chaque algorithme,
  3. les récompenses moyennes, i.e., $R(t) / t$, qui devrait converger vers $\mu^* = \mu_{k^*} = \mu_1$,
  4. et enfin leurs regret. Cette notion est moins triviale, mais pour notre problème simple il se définit comme la perte, en récompenses accumulées, entre la meilleure stratégie (toujours sélectionner le meilleur bras $k^* = 1$) et la performance de l'algorithme : $$ \mathcal{R}(t) = \mu^* t - R(t) $$ On souhaite maximiser $R(t)$, donc minimiser $\mathcal{R}(t)$. Les algorithmes "efficaces" ont typiquement un regret logarithmique, i.e., $\mathcal{R}(T) = \mathcal{O}(\log T)$ asymptotiquement, ce qu'on souhaiterait vérifier.

Fonctions pour l'affichage

On définit 4 fonctions d'affichage pour ces quantités.

In [15]:
mpl.rcParams['figure.figsize'] = (15, 8)
In [16]:
def affiche_selections(choix, noms, kstar=0):
    plt.figure()
    for i, c in enumerate(choix):
        selection_kstar = 1.0 * (c == kstar)
        selection_moyenne = np.cumsum(selection_kstar) / np.cumsum(np.ones_like(c))
        plt.plot(selection_moyenne, label=noms[i])
    plt.legend()
    plt.xlabel("Temps discret, $t = 1, ..., T = {}$".format(len(choix[0])))
    plt.ylabel("Taux de sélection")
    plt.title("Sélection du meilleur bras #{} pour différents algorithmes".format(1 + kstar))
    plt.show()
In [17]:
def affiche_recompenses(recompenses, noms):
    plt.figure()
    for i, r in enumerate(recompenses):
        recompense_accumulee = np.cumsum(r)
        plt.plot(recompense_accumulee, label=noms[i])
    plt.legend()
    plt.xlabel("Temps discret, $t = 1, ..., T = {}$".format(len(choix[0])))
    plt.ylabel("Récompenses accumulées")
    plt.title("Récompenses accumulées pour différents algorithmes")
    plt.show()
In [18]:
def affiche_recompenses_moyennes(recompenses, noms):
    plt.figure()
    for i, r in enumerate(recompenses):
        recompense_moyenne = np.cumsum(r) / np.cumsum(np.ones_like(r))
        plt.plot(recompense_moyenne, label=noms[i])
    plt.legend()
    plt.xlabel("Temps discret, $t = 1, ..., T = {}$".format(len(choix[0])))
    plt.ylabel(r"Récompenses moyennes $\in [0, 1]$")
    plt.title("Récompenses moyennes pour différents algorithmes")
    plt.show()
In [21]:
def affiche_regret(recompenses, noms, mustar=1):
    plt.figure()
    for i, r in enumerate(recompenses):
        recompense_accumulee = np.cumsum(r)
        regret = mustar * np.cumsum(np.ones_like(r)) - recompense_accumulee
        plt.plot(regret, label=noms[i])
    plt.legend()
    plt.xlabel("Temps discret, $t = 1, ..., T = {}$".format(len(choix[0])))
    plt.ylabel("Regret")
    plt.title("Regret accumulé pour différents algorithmes")
    plt.show()

Premier problème, à 3 bras

On reprend le problème donné plus haut :

In [22]:
horizon = 1000
mus = [0.9, 0.5, 0.1]
bras = [ Bernoulli(mu) for mu in mus ]
K = len(mus)
kstar = np.argmax(mus)  # = 0
In [23]:
horizon, mus, bras, K, kstar
Out[23]:
(1000,
 [0.9, 0.5, 0.1],
 [<__main__.Bernoulli at 0x7f81b7636470>,
  <__main__.Bernoulli at 0x7f81b76364e0>,
  <__main__.Bernoulli at 0x7f81b7636518>],
 3,
 0)
In [24]:
algorithmes = [ChoixUniforme(K), MoyenneEmpirique(K), UCB1(K, alpha=1), ThompsonSampling(K)]
algorithmes
Out[24]:
[<__main__.ChoixUniforme at 0x7f81b7636048>,
 <__main__.MoyenneEmpirique at 0x7f81b76360b8>,
 <__main__.UCB1 at 0x7f81b7636080>,
 <__main__.ThompsonSampling at 0x7f81b76360f0>]

Pour les légendes, on a besoin des noms des algorithmes :

In [25]:
noms = ["ChoixUniforme", "MoyenneEmpirique", "UCB1(alpha=1)", "ThompsonSampling"]

On peut commencer la simulation, pour chaque algorithme.

