\documentclass[a4paper,10pt]{article} \usepackage[utf8]{inputenc} %% TODO : gêrer la géométrie %%% % Rapport sur un article scientifique, TA08 % Sujet n°3 % Héléna Shourik, Cédric M'rad, Clément Beneteau, Louis Huguet %%% %%% %Header générique %%% \usepackage[OT1]{fontenc} \usepackage{default} \usepackage[francais]{babel} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \everymath{\displaystyle} %%% % Packages pour écrire des maths décentes %%% \usepackage{amsthm} \usepackage[only,rrbracket,llbracket]{stmaryrd} \usepackage{mathtools} \usepackage{hyperref} \usepackage{esint} \usepackage{nccmath} \usepackage{ulem} %%% % Commandes et macros de la flemme % Pas toutes utiles. %%% %% Des restes qu'on va laisser \newcommand{\R}{\ensuremath{\mathbb{R}}} \newcommand{\Rd}{\ensuremath{\mathbb{R}^d}} \newcommand{\Hunz}{\ensuremath{H^1_0}} \newcommand{\Bl}[1][r]{\ensuremath{B_{#1}}} \newcommand{\Mdm}[2]{\ensuremath{\fint_{#1} \! \left( #2 - \fint_{#1} #2 \right) ^2}} % #1 : domaine , #2 : fonction \newcommand{\phirx}[1][r,x]{\phi_{#1}} \newcommand{\rhs}{\textit{r.h.s. }} \newcommand{\lhs}{\textit{l.h.s. }} \newcommand{\epsi}{\ensuremath{\varepsilon}} \newcommand{\affinf}{\ensuremath{\inf_{\substack{M \in \R ^{m \times d} \\ q \in \R ^m}}}} \newcommand{\veps}{\ensuremath{v_{\varepsilon}}} \newcommand{\Kappa}{\mathcal{K}} \newcommand{\Tau}{\mathcal{T}} \newcommand{\rmin}{\ensuremath{r_{\text{min}}}} %% Spécialement pour ce sujet % TODO ; Trouver un truc pour que div et curl n'aient pas d'italique, mais func en ait. % TODO ; fix \func \newcommand{\curl}{\ensuremath{\mathbf{curl}}} \newcommand{\dive}{\ensuremath{div\epsi}} \newcommand{\func}[1]{\ensuremath{\it{\mathbf{#1}}}} \newcommand{\Hcurl}{\ensuremath{H( \mathbf{curl} \text{;} \Omega )}} \newcommand{\Hdive}{\ensuremath{H( div\epsi \text{;} \Omega )}} \newcommand{\Hdivze}{\ensuremath{H( div^0\epsi \text{;} \Omega )}} \newcommand{\Hzcurl}{\ensuremath{H_0( \mathbf{curl} \text{;} \Omega )}} \newcommand{\Hzdive}{\ensuremath{H_0( div\epsi \text{;} \Omega )}} \newcommand{\Hzdivze}{\ensuremath{H_0( div^0\epsi \text{;} \Omega )}} \newcommand{\Hzdivm}{\ensuremath{H_0( div\mu \text{;} \Omega)}} \newcommand{\Hzdivzm}{\ensuremath{H_0( div^0\mu \text{;} \Omega)}} \newcommand{\khb}{\ensuremath{\mathcal{K}_h(b)}} \newcommand{\norm}[2]{\ensuremath{\left\| #1 \right\|_{#2}}} %#1 : fonction, #2 : indice de la norme \newcommand{\fnorm}[2]{\ensuremath{\| #1 \|_{#2}}} %#1 : fonction, #2 : indice de la norme, taille fixe \def\restriction#1#2{\mathchoice %#1 fonction, #2 domaine {\setbox1\hbox{${\displaystyle #1}_{\scriptstyle #2}$} \restrictionaux{#1}{#2}} {\setbox1\hbox{${\textstyle #1}_{\scriptstyle #2}$} \restrictionaux{#1}{#2}} {\setbox1\hbox{${\scriptstyle #1}_{\scriptscriptstyle #2}$} \restrictionaux{#1}{#2}} {\setbox1\hbox{${\scriptscriptstyle #1}_{\scriptscriptstyle #2}$} \restrictionaux{#1}{#2}}} \def\restrictionaux#1#2{{#1\,\smash{\vrule height .8\ht1 depth .85\dp1}}_{\,#2}} %%% % Données de titre %%% \title{Une méthode d'éléments finis pour le problème spectral de Maxwell à l'interface} % On le fait en français ou en anglais ? % C'est quoi le titre du cours déjà ? \author{Groupe 3 ; Shourik, M'rad, Beneteau, Huguet } \date{18 Janvier 2017} %opening \title{} \author{} \begin{document} \maketitle \begin{abstract} \end{abstract} \section{Introduction} \section{Préliminaires} \section{Interpolation, inégalité inf-sup} \subsection{Préparation} Forme trilinéaire, gestion des non-conformités $\mathbb{L}^2$, noyeaux, projections nulles. \\ Hyp 1 \\ $$ \begin{array}{l} \exists 0 \leq r \leq 1 \\ \Hzcurl \cap \Hdive , \Hcurl \cap \Hzdivm \hookrightarrow \prod_{j=1}^{J} ( H^{r}(\Omega_j))^3 \hookrightarrow (H^{r_0}(\Omega))^3 \\ \forall \func{v} \in \Hzcurl \cap \Hdive \text{ or } \func{v} \in \Hcurl \cap \Hzdivm \text{ ; } \\ \norm{\func{v}}{r_0} \leq C \sum_{j=1}^J \norm{\func{v}}{r,\Omega_j} \leq C \norm{\func{v}}{\curl, \dive} \text{ or } \norm{\func{v}}{\curl,div\mu)} \\ \text{avec : } r_0 = \min (r,1/2-\epsilon) \end{array} $$ Plus qu'une hypothèse, c'est pratiquement une ''définition`` du $r$ (ou $r_0$) que l'on va prendre. Du fait que l'on ait pas toutes les hypothèses qu'on veut sur $\Omega$ et les $\Omega_j$, on a pas de garantie de régularité sur $\func{v}$ cependant, on peut trouver une régularité par morceaux $r$ dans laquelle vont s'injecter $\Hzcurl \cap \Hdive$ et $\Hcurl \cap \Hzdivm$. De plus, pour repasser au global, on est obligé de ''\textit{capper}'' cette régularité par un $r_0 < 1/2$ afin de prendre en compte les problème de frontières venant de la réunion des différents $\Omega_j$. \\ Th 4.1.\\ C'est un Cauchy-Schwarz en $O(h^r)$ sur le noyeau $\khb$. \subsection{Interpolation} Introduction de la norme \textit{mesh-dependent} $\norm{\cdot}{h}$, qui conserve la décomposition orthogonale (en un certain sens) de $U_h$ sur $\khb$. \\ Sous l'hypothèse 1 on a le Th 4.2 : \\ Sous l'hypothèse 1, $\forall \func{v} \in \Hzcurl \cap \Hdive$, il existe une interpolation de Fortin $ \func{\tilde{v}} \in U_h \cap \Hzcurl \text{ t.q. :}$ $$ \begin{array}{l r} b(\func{\tilde{v}} ; (p,\func{w}))=b(\func{v} ; (p,\func{w})) & \forall q \in Q_h, \forall \func{w} \in W_h \\ \norm{\func{\tilde{v}}}{h} \leq C \norm{v}{\curl ,\dive} & \norm{\cdot}{h} \text{ définie avec } r=r_0 \\ \int_{\Kappa} (\func{\tilde{v}} - \func{v}) \cdot \func{w} = 0 & \forall \func{w} \in \overrightarrow{\mathcal{P}_{l-1}}(\epsi,\Kappa),\forall \Kappa \in \Tau_h \\ \norm{\func{\tilde{v}} - \func{v}}{0} \leq C h^{r_0} \norm{v}{\curl, \dive} & \\ \text{ajouter la prop 4.25 avec la fatsomme} & \\ \end{array} $$ Il faut remarquer comment est construite cette interpolée : d'abord on prend l'interpolation ``classique'' $\func{v}_h$ sur $W_h^c \cap H \subset U_h$. Puis on construit $\tilde{\func{v}}$, qui coïncide avec $\func{v}_h$sur les noeuds de $P_l(\Kappa), \forall \Kappa \in \Tau_h$, et qui vérifie de plus : $\int_{\Kappa} (\func{\tilde{v}} - \func{v}) \cdot \func{w} = 0, \forall \func{w} \in \overrightarrow{\mathcal{P}_{l-1}}(\epsi,\Kappa),\forall \Kappa \in \Tau_h$, on obtient notamment $\tilde{\func{v}} = \func{v}_h + \func{v}^B$ avec $\func{v}^B$ la ``\textit{bubble part}'' $\in \Phi^h$. Cette correction permet en fait à $\func{v}-\tilde{\func{v}}$ d'annuler les projecteurs $\mathbb{L}^2$. \subsection{Inégalité inf-sup} \subsection{Interpolation duale} Interpolation sur le couple $(p,\func{w})$ de $b$. Grâce à la restriction à $\khb^{\top}$ et à l'inégalité inf-sup, on a l'unicité d'une telle interpolée. De plus, avec un peu de travail on sort le corrolaire 4.1 qui nous donne des contrôles et/ou contrôles d'erreur sympa. \\ Il nécéssite l'Hyp 2 : On introduit (en supposant qu'elle existe) la décomposition régulière-singulière des éléments $\func{w} \in \Hcurl \cap \Hzdivzm$ : $$\begin{array}{l r} \func{w} = \func{w}^1 + \nabla p^1 & \func{w^1} \in (H^1(\Omega))^3, p^1 \in H^1(\Omega) \cap \prod_{j=1}^J H^{1+r}(\Omega_j) \\ \norm{w^1}{1} + \norm{p^1}{1} \leq C \norm{\curl \func{w}}{0} & \sum_{j=1}^J \norm{p^1}{1+r,\Omega_j} \leq C \norm{\curl \func{w}}{0} \\ \func{w^1} \in \prod_{j=1}^J (H^{1+r}(\Omega_j))^3 & \sum_{j=1}^J \norm{\func{w}^1}{1+r,\Omega_j} \leq C \norm{\curl \epsi ^{-1} \curl \func{w}}{0} \\ \end{array}$$ Cette dernière ligne n'étant valable que si $\epsi ^{-1} \curl \func{w} \in \Hzcurl \cap \Hdivze$. Après ça on peut encore le raffiner un petit peu (corr 4.2) avec un contrôle plus fin. \section{Coercivité et estimée d'erreur} \section{Conclusion} \end{document}