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Appliquons désormais le principe fondamental de la dynamique à un pendule de longueur l et de masse m.

On écarte la masse accrochée au fil d'un angle Θ, puis on lache cette masse. Instinctivement, on sait que le pendule oscille autour de sa position d'équilibre avant de s'arrêter au bout d'un temps.

Que donnent les calculs?

Le système que l'on étudie est la masse m accrochée au bout du fil dans le référentiel terrestre supposé Galiléen. La masse du fil est négligeable.

Bilan des forces: Les seules forces qui s'exercent sur la masse m sont : la tension du fil, et le poids.

 

Schémas:

 

Pendule à l'équilibre, les forces se compensent:


On écarte le pendule d'un angle Θo par rapport à sa position d'équilibre, la tension du fil a tendance à vouloir ramener le pendule à sa position d'équilibre.

Calculs :

Sachant que :

On peut déterminer l'accélération du pendule lorsqu'il est à une position Θ

Appliquons le principe fondamental de la dynamique à la masse m:

Projetons cette équation suivant er, puis eΘ

Comme nous supposons que l'angle Θ reste toujours très petit (Θ inferieur à 10°), nous pouvons faire l'approximation suivante:

La projection du principe fondamental de la dynamique suivant eΘ nous donne l'équation différentielle régissant le mouvement de la masse suspendue au fil:

L'équation admet une unique solution en déplacement si l'on fixe deux valeurs initiales :
- La vitesse à l'instant initial est nulle
- L'angle initiale du pendule est Θo



Remarque 1 :
Il est étonnant de voir que la solution ne dépend pas de la masse de l'objet, mais seulement de sa longueur.

Remarque 2 : (important)
Le système ne dispose que d'un seul degré de liberté: l'angle Θ.

 

Question: Qu'y a t-il de surprenant dans l'expression de la fréquence propre du pendule??

Non? Vous ne voyez pas? Alors regardez bien et trouvez les différences (ou pas) entre les deux vidéos suivantes :

 

Oscillation d'une masse de 210g

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Oscillation d'une masse de 70g avec le même angle initial

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Pour de petites oscillations, la masse accrochée au bout du fil n'influe pas sur la fréquence d'oscillation!