In [26]:
%%time
N = len(algorithmes)
recompenses, choix = np.zeros((N, horizon)), np.zeros((N, horizon))

for i, alg in tqdm(enumerate(algorithmes), desc="Algorithmes"):
    rec, ch = simulation(bras, alg, horizon)
    recompenses[i] = rec
    choix[i] = ch
CPU times: user 76 ms, sys: 12 ms, total: 88 ms
Wall time: 82.4 ms
/usr/local/lib/python3.5/dist-packages/ipykernel_launcher.py:19: RuntimeWarning: divide by zero encountered in true_divide
In [27]:
recompenses, choix
Out[27]:
(array([[ 1.,  0.,  0., ...,  0.,  0.,  0.],
        [ 1.,  0.,  0., ...,  1.,  1.,  1.],
        [ 0.,  0.,  0., ...,  1.,  1.,  1.],
        [ 0.,  1.,  1., ...,  1.,  1.,  1.]]),
 array([[ 0.,  1.,  1., ...,  2.,  1.,  2.],
        [ 0.,  1.,  2., ...,  0.,  0.,  0.],
        [ 0.,  1.,  2., ...,  0.,  0.,  0.],
        [ 1.,  0.,  0., ...,  0.,  0.,  0.]]))

On affiche et vérifie les résultats attendus :

In [24]:
affiche_selections(choix, noms, kstar)
In [25]:
affiche_recompenses(recompenses, noms)
In [26]:
affiche_recompenses_moyennes(recompenses, noms)
In [27]:
affiche_regret(recompenses, noms, mustar=mus[kstar])

$\implies$ L'algorithme uniforme est, bien évidemment, très inefficace ! Il empêche de visualiser le regret des trois autres algorithmes.

Et sur ce problème simple à trois bras, avec une seule simulation (donc une variance immense), difficile de savoir lequel des trois algorithmes est le plus efficace...

Second problème, à 9 bras

In [28]:
horizon = 5000
mus = [0.9, 0.8, 0.7, 0.6, 0.5, 0.4, 0.3, 0.2, 0.1]
bras = [ Bernoulli(mu) for mu in mus ]
K = len(mus)
kstar = np.argmax(mus)  # = 0
In [29]:
horizon, mus, bras, K, kstar
Out[29]:
(5000,
 [0.9, 0.8, 0.7, 0.6, 0.5, 0.4, 0.3, 0.2, 0.1],
 [<__main__.Bernoulli at 0x7f53800e3518>,
  <__main__.Bernoulli at 0x7f53800e34e0>,
  <__main__.Bernoulli at 0x7f53800e30b8>,
  <__main__.Bernoulli at 0x7f53800e30f0>,
  <__main__.Bernoulli at 0x7f53800e34a8>,
  <__main__.Bernoulli at 0x7f53800e3080>,
  <__main__.Bernoulli at 0x7f53800e36a0>,
  <__main__.Bernoulli at 0x7f53800e36d8>,
  <__main__.Bernoulli at 0x7f53800e3710>],
 9,
 0)

On va comparer différents choix de $\alpha$ pour l'algorithme UCB : $\alpha = 4, 1, 0.5, 0.1$.

In [30]:
algorithmes = [MoyenneEmpirique(K), UCB1(K, alpha=4), UCB1(K, alpha=1), UCB1(K, alpha=0.5), UCB1(K, alpha=0.1), ThompsonSampling(K)]
algorithmes
Out[30]:
[<__main__.MoyenneEmpirique at 0x7f53800e3ac8>,
 <__main__.UCB1 at 0x7f53800e3978>,
 <__main__.UCB1 at 0x7f53800e3390>,
 <__main__.UCB1 at 0x7f53800e3c18>,
 <__main__.UCB1 at 0x7f53800f9eb8>,
 <__main__.ThompsonSampling at 0x7f53800f9080>]

Pour les légendes, on a besoin des noms des algorithmes :

In [31]:
noms = ["MoyenneEmpirique", "UCB1(alpha=4)", "UCB1(alpha=1)", "UCB1(alpha=0.5)", "UCB1(alpha=0.1)", "ThompsonSampling"]

On peut commencer la simulation, pour chaque algorithme.

