Informatique en Sciences Industrielles pour l'Ingénieur : Asservissements

Calculs

Etude du système de commande corrigé

Détermination de la forme du correcteur

  • En traçant l'allure du diagramme asymptotique de Bode du correcteur dérivé (1+Tp), montrer qu'il réalise une avance de phase.

Ce réseau correcteur n'apporte aucun gain aux basses fréquences mais une avance de phase de 45° à w = 1/T et de 90° au delà. Il présente l'inconvénient d'avoir un gain élevé aux hautes fréquences (il amplifie donc les bruits), mais cet inconvénient est tempéré ici par la présence des 2 intégrateurs dans la chaîne directe.

On choisit la constante de temps T pour que le lieu de Black se déforme le plus possible dans la zone proche du point critique (-180°, 0 dB).

Pour cela, après avoir ré-affiché le diagramme de Black du système en boucle ouverte sans modification du correcteur,

  • Relever la pulsation wc0 qui correspond à 0 dB pour la FTBO (avec K = 1) : utiliser le menu Curseur / cliquer sur le nom de la courbe / OK / faire défiler l'ascenseur).

  • Relever la valeur de la phase wc0 (-360° < * < -180°) pour cette pulsation wc0.

  • Déterminer l'avance de phase AP qu'il faut ajouter pour obtenir une marge de phase MP de 30° environ.

  • Placer sur le diagramme de Bode du correcteur la pulsation de cassure (1 / T) et la position approximative de la pulsation wc0 la plus proche de (1 / T) qui respecte cette avance de phase.

On choisit finalement la constante de temps du correcteur Proportionnel Dérivé pour que la pulsation de cassure (1 / T) du correcteur soit placée sur une pulsation 10 fois plus faible que la pulsation wc0 : (1 / T) = wc0 / 10 .

On adopte finalement : T = 10 s

  • Programmer la nouvelle FT du correcteur ; pour cela,

  • fermer la fenêtre de résultats (Fin, Fin) ;

  • cliquer 2 fois sur le bloc COR ;

  • programmer pour (rentrer directement la valeur numérique de T) ;

  • reprendre l'analyse fréquentielle en Boucle Ouverte : menu déroulant Analyse / Analyse transfert boucle / noeud choisi pour couper la boucle : Z / K = 1 / (wmin, wmax) = (0.01, 10) / nombre de points à visualiser = 100 / visualiser uniquement le diagramme de Black.

  • Constater la déformation du lieu de transfert.

  • D'après le critère du revers dans Black, le système est-il stable ? Justifier.

  • Proposer une modification pour rendre le système stable.

Réglage du gain

Le correcteur précédent a également agi sur le gain, ce qui fait que la courbe s'est en même temps déformée vers le haut du diagramme de Black par rapport aux prévisions.

On choisit de faire varier le gain statique de la FTBO pour stabiliser le système.

Réglage en limite de stabilité

  • Déterminer la valeur K1 qu'il faut donner au gain statique K du correcteur pour que le système soit à la limite de la stabilité. Pour cela :

Relancer une visualisation et travailler sur le diagramme de Black ; pour lire une valeur, cliquer sur Curseur, puis cliquer dans la fenêtre de la courbe concernée).

- étape n°1 : chercher la pulsation w (rad/s) telle que Arg (FTBO (jw)) = -180°

- étape n°2 : lire la valeur du gain (en dB) correspondant : 20 Log | FTBO(jw)|

En déduire la valeur de K1.

  • Vérifier votre résultat sur les 3 diagrammes simultanément (Bode, Nyquist et Black) en lançant une nouvelle analyse fréquentielle de la FTBO (Fin / Itération / donner la nouvelle valeur K1 et conserver toutes les autres valeurs par défaut / Visualisation).

  • Lancer une analyse temporelle de la FTBF : fermer la fenêtre de résultats (Fin, Fin) / menu déroulant Analyse / Réponse temporelle / Variables de sortie : Z / K = K1 = ... / Traitement des instabilités : oui / Horizon temporel : 10 s / Modification du pas : non / Visualiser uniquement Z et ZC.

  • Vérifier que la réponse temporelle est bien à la limite de la stabilité. Donner les valeurs de Zmax en m (1er dépassement) et de Zmoy en m (= ZC).

Ce résultat n'est bien sûr pas satisfaisant pour le fonctionnement du pilote automatique ; il est donc nécessaire de diminuer encore le gain statique K.

Réglage avec marge de gain

Par sécurité, on prendra une marge de gain de 20 dB (en général on prend 10 dB, mais on a négligé de nombreux retards en utilisant une fonction de transfert simplifiée de l'avion).