In [32]:
%%time
N = len(algorithmes)
recompenses, choix = np.zeros((N, horizon)), np.zeros((N, horizon))

for i, alg in tqdm(enumerate(algorithmes), desc="Algorithmes"):
    rec, ch = simulation(bras, alg, horizon)
    recompenses[i] = rec
    choix[i] = ch
Widget Javascript not detected.  It may not be installed or enabled properly.
/usr/local/lib/python3.5/dist-packages/ipykernel_launcher.py:20: RuntimeWarning: divide by zero encountered in true_divide
CPU times: user 628 ms, sys: 112 ms, total: 740 ms
Wall time: 616 ms
In [33]:
recompenses, choix
Out[33]:
(array([[ 0.,  1.,  0., ...,  0.,  1.,  1.],
        [ 1.,  1.,  1., ...,  1.,  1.,  1.],
        [ 1.,  1.,  0., ...,  1.,  1.,  1.],
        [ 1.,  0.,  1., ...,  1.,  1.,  1.],
        [ 0.,  0.,  1., ...,  0.,  1.,  1.],
        [ 0.,  1.,  1., ...,  1.,  1.,  0.]]),
 array([[ 0.,  1.,  2., ...,  1.,  1.,  1.],
        [ 0.,  1.,  2., ...,  0.,  0.,  0.],
        [ 0.,  1.,  2., ...,  0.,  0.,  0.],
        [ 0.,  1.,  2., ...,  0.,  0.,  0.],
        [ 0.,  1.,  2., ...,  0.,  0.,  0.],
        [ 4.,  1.,  1., ...,  0.,  0.,  0.]]))

On affiche et vérifie les résultats attendus :

In [34]:
affiche_selections(choix, noms, kstar)

On commence à voir une différence de vitesse de convergence, pour l'identification du meilleur bras.

In [35]:
affiche_recompenses(recompenses, noms)

Difficile de différence quel algorithme est le plus efficace, même si clairement les plus grandes valeurs de $\alpha = 4, 1$ pour UCB semblent avoir moins bien fonctionner.

In [36]:
affiche_recompenses_moyennes(recompenses, noms)

En terme de récompenses moyennes au cours du temps, les 4 algorithmes les plus efficaces convergent vers $\mu^* = \mu_1 = 0.9$.

In [37]:
affiche_regret(recompenses, noms, mustar=mus[kstar])

Encore une fois, une seule simulation ne permet pas vraiment de conclure...

Troisième problème, simulé 100 fois

On s'intéresse au même problème, mais simulé 100 fois et sur un horizon plus long ($T = 10000$).

On s'intéressera ensuite aux statistiques moyennes sur ces 100 répétitions pour les graphiques.

In [38]:
horizon = 10000
repetitions = 100
mus = [0.9, 0.8, 0.7, 0.6, 0.5, 0.4, 0.3, 0.2, 0.1]
bras = [ Bernoulli(mu) for mu in mus ]
K = len(mus)
kstar = np.argmax(mus)  # = 0
In [39]:
horizon, repetitions, mus, bras, K, kstar
Out[39]:
(10000,
 100,
 [0.9, 0.8, 0.7, 0.6, 0.5, 0.4, 0.3, 0.2, 0.1],
 [<__main__.Bernoulli at 0x7f538005aa58>,
  <__main__.Bernoulli at 0x7f538005ae10>,
  <__main__.Bernoulli at 0x7f538005ae80>,
  <__main__.Bernoulli at 0x7f538005af98>,
  <__main__.Bernoulli at 0x7f538005ad30>,
  <__main__.Bernoulli at 0x7f538005a080>,
  <__main__.Bernoulli at 0x7f538005a0f0>,
  <__main__.Bernoulli at 0x7f538005af28>,
  <__main__.Bernoulli at 0x7f538005a588>],
 9,
 0)

On va comparer différents choix de $\alpha$ pour l'algorithme UCB : $\alpha = 4, 1, 0.5, 0.1$.

In [40]:
algorithmes = [MoyenneEmpirique(K), UCB1(K, alpha=4), UCB1(K, alpha=1), UCB1(K, alpha=0.5), UCB1(K, alpha=0.1), ThompsonSampling(K)]
algorithmes
Out[40]:
[<__main__.MoyenneEmpirique at 0x7f538005a5f8>,
 <__main__.UCB1 at 0x7f538005af60>,
 <__main__.UCB1 at 0x7f538005a518>,
 <__main__.UCB1 at 0x7f538005a1d0>,
 <__main__.UCB1 at 0x7f538005a9b0>,
 <__main__.ThompsonSampling at 0x7f538005a978>]

Pour les légendes, on a besoin des noms des algorithmes :

In [41]:
noms = ["MoyenneEmpirique", "UCB1(alpha=4)", "UCB1(alpha=1)", "UCB1(alpha=0.5)", "UCB1(alpha=0.1)", "ThompsonSampling"]

On peut commencer la simulation, pour chaque algorithme.

In [42]:
%%time
N = len(algorithmes)
recompenses, choix = np.zeros((N, horizon)), np.zeros((N, horizon))

# Pour chaque répétitions
for rep in tqdm(range(repetitions), desc="Répétitions"):
    for i, alg in enumerate(algorithmes):
        rec, ch = simulation(bras, alg, horizon)
        recompenses[i] += rec
        choix[i] += ch

# On moyenne
recompenses /= repetitions
choix /= repetitions
Widget Javascript not detected.  It may not be installed or enabled properly.
/usr/local/lib/python3.5/dist-packages/ipykernel_launcher.py:20: RuntimeWarning: divide by zero encountered in true_divide
CPU times: user 1min 37s, sys: 6.76 s, total: 1min 44s
Wall time: 1min 37s

Cette fois, les statistiques accumulées ne sont plus entières.

In [43]:
recompenses, choix
Out[43]:
(array([[ 0.94,  0.73,  0.73, ...,  0.9 ,  0.83,  0.8 ],
        [ 0.89,  0.79,  0.73, ...,  0.79,  0.81,  0.74],
        [ 0.9 ,  0.74,  0.76, ...,  0.91,  0.86,  0.86],
        [ 0.88,  0.81,  0.8 , ...,  0.89,  0.88,  0.91],
        [ 0.92,  0.87,  0.74, ...,  0.89,  0.87,  0.88],
        [ 0.54,  0.39,  0.49, ...,  0.85,  0.9 ,  0.95]]),
 array([[ 0.  ,  1.  ,  2.  , ...,  0.22,  0.22,  0.22],
        [ 0.  ,  1.  ,  2.  , ...,  1.18,  0.9 ,  1.18],
        [ 0.  ,  1.  ,  2.  , ...,  0.25,  0.23,  0.29],
        [ 0.  ,  1.  ,  2.  , ...,  0.13,  0.07,  0.08],
        [ 0.  ,  1.  ,  2.  , ...,  0.02,  0.02,  0.02],
        [ 3.87,  4.16,  3.74, ...,  0.  ,  0.  ,  0.  ]]))

On affiche et vérifie les résultats attendus :

In [44]:
choix = np.floor(choix)
In [45]:
affiche_selections(choix, noms, kstar)

On commence à voir une différence de vitesse de convergence, pour l'identification du meilleur bras.

In [46]:
affiche_recompenses(recompenses, noms)

Difficile de différence quel algorithme est le plus efficace, même si clairement les plus grandes valeurs de $\alpha = 4, 1$ pour UCB semblent avoir moins bien fonctionner.

In [47]:
affiche_recompenses_moyennes(recompenses, noms)

En terme de récompenses moyennes au cours du temps, les 4 algorithmes les plus efficaces convergent vers $\mu^* = \mu_1 = 0.9$.

In [48]:
affiche_regret(recompenses, noms, mustar=mus[kstar])

Cette fois, ces 100 simulations permet de conclure quelques points :

  • MoyenneEmpirique converge rapidement au début, mais son regret $\mathcal{R}(t)$ ne semble pas avoir un profil logarithmique (il faudrait essayer de plus grands horizons pour le confirmer),
  • Les différents UCB semblent tous avoir un regret logarithmique, i.e., $\mathcal{R}(t) = \mathcal{O}(\log t)$, et plus le $\alpha$ est petit, plus le regret est bas,
  • ThompsonSampling fonctionne très bien, sans avoir à choisir de constante $\alpha$.