  • Déterminer, sans calcul, la nouvelle valeur K2 du gain du correcteur.

  • Vérifier le résultat en reprenant l'analyse fréquentielle de la FTBO (Analyse transfert boucle) et visualiser le diagramme de Black pour K = K2.

  • Vérifier la marge de gain MG et déterminer la marge de phase MP sur le diagramme de Black. On pourra faire un zoom de la zone intéressante et utiliser le curseur.

Etude de la FTBF corrigée

  • Déterminer la résonance en Boucle Fermée (pulsation wr et coefficient de surtension Q). On rappelle que c'est le point où le lieu de Black est tangent à un "contour fermé de Hall" (wr en rad/s et 20 Log Q en dB).

  • Vérifier ces valeurs en exploitant uniquement le diagramme de Bode de la FTBF : menu Analyse / Réponse fréquentielle / noeud d'entrée : ZC / noeud de sortie : Z / K = K2 = ...... / (wmin, wmax) = (0.1, 10 rad/s).

A l'aide du curseur, relever les valeurs à la résonance (wr et 20 Log Q).

  • Le système, qui est du 4ème ordre, a pour mode dominant un 2ème ordre de coefficient d'amortissement z et de pulsation propre w0.

Calculer z et w0 à partir de Q et wr. (z=ksi)

Rappels :

Coefficient de résonance (ou de surtension) d'un 2ème ordre H(p) :

Pulsation de résonance d'un 2ème ordre :

Etude de la réponse temporelle et de la précision

Ecart statique de position

On commande au pilote automatique un échelon d'altitude ZC = 300 m.

  • En supposant que le système répond suivant son mode dominant (w, wn), tracer l'allure de la réponse et calculer la valeur de Zmax (en m) lors du 1er dépassement et la pseudo période Ta associée.

  • Vérifier ce résultat : déterminer Zmax et EZ* = lim (ZC - Z) quand t tend vers l'infini.

Pour cela, menu déroulant Analyse / Réponse temporelle / Variable de sortie : Z, K = K2 = ... / Horizon temporel : 60 s / Modification du pas : non / Visualiser ZC et Z.

  • Justifier l'écart statique de position EZ* par la classe du système.

Ecart de traînage

  • Remplacer l'entrée de type échelon par une entrée de type rampe : le pilote automatique ne fonctionne plus en mode maintien d'altitude mais en mode suivi de vitesse verticale VZC.

  • cliquer sur l'échelon d'entrée, puis supprimer ;

  • menu déroulant Modèles / Entrées / choisir Rampe / positionner la rampe sur le schéma bloc ; définir les caractéristiques de la rampe en cliquant 2 fois dessus :

retard 0 s , pente VZC = 10 m/s

  • lancer Analyse / Réponse temporelle / nommer le bloc d'entrée ZC / Variable de sortie : Z, K = K2 = ... / Horizon temporel : 60 s / Modification du pas : non / Visualiser ZC et Z.

  • Déterminer l'écart de traînage ET* et justifier par la classe * du système.

Cette précision de pilotage, apportée par le système de classe élevée, justifie le pilotage en accélération (commande AZC) de l'avion car il permet d'obtenir une bonne précision quel que soit le mode de pilotage automatique ; ce pilotage en accélération verticale (appelé facteur de charge) est pourtant très pénalisant pour la stabilité (présence de 2 intégrateurs dans la chaîne directe).

Réponse à une perturbation

On étudie ici la réponse de l'avion à une turbulence modélisée par une accélération verticale :

  • Charger un nouveau fichier : menu déroulant Fichier / Ouvrir / choisir le fichier MODALT2 présent dans votre répertoire personnel.

  • Identifier les modifications par rapport au schéma précédent.

Quelle est la nature de la turbulence introduite (cliquer 2 fois sur le bloc TURB) et tracer la courbe définissant cette perturbation.

Lancer l'Analyse temporelle (Horizon temporel = 120 s).

  • Déterminer l'erreur d'altitude provoquée par cette perturbation :

- erreur transitoire maximale EZmax (en m).

- erreur en régime permanent EZ* (en m).

  • Remplacer la perturbation par un échelon d'accélération. Pour cela :

  • Cliquer sur le bloc TURB / Supprimer / menu déroulant Modèles / Entrées / choisir Echelon et positionner l'échelon sur le schéma bloc ;

  • Définir ce bloc : cliquer 2 fois dessus / retard 60s / amplitude 1 m/s² ;

  • Lancer l'Analyse temporelle (nommer le bloc TURB, Horizon temporel = 120 s).

  • Evaluer l'écart d'altitude EZ* provoqué par cette turbulence.

  • Justifier cet écart d'altitude non nul, malgré la classe du système.

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