Dernier problème, simulé 1000 fois

On s'intéresse enfin à un problème bien plus difficile, simulé 1000 fois et sur un horizon plus long ($T = 10000$).

In [49]:
horizon = 10000
repetitions = 1000
mus = [0.3, 0.05, 0.05, 0.05, 0.05, 0.05, 0.05, 0.02, 0.02, 0.02, 0.01, 0.01, 0.005, 0.005, 0.001, 0.001]
bras = [ Bernoulli(mu) for mu in mus ]
K = len(mus)
kstar = np.argmax(mus)
In [50]:
horizon, repetitions, mus, bras, K, kstar
Out[50]:
(10000,
 1000,
 [0.3,
  0.05,
  0.05,
  0.05,
  0.05,
  0.05,
  0.05,
  0.02,
  0.02,
  0.02,
  0.01,
  0.01,
  0.005,
  0.005,
  0.001,
  0.001],
 [<__main__.Bernoulli at 0x7f537bf349b0>,
  <__main__.Bernoulli at 0x7f537bf34f28>,
  <__main__.Bernoulli at 0x7f537bf34160>,
  <__main__.Bernoulli at 0x7f537bf34e48>,
  <__main__.Bernoulli at 0x7f538015e390>,
  <__main__.Bernoulli at 0x7f538015e3c8>,
  <__main__.Bernoulli at 0x7f538015e5c0>,
  <__main__.Bernoulli at 0x7f538015e630>,
  <__main__.Bernoulli at 0x7f538015ef28>,
  <__main__.Bernoulli at 0x7f538015ee80>,
  <__main__.Bernoulli at 0x7f538015ee48>,
  <__main__.Bernoulli at 0x7f538015e828>,
  <__main__.Bernoulli at 0x7f538015ed30>,
  <__main__.Bernoulli at 0x7f538015e588>,
  <__main__.Bernoulli at 0x7f538015e128>,
  <__main__.Bernoulli at 0x7f538015e7b8>],
 16,
 0)

On va comparer différents choix de $\alpha$ pour l'algorithme UCB : $\alpha = 4, 1, 0.5, 0.1, 0.01, 0.001$.

In [51]:
algorithmes = [MoyenneEmpirique(K), UCB1(K, alpha=4), UCB1(K, alpha=1),
               UCB1(K, alpha=0.5), UCB1(K, alpha=0.1), UCB1(K, alpha=0.01),
               UCB1(K, alpha=0.001), ThompsonSampling(K)]
algorithmes
Out[51]:
[<__main__.MoyenneEmpirique at 0x7f53800ef9b0>,
 <__main__.UCB1 at 0x7f53800ef748>,
 <__main__.UCB1 at 0x7f53800ef780>,
 <__main__.UCB1 at 0x7f53800ef7f0>,
 <__main__.UCB1 at 0x7f53800ef630>,
 <__main__.UCB1 at 0x7f53800ef198>,
 <__main__.UCB1 at 0x7f538015ef98>,
 <__main__.ThompsonSampling at 0x7f538015e780>]

Pour les légendes, on a besoin des noms des algorithmes :

In [52]:
noms = ["MoyenneEmpirique", "UCB1(alpha=4)", "UCB1(alpha=1)",
        "UCB1(alpha=0.5)", "UCB1(alpha=0.1)", "UCB1(alpha=0.01)",
        "UCB1(alpha=0.001)", "ThompsonSampling"]

On peut commencer la simulation, pour chaque algorithme.

In [53]:
%%time
N = len(algorithmes)
recompenses, choix = np.zeros((N, horizon)), np.zeros((N, horizon))

# Pour chaque répétitions
for rep in tqdm(range(repetitions), desc="Répétitions"):
    for i, alg in enumerate(algorithmes):
        rec, ch = simulation(bras, alg, horizon)
        recompenses[i] += rec
        choix[i] += ch

# On moyenne
recompenses /= repetitions
choix /= repetitions
Widget Javascript not detected.  It may not be installed or enabled properly.
/usr/local/lib/python3.5/dist-packages/ipykernel_launcher.py:20: RuntimeWarning: divide by zero encountered in true_divide
CPU times: user 22min 48s, sys: 1min 4s, total: 23min 52s
Wall time: 22min 48s

Cette fois, les statistiques accumulées ne sont plus entières.

In [54]:
recompenses, choix
Out[54]:
(array([[ 0.308,  0.057,  0.046, ...,  0.254,  0.236,  0.238],
        [ 0.297,  0.048,  0.056, ...,  0.113,  0.113,  0.124],
        [ 0.292,  0.057,  0.048, ...,  0.225,  0.232,  0.237],
        ..., 
        [ 0.292,  0.061,  0.038, ...,  0.303,  0.299,  0.312],
        [ 0.301,  0.059,  0.048, ...,  0.253,  0.261,  0.275],
        [ 0.025,  0.045,  0.041, ...,  0.292,  0.316,  0.313]]),
 array([[ 0.   ,  1.   ,  2.   , ...,  0.983,  0.983,  0.983],
        [ 0.   ,  1.   ,  2.   , ...,  5.258,  5.139,  5.099],
        [ 0.   ,  1.   ,  2.   , ...,  2.106,  2.011,  1.99 ],
        ..., 
        [ 0.   ,  1.   ,  2.   , ...,  0.   ,  0.   ,  0.   ],
        [ 0.   ,  1.   ,  2.   , ...,  0.591,  0.591,  0.591],
        [ 7.842,  7.398,  7.347, ...,  0.026,  0.037,  0.022]]))

On affiche et vérifie les résultats attendus :

In [55]:
choix = np.floor(choix)
In [56]:
affiche_selections(choix, noms, kstar)

On commence à voir une différence de vitesse de convergence, pour l'identification du meilleur bras.

In [57]:
affiche_recompenses(recompenses, noms)

Difficile de différence quel algorithme est le plus efficace, même si clairement les plus grandes valeurs de $\alpha = 4, 1$ pour UCB semblent avoir moins bien fonctionner.

In [58]:
affiche_recompenses_moyennes(recompenses, noms)

En terme de récompenses moyennes au cours du temps, les 4 algorithmes les plus efficaces convergent vers $\mu^* = \mu_1 = 0.9$.

In [59]:
affiche_regret(recompenses, noms, mustar=mus[kstar])

Cette fois, ces 1000 simulations permet de renforcer les conclusions précédentes :

  • MoyenneEmpirique converge rapidement au début, mais son regret $\mathcal{R}(t)$ ne semble pas avoir un profil logarithmique (il faudrait essayer de plus grands horizons pour le confirmer),
  • Les différents UCB1 semblent tous avoir un regret logarithmique, i.e., $\mathcal{R}(t) = \mathcal{O}(\log t)$, et plus le $\alpha$ est petit, plus le regret est bas,
  • Mais si $\alpha$ est trop petit (e.g., $\alpha = 10^{-3}$), UCB1(alpha) n'est pas assez exploiteur, et pour ce problème à $K=15$ bras, il ne fonctionne plus bien,
  • ThompsonSampling fonctionne très bien, sans avoir à choisir de constante $\alpha$.

Une autre politique d'indice : ApproximatedFHGittins

Je propose de terminer par l'implémentation d'un dernier algorithme, ressemblant beaucoup à UCB1, mais qui utilise des indices un peu plus compliqués à calculer.

Il s'agit de l'algorithme proposé en 2016 par Tor Lattimore, dans cet article (et sa présentation à COLT'16), nommé ApproximatedFHGittins, pour Approximated Finite-Horizon Gittins index, ou Approximation des Indices de Gittins à Horizon Fini en français.

Cet algorithme exige de connaître l'horizon $T$, et calcule l'indice suivant, au temps $t$ et après $N_k(t)$ sélections du bras $k$ : $$ I_k(t) = \frac{X_k(t)}{N_k(t)} + \sqrt{\frac{\alpha}{2 N_k(t)} \log\left( \frac{m}{N_k(t) \log^{1/2}\left( \frac{m}{N_k(t)} \right)} \right)}, \\ \text{où}\;\; m = T - t + 1.$$

  • Notez que ce terme $\log^{1/2}(\dots) = \sqrt(\log(\dots))$ peut être indéfini, dès que $m < N_k(t)$, donc en pratique, $\sqrt(\max(0, \log(\dots))$ est préférable, ou alors un horizon un peu plus grand peut être utilisé à la place, pour rendre $m$ un peu plus grand (e.g., $T' = 1.1 T$).
  • Si besoin, voir mon implémentation.
In [65]:
class ApproximatedFHGittins(MoyenneEmpirique):
    """Algorithme ApproximatedFHGittins de Tor Lattimore."""
    
    def __init__(self, K, horizon, alpha=1):
        """Crée l'instance de l'algorithme. Par défaut, alpha=1."""
        super(ApproximatedFHGittins, self).__init__(K)  # On laisse la classe mère faire le travaille
        self.horizon = horizon
        assert alpha >= 0, "Erreur : alpha doit etre >= 0."
        self.alpha = alpha
    
    def choix(self):
        """Si on a vu tous les bras, on prend celui d'indice le plus grand."""
        self.t += 1      # Nécessaire ici
        # 1er cas : il y a encore des bras qu'on a jamais vu
        if np.min(self.tirages) == 0:
            k = np.min(np.where(self.tirages == 0)[0])
        # 2nd cas : tous les bras ont été essayé
        else:
            # D'abord les moyennes
            moyennes_empiriques = self.recompenses / self.tirages
            # Puis le terme supplémentaire
            m = self.horizon - self.t + 1
            m_sur_Nk = m / self.tirages
            logdemi = np.sqrt(np.maximum(0, np.log(m_sur_Nk)))
            terme_sup = np.sqrt(self.alpha * np.log(m_sur_Nk / logdemi) / (2. * self.tirages))
            indices = moyennes_empiriques + terme_sup
            k = np.argmax(indices)
        return k

Comparaison de ApproximatedFHGittins avec les autres algorithmes

Sur le même problème que précédemment, on va vérifier que ce dernier algorithme est plus efficace que les autres.

In [66]:
horizon = 10000
repetitions = 1000
mus = [0.3, 0.05, 0.05, 0.05, 0.05, 0.05, 0.05, 0.02, 0.02, 0.02, 0.01, 0.01, 0.005, 0.005, 0.001, 0.001]
bras = [ Bernoulli(mu) for mu in mus ]
K = len(mus)
kstar = np.argmax(mus)
In [67]:
horizon, repetitions, mus, bras, K, kstar
Out[67]:
(10000,
 1000,
 [0.3,
  0.05,
  0.05,
  0.05,
  0.05,
  0.05,
  0.05,
  0.02,
  0.02,
  0.02,
  0.01,
  0.01,
  0.005,
  0.005,
  0.001,
  0.001],
 [<__main__.Bernoulli at 0x7f81b6cb1c50>,
  <__main__.Bernoulli at 0x7f81b6cb1c18>,
  <__main__.Bernoulli at 0x7f81b6cb15f8>,
  <__main__.Bernoulli at 0x7f81b6cb1550>,
  <__main__.Bernoulli at 0x7f81b6cb1828>,
  <__main__.Bernoulli at 0x7f81b6cb1128>,
  <__main__.Bernoulli at 0x7f81b6cb13c8>,
  <__main__.Bernoulli at 0x7f81b6cb1390>,
  <__main__.Bernoulli at 0x7f81b6cb1400>,
  <__main__.Bernoulli at 0x7f81b6cb17f0>,
  <__main__.Bernoulli at 0x7f81b6cb1780>,
  <__main__.Bernoulli at 0x7f81b6cb1208>,
  <__main__.Bernoulli at 0x7f81b6cb10f0>,
  <__main__.Bernoulli at 0x7f81b6cb1198>,
  <__main__.Bernoulli at 0x7f81b6cb1710>,
  <__main__.Bernoulli at 0x7f81b6cb16d8>],
 16,
 0)
In [68]:
algorithmes = [UCB1(K, alpha=1), UCB1(K, alpha=0.5),
               ThompsonSampling(K),
               ApproximatedFHGittins(K, 1.1 * T, alpha=4),
               ApproximatedFHGittins(K, 1.1 * T, alpha=1),
               ApproximatedFHGittins(K, 1.1 * T, alpha=0.5)
              ]
algorithmes
Out[68]:
[<__main__.UCB1 at 0x7f81b6cb52b0>,
 <__main__.UCB1 at 0x7f81b6cb5128>,
 <__main__.ThompsonSampling at 0x7f81b6cb5048>,
 <__main__.ApproximatedFHGittins at 0x7f81b6cb5c18>,
 <__main__.ApproximatedFHGittins at 0x7f81b6cb5a58>,
 <__main__.ApproximatedFHGittins at 0x7f81b6cb5400>]
In [69]:
noms = ["UCB1(alpha=1)", "UCB1(alpha=0.5)",
        "ThompsonSampling",
        "ApproximatedFHGittins(T, alpha=4)",
        "ApproximatedFHGittins(T, alpha=1)",
        "ApproximatedFHGittins(T, alpha=0.5)"
       ]

On peut commencer la simulation, pour chaque algorithme.

In [70]:
%%time
N = len(algorithmes)
recompenses, choix = np.zeros((N, horizon)), np.zeros((N, horizon))

# Pour chaque répétitions
for rep in tqdm(range(repetitions), desc="Répétitions"):
    for i, alg in enumerate(algorithmes):
        rec, ch = simulation(bras, alg, horizon)
        recompenses[i] += rec
        choix[i] += ch

# On moyenne
recompenses /= repetitions
choix /= repetitions
/usr/local/lib/python3.5/dist-packages/ipykernel_launcher.py:19: RuntimeWarning: divide by zero encountered in true_divide
/usr/local/lib/python3.5/dist-packages/ipykernel_launcher.py:24: RuntimeWarning: invalid value encountered in log
CPU times: user 22min 19s, sys: 1min 9s, total: 23min 28s
Wall time: 22min 18s

Cette fois, les statistiques accumulées ne sont plus entières.

In [71]:
recompenses, choix
Out[71]:
(array([[ 0.294,  0.053,  0.043, ...,  0.229,  0.235,  0.229],
        [ 0.317,  0.044,  0.046, ...,  0.267,  0.291,  0.262],
        [ 0.048,  0.05 ,  0.053, ...,  0.322,  0.29 ,  0.305],
        [ 0.299,  0.038,  0.056, ...,  0.288,  0.294,  0.302],
        [ 0.328,  0.062,  0.043, ...,  0.301,  0.3  ,  0.311],
        [ 0.333,  0.05 ,  0.057, ...,  0.32 ,  0.316,  0.303]]),
 array([[ 0.   ,  1.   ,  2.   , ...,  1.665,  1.795,  1.602],
        [ 0.   ,  1.   ,  2.   , ...,  0.577,  0.601,  0.679],
        [ 7.457,  7.419,  7.478, ...,  0.017,  0.031,  0.069],
        [ 0.   ,  1.   ,  2.   , ...,  0.   ,  0.   ,  0.   ],
        [ 0.   ,  1.   ,  2.   , ...,  0.   ,  0.   ,  0.   ],
        [ 0.   ,  1.   ,  2.   , ...,  0.   ,  0.   ,  0.   ]]))

On affiche et vérifie les résultats attendus :

In [72]:
choix = np.floor(choix)
In [73]:
affiche_selections(choix, noms, kstar)

On commence à voir une différence de vitesse de convergence, pour l'identification du meilleur bras.

In [74]:
affiche_recompenses(recompenses, noms)

Difficile de différence quel algorithme est le plus efficace, même si clairement les plus grandes valeurs de $\alpha = 4, 1$ pour UCB semblent avoir moins bien fonctionner.

In [75]:
affiche_recompenses_moyennes(recompenses, noms)

En terme de récompenses moyennes au cours du temps, les 4 algorithmes les plus efficaces convergent vers $\mu^* = \mu_1 = 0.9$.

In [76]:
affiche_regret(recompenses, noms, mustar=mus[kstar])
In [77]:
affiche_regret(recompenses[2:], noms[2:], mustar=mus[kstar])

Conclusion

Merci d'avoir lu jusqu'ici...

J'espère que ce petit document a pu vous aider à mieux comprendre les bases de la simulation et l'implémentation de problèmes et d'algorithmes de bandits.

J'ai adopté une approche très modulaire, pour chaque composant de la simulation (bras, algorithmes, fonctions de simulation, d'affichages etc). C'est une façon de faire, bien-sûr ce n'est pas nécessaire, mais ça me semble clair, efficace et facile à lire et à compléter (si vous voulez rajouter un algorithme de plus).